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1、
專題升級訓練 直線與圓
(時間:60分鐘 滿分:100分)
一、選擇題(本大題共6小題,每小題6分,共36分)
1.若直線3x+y+a=0過圓x2+y2-6y=0的圓心,則a的值為( )
A.-1 B.1 C.3 D.-3
2.直線l通過兩直線7x+5y-24=0和x-y=0的交點,且點(5,1)到l的距離為,則l的方程是( )
A.3x+y+4=0 B.3x-y+4=0
C.3x-y-4=0 D.x-3y-4=0
3.若直線l被圓C:x2+y2=2所截的弦長不小于2,則l與下列曲線一定有公共點的是( )
A.(x-1)2+y2=1 B.+y2=1
C.y
2、=x2 D.x2-y2=1
4.(20xx黑龍江哈爾濱六中模擬,7)圓C的半徑為1,圓心在第一象限,且與直線4x-3y=0和x軸相切,則該圓的標準方程是( )
A.(x-3)2+=1
B.(x-2)2+(y-1)2=1
C.(x-1)2+(y-3)2=1
D.+(y-1)2=1
5.若直線y=kx(k≠0)與圓x2+y2=1相交于A,B兩點,且點C(3,0).若點M(a,b)滿足=0,則a+b=( )
A. B. C.2 D.1
6.若直線y=kx+1與圓x2+y2+kx+my-4=0交于M,N兩點,且M,N關于直線x-y=0對稱,動點P(a,b)在不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)
3、部及邊界上運動,則W=的取值范圍是( )
A.[2,+∞)
B.(-∞,-2]
C.[-2,2]
D.(-∞,-2]∪[2,+∞)
二、填空題(本大題共3小題,每小題6分,共18分)
7.直線xcosθ+y+2=0的傾斜角的取值范圍為 .
8.已知曲線C:x2+y2=9(x≥0,y≥0)與直線x+y=4相交于點A(x1,y1),B(x2,y2),則x1y2+x2y1的值為 .
9.圓心在拋物線x2=2y上,且與直線2x+2y+3=0相切的圓中,面積最小的圓的方程為 .
三、解答題(本大題共3小題,共46分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟
4、)
10.(本小題滿分15分)在平面直角坐標系xOy中,曲線y=x2-6x+1與坐標軸的交點都在圓C上.
(1)求圓C的方程;
(2)若圓C與直線x-y+a=0交于A,B兩點,且OA⊥OB,求a的值.
11.(本小題滿分15分)已知兩圓C1:x2+y2+4x-4y-5=0,C2:x2+y2-8x+4y+7=0.
(1)證明此兩圓相切;
(2)求過點P(2,3),且與兩圓相切于點T(1,0)的圓的方程.
12.(本小題滿分16分)已知以點C(t∈R,t≠0)為圓心的圓與x軸交于點O,A,與y軸交于點O,B,其中O為原點.
(1)求證:△OAB的面積為定值;
(2)設直線
5、y=-2x+4與圓C交于點M,N,若OM=ON,求圓C的方程.
##
1.D 解析:求出圓心的坐標,將圓心坐標代入直線方程即可.
2.C 解析:由得交點(2,2),當k=0和k不存在時不符合題意,故設l的方程為y-2=k(x-2),即kx-y+2-2k=0,[來源:]
∴,解得k=3.
∴l(xiāng)的方程為3x-y-4=0.
3.B 解析:根據(jù)已知可得原點到直線l的距離d≤1.
再分析各選項中曲線的圖形特點可知,直線l與橢圓+y2=1一定有公共點.[來源:]
4.B
5.D 解析:將y=kx代入x2+y2=1并整理有(k2+1)x2-1=0,
∴x1+x2=0.
∵=0,
∴M
6、為△ABC的重心.
∴a=,b=,
故a+b==1.
6.D 解析:圓方程可化為(k2+m2+16).
由已知得解得k=-1,m=-1,[來源:]
∴不等式組為其表示的平面區(qū)域如圖.
∴W=表示動點P(a,b)與定點Q(1,2)連線的斜率.
于是可知,W≤kAQ,或W≥kOQ,即W≤-2或W≥2.故選D.
7. 解析:把直線方程化為斜截式y(tǒng)=-cosθx-,則k=-cosθ.
∵-≤k≤,
∴0≤α≤≤α<π.
8.9 解析:將y=4-x代入x2+y2=9并整理有2x2-8x+7=0,解得x1=2+,x2=2-,從而得A,B,故x1y2+x2y1=9.
9.(x+1
7、)2+ 解析:設圓心為,圓半徑r=.
當a=-1時,r取最小值,此時圓的方程為(x+1)2+.
10.解:(1)曲線y=x2-6x+1與y軸的交點為(0,1),與x軸的交點為(3+2,0),(3-2,0).
故可設C的圓心為(3,t),則有32+(t-1)2=(2)2+t2,解得t=1.
則圓C的半徑為=3.
所以圓C的方程為(x-3)2+(y-1)2=9.
(2)設A(x1,y1),B(x2,y2),其坐標滿足方程組
消去y,得到方程2x2+(2a-8)x+a2-2a+1=0.
由已知可得,判別式Δ=56-16a-4a2>0.
從而x1+x2=4-a,x1x2=.①
由于
8、OA⊥OB,可得x1x2+y1y2=0.
又y1=x1+a,y2=x2+a,所以2x1x2+a(x1+x2)+a2=0.②
由①②得a=-1,滿足Δ>0,故a=-1.
11.(1)證明:兩圓的方程可分別化為
C1:(x+2)2+(y-2)2=13,C1(-2,2),r1=;
C2:(x-4)2+(y+2)2=13,C2(4,-2),r2=.
∴圓心距|C1C2|=2=r1+r2,即兩圓外切.
(2)解:設所求圓的方程為C3:(x-a)2+(y-b)2=.
∵T(1,0)在C1,C2,C3上,
∴圓心(a,b)在直線:y=-(x-1)上,
∴b=-(a-1).①
又由|C3
9、P|=|C3T|,得(a-2)2+(b-3)2=(a-1)2+b2.②
由方程①②,解得a=-4,b=,
∴=(a-1)2+b2=,
故所求圓的方程為(x+4)2+.
12.(1)證明:∵圓C過原點O,
∴OC2=t2+.
設圓C的方程是(x-t)2+=t2+,
令x=0,得y1=0,y2=;
令y=0,得x1=0,x2=2t,
∴S△OAB=OAOB=|2t|=4,
即△OAB的面積為定值.
(2)解:∵OM=ON,CM=CN,[來源:]
∴OC垂直平分線段MN.
∵kMN=-2,∴kOC=.[來源:]
∴直線OC的方程是y=x.
∴t,解得t=2或t=-2.
當t=2時,圓心C的坐標為(2,1),OC=,此時C到直線y=-2x+4的距離d=,圓C與直線y=-2x+4相交于兩點.
當t=-2時,圓心C的坐標為(-2,-1),此時C到直線y=-2x+4的距離為.
又OC=,顯然不合題意.
綜上所述,滿足條件的圓C的方程為(x-2)2+(y-1)2=5.
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