數(shù)學(xué)人教A版必修五優(yōu)化練習(xí)：第一章 章末優(yōu)化總結(jié) 含解析

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1、（人教版）精品數(shù)學(xué)教學(xué)資料 章末檢測(一)　解三角形 時(shí)間：120分鐘　滿分：150分 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1．有關(guān)正弦定理的敘述： ①正弦定理只適用于銳角三角形； ②正弦定理不適用于鈍角三角形； ③在某一確定的三角形中，各邊與它的對角的正弦的比是定值； ④在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c. 其中正確的個(gè)數(shù)是(　　) A．1　　　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 解析：正弦定理適用于任意三角形，故①②均不正確；由正弦定理可知，三角形一旦確定，則各邊與其

2、所對角的正弦的比就確定了，故③正確；由比例性質(zhì)和正弦定理可推知④正確．故選B. 答案：B 2．在△ABC中，A＝60，b＝6，c＝10，則△ABC的面積為(　　) A．15 B．15 C．15 D．30 答案：B 3．△ABC為鈍角三角形，a＝3，b＝4，c＝x，C為鈍角，則x的取值范圍是(　　) A．x<5 B．5

3、△ABC中，sin A＝＝＝. ∵＝， ∴sin B＝sin A＝＝. 答案：D 5．在△ABC中，已知a＝1，b＝2，C＝60，則c等于(　　) A. B．3 C. D．5 解析：c2＝a2＋b2－2abcos C， ∴c＝. 答案：A 6．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，則cos B等于(　　) A. B. C. D. 解析：b2＝ac，c＝2a，∴b2＝2a2，b＝a. ∴cos B＝＝. 答案：B 7．在△ABC中，根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩解的是(　　) A．b＝10，∠A＝45，∠C＝70 B．a(chǎn)＝30，b＝25，∠A＝150

4、 C．a(chǎn)＝7，b＝8，∠A＝98 D．a(chǎn)＝14，b＝16，∠A＝45 解析：A中已知兩角與一邊，有唯一解；B中，a>b，且∠A＝150，也有唯一解；C中b>a，且∠A＝98為鈍角，故解不存在；D中由于bsin 45B>C B．B>A>C C．C>B>A D．C>A>B 解析：由正弦定理得＝，∴sin B＝，又∵B為銳角，∴B＝60，∴C＝90，即C>B>A. 答案：C 9．有一長為1 km的斜坡，它的傾斜角為20，現(xiàn)高不變，將傾斜角改為1

5、0，則斜坡長為(　　) A．1 km B．2sin 10 km C．2cos 10 km D．cos 20 km 解析：如圖所示，∠ABC＝20，AB＝1 km，∠ADC＝10，∴∠ABD＝160.在△ABD中，由正弦定理＝，∴AD＝AB＝＝2cos 10(km)． 答案：C 10．在△ABC中，a、b、c分別為角A，B，C所對的邊，若a＝2bcos C，則此三角形一定是(　　) A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 解析：因?yàn)閍＝2bcos C，所以由余弦定理得：a＝2b，整理得b2＝c2，則此三角形一定是等腰三角形． 答案

6、：C 11．在△ABC中，三內(nèi)角A，B，C分別對應(yīng)三邊a，b，c，tan C＝，c＝8，則△ABC外接圓的半徑R為(　　) A．10 B．8 C．6 D．5 解析：由tan C＝>0且C∈(0，π)，得C∈.由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，得cos C＝＝，sin C＝cos Ctan C＝，由正弦定理，有2R＝＝＝10，故外接圓半徑為5，故選D. 答案：D 12．設(shè)銳角△ABC的三內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a＝1，B＝2A，則b的取值范圍為(　　) A．(，) B．(1，) C．(，2) D．(0,2) 解析：由＝＝，得b＝2cos A.

7、π，從而

8、 即49＝b2＋25＋5b，解得b＝3或b＝－8(舍去)， 所以＝＝. 答案： 15．在△ABC中，若S△ABC＝12，ac＝48，c－a＝2，則b＝________. 解析：由S△ABC＝acsin B得sin B＝，∴B＝60或120.由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accos B＝(a－c)2＋2ac－2accos B＝22＋248－248cos B，∴b2＝52或148，即b＝2或2. 答案：2或2 16．△ABC的三內(nèi)角A，B，C所對邊分別是a，b，c，設(shè)向量m＝(a＋b，sin C)，n＝(a＋c，sin B－sin A)，若m∥n，則角B的大小為________．

9、 解析：由m∥n，∴(a＋b)(sin B－sin A)－sin C(a＋c)＝0，由正弦定理有(a＋b) (b－a)＝c(a＋c)，即a2＋c2－b2＝－ac，再由余弦定理得cos B＝－，∵B∈(0，180)，∴B＝150. 答案：150 三、解答題(本大題共有6小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 17．(12分)在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知a＝4，b＝5，c＝. (1)求C的大??； (2)求△ABC的面積． 解析：(1)依題意，由余弦定理得 cos C＝＝－. ∵0

10、absin C＝45sin 120＝45＝5. 18．(12分)在△ABC中，已知(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，試判斷△ABC的形狀． 解析：由題意可知a2[sin(A＋B)－sin(A－B)]＝b2[sin(A－B)＋sin(A＋B)]，即a22sin Bcos A＝b22sin Acos B. ∵sin Asin B≠0， ∴2sin Acos A＝2sin Bcos B，即sin 2A＝sin 2B， ∴A＝B或A＋B＝. ∴△ABC為等腰三角形或直角三角形． 19．(12分)在△ABC中，a，b， c分別為角A，B，C的對邊，a2－(b－

11、c)2＝bc， (1)求角A； (2)若＝c＝2，求b的值． 解析：(1)由a2 －(b－c)2＝bc得：a2－b2－c2＝－bc， ∴cos A＝＝， 又0＜A＜π， ∴A＝. (2)＝，∴sin C＝1.∴C＝， ∴B＝.∵＝c＝2， ∴b＝2sin B＝2sin＝1. 20．(12分)△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，asin Asin B＋bcos2A＝a. (1)求； (2)若c2＝b2＋a2，求B. 解析：(1)由正弦定理得，sin2Asin B＋sin Bcos2A＝sin A， 即sin B(sin2A＋cos2A)＝sin A.

12、 故sin B＝sin A，所以＝. (2)由余弦定理和c2＝b2＋a2，得cos B＝. 由(1)知b2＝2a2，故c2＝(2＋)a2. 可得cos2B＝，又cos B>0，故cos B＝，所以B＝45. 21．(13分)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知cos 2C＝－. (1)求sin C的值； (2)當(dāng)a＝2,2sin A＝sin C時(shí)，求b及c的長． 解析：(1)因?yàn)閏os 2C＝1－2sin2C＝－，及0

13、及0

14、n θ＝. 由于0<θ<90， 所以cos θ＝＝. 由余弦定理得 BC＝＝10. 所以船的行駛速度為 ＝＝15(海里/小時(shí))． (2)如圖所示，以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別是B(x1，y1)、C(x2，y2)，BC與x軸的交點(diǎn)為D， 由題設(shè)有，x1＝y(tǒng)1＝AB＝40， x2＝ACcos∠CAD ＝10cos(45－θ)＝30， y2＝ACsin∠CAD＝10sin(45－θ)＝20. 所以過點(diǎn)B、C的直線l的斜率 k＝＝2， 直線l的方程為y＝2x－40. 又點(diǎn)E(0，－55)到直線l的距離 d＝＝3<7， 所以船會進(jìn)入警戒水域.