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1、
訓練目標
(1)會求線面角、二面角；(2)會解決簡單的距離問題．
訓練題型
(1)求直線與平面所成的角；(2)求二面角；(3)求距離．
解題策略
利用定義、性質(zhì)去“找”所求角，通過解三角形求角的三角函數(shù)值，盡量利用特殊三角形求解.
一、選擇題
1.如圖所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)棱與底面邊長都相等，A1在底面ABC上的投影D為BC的中點，則異面直線AB與CC1所成的角的余弦值為( )
A. B.
C. D.
2．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的體積為，底面是
2、邊長為的正三角形．若P為△A1B1C1的中心，則PA與平面ABC所成角的大小為( )
A. B.
C. D.π
3.如圖所示，在三棱錐S—ABC中，△ABC是等腰三角形，AB＝BC＝2a，∠ABC＝120，SA＝3a，且SA⊥平面ABC，則點A到平面SBC的距離為( )
A. B.
C. D.
二、填空題
4.如圖，在等腰直角三角形ABD中，∠BAD＝90，且等腰直角三角形ABD與等邊三角形BCD所在平面垂直，E為BC的中點，則AE與平面BCD所成角的大小為________．
5.如圖所示，在三棱錐S－ABC中，△SBC，△ABC都是等邊三角形，且BC＝1，SA＝，
3、則二面角S－BC－A的大小為________．
6．如圖，在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點P在線段AD1上運動，給出以下命題：
①異面直線C1P與B1C所成的角為定值；
②二面角P－BC1－D的大小為定值；
③三棱錐D－BPC1的體積為定值；
④異面直線A1P與BC1間的距離為定值．
其中真命題的個數(shù)為________．
三、解答題
7.(20xx濰坊模擬)如圖所示，底面ABC為正三角形，EA⊥平面ABC，DC⊥平面ABC，EA＝AB＝2DC＝2a，設F為EB的中點．
(1)求證：DF∥平面ABC；
(2)求直線AD與平面AEB所成角的正弦值．
4、
8.(20xx遼寧沈陽二中月考)如圖，在△ABC中，∠ABC＝45，點O在AB上，且OB＝OC＝AB，PO⊥平面ABC，DA∥PO，DA＝AO＝PO.
(1)求證：PB∥平面COD；
(2)求二面角O－CD－A的余弦值．
9.如圖，正四棱錐S－ABCD中，SA＝AB＝2，E，F(xiàn)，G分別為BC，SC，CD的中點．設P為線段FG上任意一點．
(1)求證：EP⊥AC；
(2)當P為線段FG的中點時，求直線BP與平面EFG所成角的余弦值．
答案精析
1． D [連接A1B，易
5、知∠A1AB為異面直線AB與CC1所成的角，
2． 設AB＝a，易求得AD＝a，A1D＝，
則A1B＝＝a，故cos∠A1AB＝＝.]
2．B [因為AA1⊥底面A1B1C1，所以∠APA1為PA與平面A1B1C1所成的角．因為平面ABC∥平面A1B1C1，所以∠APA1為PA與平面ABC所成角．因為正三棱柱ABC－A1B1C1的體積為，底面三角形的邊長為，所以S△ABCAA1＝，可得AA1＝.
又易知A1P＝1，所以tan∠APA1＝＝，
又直線與平面所成的角屬于[0，]，所以∠APA1＝.]
3．A [作AD⊥CB交CB的延長線于點D，連接SD，如圖所示．
∵SA⊥平
6、面ABC，BC?平面ABC，
∴SA⊥BC.又BC⊥AD，SA∩AD＝A，SA?平面SAD，AD?平面SAD，
∴BC⊥平面SAD，又BC?平面SBC，
∴平面SBC⊥平面SAD，且平面SBC∩平面SAD＝SD.在平面SAD內(nèi)，過點A作AH⊥SD于點H，則AH⊥平面SBC，AH的長即為點A到平面SBC的距離．
在Rt△SAD中，SA＝3a，AD＝ABsin 60＝a.由＝，
得AH＝＝＝，即點A到平面SBC的距離為.]
4．45
解析 取BD的中點F，連接EF，AF(圖略)，易得AF⊥BD，AF⊥平面BCD，則∠AEF就是AE與平面BCD所成的角，由題意知EF＝CD＝BD＝AF，
7、所以∠AEF＝45，即AE與平面BCD所成的角為45.
5．60
6．4
解析 對于①，因為在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點P在線段AD1上運動，
在正方體中有B1C⊥平面ABC1D1，而C1P?平面ABC1D1，所以B1C⊥C1P，
所以這兩個異面直線所成的角為定值90，故①正確；
對于②，因為二面角P－BC1－D為平面ABC1D1與平面BDC1所成的二面角，
而這兩個平面為固定不變的平面，
所以夾角也為定值，故②正確；
對于③，三棱錐D－BPC1的體積還等于三棱錐P－DBC1的體積，
而△DBC1面積一定，
又因為P∈AD1，而AD1∥平面BDC1，
8、
所以點A到平面BDC1的距離即為點P到該平面的距離，
所以三棱錐的體積為定值，故③正確；
對于④，因為直線A1P和BC1分別位于平面ADD1A1，
平面BCC1B1中，且這兩個平面平行，
由異面直線間的距離定義及求法，
知這兩個平面間的距離即為所求的異面直線間的距離，
所以這兩個異面直線間的距離為定值，故④正確．
綜上知，真命題的個數(shù)為4.
7．(1)證明 如圖，過點F作FH∥EA交AB于點H，連接HC.
∵EA⊥平面ABC，DC⊥平面ABC，
∴EA∥DC.
又FH∥EA，
∴FH∥DC.
∵F是EB的中點，
∴FH＝AE＝DC.
∴四邊形CDFH是平行
9、四邊形，
∴DF∥CH.
又CH?平面ABC，DF?平面ABC，
∴DF∥平面ABC.
(2)解 ∵△ABC為正三角形，H為AB的中點，∴CH⊥AB.
∵EA⊥平面ABC，CH?平面ABC，
∴CH⊥EA.
又EA∩AB＝A，EA?平面AEB，
AB?平面AEB，
∴CH⊥平面AEB.
∵DF∥CH，
∴DF⊥平面AEB，
∴AF為DA在平面AEB上的投影，
∴∠DAF為直線AD與平面AEB所成的角．
在Rt△AFD中，AD＝a，DF＝a，sin∠DAF＝＝，
∴直線AD與平面AEB所成角的正弦值為.
8．(1)證明 因為PO⊥平面ABC，DA∥PO，AB?平面
10、ABC，
所以PO⊥AB，DA⊥AB.
又DA＝AO＝PO，所以∠AOD＝45.
因為OB＝AB，
所以OA＝AB，所以OA＝OB，
又AO＝PO，所以OB＝OP，
所以∠OBP＝45，即OD∥PB.
又PB?平面COD，OD?平面COD，
所以PB∥平面COD.
(2)解 如圖，過A作AM⊥DO，垂足為M，
過M作MN⊥CD于N，連接AN，
則∠ANM為二面角O－CD－A的平面角．設AD＝a，
在等腰直角三角形AOD中，得AM＝a，
在直角三角形COD中，得MN＝a，
在直角三角形AMN中，得AN＝a，
所以cos∠ANM＝.
9．(1)證明 設AC交BD
11、于O點，
∵S－ABCD為正四棱錐，
∴SO⊥底面ABCD，BD⊥AC，
又AC?平面ABCD，
∴SO⊥AC，∵BD∩SO＝O，
BD?平面SBD，SO?平面SBD，
∴AC⊥平面SBD，
∵E，F(xiàn)，G分別為BC，SC，CD的中點，
∴FG∥SD，BD∥EG.
又FG∩EG＝G，SD∩BD＝D，
FG?平面EFG，EG?平面EFG，
SD?BSD，BD?平面BSD，
∴平面EFG∥平面BSD，
∴AC⊥平面GEF.
又∵PE?平面GEF，∴PE⊥AC.
(2)解 過B作BH⊥GE于H，連接PH，
∵BD⊥AC，BD∥GH，
∴BH∥AC，
由(1)知AC⊥平面GEF，
則BH⊥平面GEF.
∴∠BPH就是直線BP與平面EFG所成的角．
在Rt△BHP中，BH＝，PH＝，PB＝，
故cos∠BPH＝＝.
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