金版教程高考數(shù)學 文二輪復習講義：第一編 數(shù)學 思想方法 第二講數(shù)形結合思想 Word版含解析

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1、 第二講　數(shù)形結合思想 思想方法解讀 考點　利用數(shù)形結合思想研究方程的根與函數(shù)的零點　　 典例1　　已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足當x≥0時，f(x)＝則關于x的函數(shù)F(x)＝f(x)－a(0<a<1)的所有零點之和為(　　) A．2a－1 B．2－a－1 C．1－2－a D．1－2a 解析]　因為f(x)為R上的奇函數(shù)，所以當x<0時，f(x)＝－f(－x)＝畫出函數(shù)y＝f(x)的圖象和直線y＝a(0<a<1)，如圖． 由圖可知，函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線y＝a(0<a<1)共有5個交點，設其橫坐標從左到右

2、分別為x1，x2，x3，x4，x5，則＝－3，＝3，而由－log (－x3＋1)＝a，即log2(1－x3)＝a，可得x3＝1－2a，所以x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝1－2a，故選D. 答案]　D 利用數(shù)形結合研究方程的根(求函數(shù)零點)解決策略 (1)用函數(shù)的圖象討論方程(特別是含參數(shù)的指數(shù)、對數(shù)、根式、三角等復雜方程)的解的個數(shù)是一種重要的思想方法，其基本思想是先把方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個熟悉函數(shù)的表達式(不熟悉時，需要作適當變形轉化為兩個熟悉的函數(shù))，然后在同一坐標系中作出兩個函數(shù)的圖象，圖象的交點個數(shù)即為方程解的個數(shù)． (2)數(shù)形結合思想在解決函數(shù)性質有關問題時常有以下幾

3、種類型： ①研究函數(shù)的單調性與奇偶性：畫出函數(shù)的圖象，從圖象的變化趨勢看函數(shù)的單調性，從圖象的對稱看函數(shù)的奇偶性． ②研究函數(shù)的對稱性：畫出函數(shù)的圖象，可從圖象的分布情況看圖象的對稱性． ③比較函數(shù)值的大?。簩τ诒容^沒有解析式的函數(shù)值大小，可結合函數(shù)的性質，畫出函數(shù)的草圖，結合圖象比較大小． 【針對訓練1】　20xx·山東重點高中模擬]若實數(shù)a滿足a＋lg a＝4，實數(shù)b滿足b＋10b＝4，函數(shù)f(x)＝則關于x的方程f(x)＝x的根的個數(shù)是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　C 解析　在同一坐標系中作出y＝10x，y＝lg x以及y＝4－x的

4、圖象，其中y＝10x，y＝lg x的圖象關于直線y＝x對稱，直線y＝x與y＝4－x的交點為(2,2)，所以a＋b＝4，f(x)＝當x≤0時，由x2＋4x＋2＝x可得，x＝－1或－2；當x>0時，易知x＝2，所以方程f(x)＝x的根的個數(shù)是3. 考點　利用數(shù)形結合思想解不等式或求參數(shù)范圍　　 典例2　　(1)20xx·福建高考]已知⊥，||＝，||＝t.若點P是△ABC所在平面內的一點，且＝＋，則·的最大值等于(　　) A．13 B．15 C．19 D．21 解析]　依題意，以點A為坐標原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，所以點B，C(0，t)

5、，＝(1,0)＋4(0,1)＝(1,4)即P(1,4)且t>0.所以·＝·(－1，t－4)＝×(－1)－4×(t－4)＝17－－4t≤17－2＝13(當且僅當＝4t，即t＝時取等號)，所以·的最大值為13，故選A. 答案]　A (2)20xx·全國卷Ⅱ]已知偶函數(shù)f(x)在0，＋∞)上單調遞減，f(2)＝0.若f(x－1)>0，則x的取值范圍是________． 解析]　 作出函數(shù)f(x)的大致圖象如圖所示， 因為f(x－1)>0，所以－2<x－1<2， 解得－1<x<3. 則x

6、的取值范圍為(－1,3)． 答案]　(－1,3) 數(shù)形結合思想解決不等式(或求參數(shù)范圍)的解題思路 求參數(shù)范圍或解不等式問題時經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)的圖象，根據(jù)不等式中量的特點，選擇適當?shù)膬蓚€(或多個)函數(shù)，利用兩個函數(shù)圖象的上、下位置關系轉化成數(shù)量關系來解決問題，往往可以避免繁瑣的運算，獲得簡捷的解答． 【針對訓練2】　(1)使log2(－x)<x＋1成立的x的取值范圍是________． 答案　(－1,0) 解析　在同一坐標系中，分別作出y＝log2(－x)，y＝x＋1的圖象，由圖可知，x的取值范圍是(－1,0)． (2)若不等式|x－2a|≥x＋a－1對x∈R恒成立

7、，則a的取值范圍是________． 答案　 解析　作出y＝|x－2a|和y＝x＋a－1的簡圖，依題意知應有2a≤2－2a，故a≤. 考點　利用數(shù)形結合求最值　　 　　 典例3　　(1)已知圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝1，平面區(qū)域Ω：若圓心C∈Ω，且圓C與x軸相切，則a2＋b2的最大值為(　　) A．5 B．29 C．37 D．49 解析]　由已知得平面區(qū)域Ω為△MNP內部及邊界．∵圓C與x軸相切，∴b＝1.顯然當圓心C位于直線y＝1與x＋y－7＝0的交點A(6，1)處時，amax＝6.∴a2＋b2的最大值為62＋12＝37.故選C. 答案]　C

8、 (2)已知P是直線l：3x＋4y＋8＝0上的動點，PA，PB是圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0的兩條切線，A，B是切點，C是圓心，則四邊形PACB面積的最小值為________． 解析]　從運動的觀點看問題，當動點P沿直線3x＋4y＋8＝0向左上方或右下方無窮遠處運動時，直角三角形PAC的面積SRt△PAC＝|PA|·|AC|＝|PA|越來越大，從而S四邊形PACB也越來越大；當點P從左上、右下兩個方向向中間運動時，S四邊形PACB變小，顯然，當點P到達一個最特殊的位置，即CP垂直于直線l時，S四邊形PACB應有唯一的最小值， 此時|PC|＝＝3， 從而|PA|＝＝2.

9、 所以(S四邊形PACB)min＝2××|PA|×|AC|＝2. 答案]　2 利用數(shù)形結合思想解決最值問題的一般思路 利用數(shù)形結合的思想可以求與幾何圖形有關的最值問題，也可以求與函數(shù)有關的一些量的取值范圍或最值問題． (1)對于幾何圖形中的動態(tài)問題，應分析各個變量的變化過程，找出其中的相互關系求解． (2)對于求最大值、最小值問題，先分析所涉及知識，然后畫出相應圖象，數(shù)形結合求解． 【針對訓練3】　20xx·濰坊模擬]已知函數(shù)f(x)＝x2－2(a＋2)x＋a2，g(x)＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8，設H1(x)＝max{f(

10、x)，g(x)}，H2(x)＝min{f(x)，g(x)}(max{p，q}表示p，q中的較大值，min{p，q}表示p，q中的較小值)，記H1(x)的最小值為A，H2(x)的最大值為B，則A－B＝(　　) A．16 B．－16 C．a(chǎn)2－2a－16 D．a(chǎn)2＋2a－16 答案　B 解析　H1(x)＝max{f(x)，g(x)}＝ H2(x)＝min{f(x)，g(x)}＝ 由f(x)＝g(x)?x2－2(a＋2)x＋a2＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8，解得x1＝a－2，x2＝a＋2. 而函數(shù)f(x)＝x2－2(a＋2)x＋a2，g(x)＝－x2＋2(a－2)x－a2

11、＋8的圖象的對稱軸恰好分別為x＝a＋2，x＝a－2，可見二者圖象的交點正好在它們的頂點處，如圖1所示， 因此H1(x)，H2(x)的圖象分別如圖2，圖3所示(圖中實線部分) 可見，A＝H1(x)min＝f(a＋2)＝－4a－4，B＝H2(x)max＝g(a－2)＝12－4a，從而A－B＝－16. 考點　數(shù)形結合思想在解析幾何中的應用　　 典例4　　已知F1、F2分別是雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，過點F2與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線另一條漸近線于點M，若點M在以線段F1F2為直徑的圓外，則雙曲線離心率的取值范圍是(　　) A．(1，)

12、B．(，) C．(，2) D．(2，＋∞) 解析]　如圖所示，過點F2(c,0)且與漸近線y＝x平行的直線為y＝(x－c)，與另一條漸近線y＝－x聯(lián)立得解得 即點M. ∴|OM|＝ ＝ ∵點M在以線段F1F2為直徑的圓外， ∴|OM|>c， 即 >c，得 >2. ∴雙曲線離心率e＝＝ >2. 故雙曲線離心率的取值范圍是(2，＋∞)．故選D. 答案]　D 數(shù)形結合在解析幾何中的解題策略 (1)數(shù)形結合思想中一個非常重要的方面是以數(shù)解形，通過方程等代數(shù)方法來研究幾何問題，也就是解析法，解析法與幾何法結合來解題，會有更大的功效． (2)

13、此類題目的求解要結合該曲線的定義及幾何性質，將條件信息和結論信息結合在一起，觀察圖形特征，轉化為代數(shù)語言，即方程(組)或不等式(組)，從而將問題解決． 【針對訓練4】　已知中心在原點的橢圓與雙曲線有公共焦點，且左、右焦點分別為F1、F2，且兩條曲線在第一象限的交點為P，△PF1F2是以PF1為底邊的等腰三角形．若|PF1|＝10，橢圓與雙曲線的離心率分別為e1，e2，則e1e2的取值范圍是(　　) A．(0，＋∞) B. C. D. 答案　B 解析　如圖，由題意知r1＝10，r2＝2c，且r1>r2.e2＝＝＝＝；e1＝＝＝＝. ∵三角形兩邊之和大于第三邊，∴2c＋2c>10，∴c>， ∴e1e2＝＝>，因此選B.