金版教程高考數學 文二輪復習講義：第二編 專題整合突破 專題八系列4選講 第一講 選修4－4坐標系與參數方程 Word版含解析

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1、 專題八　系列4選講 第一講　(選修4－4)坐標系與參數方程 必記公式] 直角坐標與極坐標的互化公式 把直角坐標系的原點作為極點，x軸正半軸作為極軸，并在兩坐標系中取相同的長度單位．設M是平面內任意一點，它的直角坐標是(x，y)，極坐標是(ρ，θ)，則 重要結論] 1．圓的極坐標方程 (1)若圓心為M(ρ0，θ0)，半徑為r，則圓的方程為：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ－r2＝0. (2)幾個特殊位置的圓的極坐標方程 ①當圓心位于極點，半徑為r：ρ＝r； ②當圓心位于M(a,0)，半徑為a：ρ＝2acosθ； ③當圓心位于M，半徑為a：ρ＝2as

2、inθ. 2．直線的極坐標方程 (1)若直線過點M(ρ0，θ0)，且極軸到此直線的角為α，則它的方程為：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． (2)幾個特殊位置的直線的極坐標方程 ①直線過極點：θ＝θ0和θ＝π－θ0； ②直線過點M(a,0)且垂直于極軸：ρcosθ＝a； ③直線過M且平行于極軸：ρsinθ＝b. 3．幾種常見曲線的參數方程 (1)圓 ①以O′(a，b)為圓心，r為半徑的圓的參數方程是其中α是參數． ②當圓心在(0,0)時，方程為其中α是參數． (2)橢圓 ①橢圓＋＝1(a>b>0)的參數方程是其中φ是參數． ②橢圓＋＝1(a>

3、;b>0)的參數方程是其中φ是參數． (3)直線 經過點P0(x0，y0)，傾斜角為α的直線的參數方程是其中t是參數． 4．直線參數方程中參數t的幾何意義 過定點M0(x0，y0)，傾斜角為α的直線的參數方程為(t為參數)①. 通常稱①為直線l的參數方程的“標準式”．其中參數t的幾何意義是：|t|是直線上任一點M(x，y)到M0(x0，y0)的距離，即|M0M|＝|t|. 當0<α<π時，sinα>0，所以，直線l的單位方向向量e的方向總是向上．此時，若t>0，則的方向向上；若t<0，則的方向向下；若t＝0，則點M與點M0重合，即當點M在M0上方

4、時，有t＝||；當點M在M0下方時，有t＝－||. 失分警示] 1．極坐標與直角坐標互化的前提是把直角坐標系的原點作為極點，x軸正半軸作為極軸，且在兩坐標系中取相同的長度單位． 2．在將曲線的參數方程化為普通方程時，不僅僅是要把其中的參數消去，還要注意其中的x、y的取值范圍，即在消去參數的過程中一定要注意普通方程與參數方程的等價性．  考點　極坐標方程及其應用　　 典例示法 典例1　　已知曲線C1的參數方程為(t為參數)，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρ＝2sinθ. (1)把C1的參數方程化為極坐標方程； (2)求C1與C2交

5、點的極坐標(ρ≥0,0≤θ<2π)． 解]　(1)將消去參數t， 化為普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25， 即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0. 將 代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得 ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0. 所以C1的極坐標方程為ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0. (2)C2的普通方程為x2＋y2－2y＝0. 由 解得或 所以C1與C2交點的極坐標分別為，. 解決極坐標系問題的策略 (1)如果題目中曲線的極坐標方程比較容易化成直角坐標方程，則可以統(tǒng)一轉化到直角坐標系中，利用直角坐標系的定理、公

6、式解題． (2)如果題目中曲線的極坐標方程比較復雜，不方便化成直角坐標方程或者極坐標系中的極角、極徑關系比較明顯，比如已知兩個點的極坐標，求兩個點間的距離，則可以直接利用已知的極角、極徑結合余弦定理求距離． 針對訓練 20xx·衡陽聯(lián)考]在極坐標系中，曲線C：ρ＝2acosθ(a>0)，l：ρcos＝，C與l有且僅有一個公共點． (1)求a； (2)O為極點，A，B為曲線C上的兩點，且∠AOB＝，求|OA|＋|OB|的最大值． 解　(1)曲線C：ρ＝2acosθ(a>0)，變形ρ2＝2ρacosθ， 化為x2＋y2＝2ax，即(x－a)2＋y2＝a2

7、. ∴曲線C是以(a,0)為圓心，以a為半徑的圓； 由l：ρcos＝，展開為ρcosθ＋ρsinθ＝， ∴l(xiāng)的直角坐標方程為x＋y－3＝0. 由題可知直線l與圓C相切，即＝a，解得a＝1. (2)不妨設A的極角為θ，B的極角為θ＋， 則|OA|＋|OB|＝2cosθ＋2cos＝3cosθ－sinθ ＝2cos， 當θ＝－時，|OA|＋|OB|取得最大值2. 考點　參數方程及其應用　　 典例示法 典例2　　20xx·全國卷Ⅰ]已知曲線C：＋＝1，直線l：(t為參數)． (1)寫出曲線C的參數方程，直線l的普通方程； (2)過曲線C上任意一點P作與l夾角為3

8、0°的直線，交l于點A，求|PA|的最大值與最小值． 解]　(1)曲線C的參數方程為(θ為參數)． 直線l的普通方程為2x＋y－6＝0. (2)曲線C上任意一點P(2cosθ，3sinθ)到l的距離為d＝|4cosθ＋3sinθ－6|. 則|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|， 其中α為銳角，且tanα＝. 當sin(θ＋α)＝－1時，|PA|取得最大值，最大值為. 當sin(θ＋α)＝1時，|PA|取得最小值，最小值為. 1．參數方程化為普通方程消去參數的方法 (1)代入消參法：將參數解出來代入另一個方程消去參數，直線的參數方程通常用代入消參法． (2)三

9、角恒等式法：利用sin2α＋cos2α＝1消去參數，圓的參數方程和橢圓的參數方程都是運用三角恒等式法． (3)常見消參數的關系式： ①t·＝1； ②2－2＝4； ③2＋2＝1. 2．參數方程表示的曲線的綜合問題的求解思路 (1)可以統(tǒng)一成普通方程處理． (2)利用參數方程中參數解決問題，如利用直線參數方程中參數的幾何意義解決與距離有關的問題，利用圓錐曲線參數方程中的參數角θ解決與最值相關的問題． 針對訓練 20xx·唐山統(tǒng)考]將曲線C1：x2＋y2＝1上所有點的橫坐標伸長到原來的倍(縱坐標不變)得到曲線C2，A為C1與x軸正半軸的交點，直線l經過點

10、A且傾斜角為30°，記l與曲線C1的另一個交點為B，與曲線C2在第一、三象限的交點分別為C，D. (1)寫出曲線C2的普通方程及直線l的參數方程； (2)求|AC|－|BD|. 解　(1)由題意可得C2：＋y2＝1，l：(t為參數)． (2)將代入＋y2＝1， 整理得5t2＋4t－4＝0. 設點C，D對應的參數分別為t1，t2，則t1＋t2＝－， 且|AC|＝t1，|AD|＝－t2.又|AB|＝2|OA|cos30°＝， 故|AC|－|BD|＝|AC|－(|AD|－|AB|)＝|AC|－|AD|＋|AB|＝t1＋t2＋＝. 考點　極坐標方程與參數方程的綜合

11、應用　　 典例示法 典例3　　20xx·全國卷Ⅱ]在直角坐標系xOy中，曲線C1：(t為參數，t≠0)，其中0≤α<π.在以O為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2：ρ＝2sinθ，C3：ρ＝2cosθ. (1)求C2與C3交點的直角坐標； (2)若C1與C2相交于點A，C1與C3相交于點B，求|AB|的最大值． 解]　(1)曲線C2的直角坐標方程為x2＋y2－2y＝0，曲線C3的直角坐標方程為x2＋y2－2x＝0. 聯(lián)立解得或 所以C2與C3交點的直角坐標為(0,0)和. (2)曲線C1的極坐標方程為θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α<π.

12、因此A的極坐標為(2sinα，α)，B的極坐標為(2cosα，α)． 所以|AB|＝|2sinα－2cosα|＝4. 當α＝時，|AB|取得最大值，最大值為4. 解決極坐標方程、參數方程綜合問題的方法 與極坐標方程、參數方程相關的問題往往涉及直線、圓、橢圓，處理的基本思路是把它們化為直角坐標方程或普通方程，利用直角坐標方程或普通方程解決實際問題，另外若涉及有關最值或參數范圍問題時可利用參數方程，化為三角函數的最值問題處理． 針對訓練 20xx·西安質檢]在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數方程為(α為參數)，以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C

13、2的極坐標方程為ρsin＝4. (1)求曲線C1的普通方程與曲線C2的直角坐標方程． (2)設P為曲線C1上的動點，求點P到C2上點的距離的最小值，并求此時點P的坐標． 解　(1)對于曲線C1有 則2＋y2＝cos2α＋sin2α＝1， 即C1的普通方程為＋y2＝1. 對于曲線C2有ρsin＝ρ(cosθ＋sinθ)＝4?ρcosθ＋ρsinθ＝8?x＋y－8＝0，所以C2的直角坐標方程為x＋y－8＝0. (2)顯然橢圓C1與直線C2無公共點，橢圓上點P(cosα，sinα)到直線x＋y－8＝0的距離為d＝＝， 當sin＝1時，d取最小值為3，此時點P的坐標為. 全國

14、卷高考真題調研] 1．20xx·全國卷Ⅱ]在直角坐標系xOy中，圓C的方程為(x＋6)2＋y2＝25. (1)以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求C的極坐標方程； (2)直線l的參數方程是(t為參數)，l與C交于A，B兩點，|AB|＝，求l的斜率． 解　(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得圓C的極坐標方程為ρ2＋12ρcosθ＋11＝0. (2)在(1)中建立的極坐標系中，直線l的極坐標方程為θ＝α(ρ∈R)． 設A，B所對應的極徑分別為ρ1，ρ2，將l的極坐標方程代入C的極坐標方程得ρ2＋12ρcosα＋11＝0. 于是ρ1＋ρ2＝－12cosα，

15、ρ1ρ2＝11. |AB|＝|ρ1－ρ2|＝＝. 由|AB|＝得cos2α＝，tanα＝±. 所以l的斜率為或－. 2．20xx·全國卷Ⅰ]在直角坐標系xOy中，直線C1：x＝－2，圓C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系． (1)求C1，C2的極坐標方程； (2)若直線C3的極坐標方程為θ＝(ρ∈R)，設C2與C3的交點為M，N，求△C2MN的面積． 解　(1)因為x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以C1的極坐標方程為ρcosθ＝－2，C2的極坐標方程為ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0. (2)將θ＝

16、代入ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0， 得ρ2－3ρ＋4＝0， 解得ρ1＝2，ρ2＝.故ρ1－ρ2＝， 即|MN|＝. 由于C2的半徑為1，所以△C2MN的面積為. 3．20xx·全國卷Ⅱ]在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，半圓C的極坐標方程為ρ＝2cosθ，θ∈. (1)求C的參數方程； (2)設點D在C上，C在D處的切線與直線l：y＝x＋2垂直，根據(1)中你得到的參數方程，確定D的坐標． 解　(1)C的普通方程為(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)． 可得C的參數方程為 (t為參數，0≤t≤π)． (2)設D(1

17、＋cost，sint)． 由(1)知C是以G(1,0)為圓心，1為半徑的上半圓． 因為C在點D處的切線與l垂直，所以直線GD與l的斜率相同，tant＝，t＝. 故D的直角坐標為，即. 其它省市高考題借鑒] 4．20xx·北京高考]在極坐標系中，直線ρcosθ－ρsinθ－1＝0與圓ρ＝2cosθ交于A，B兩點，則|AB|＝________. 答案　2 解析　將ρcosθ－ρsinθ－1＝0化為直角坐標方程為x－y－1＝0，將ρ＝2cosθ化為直角坐標方程為(x－1)2＋y2＝1，圓心坐標為(1,0)，半徑r＝1，又(1,0)在直線x－y－1＝0上，所以|AB|＝2r＝2

18、. 5．20xx·湖北高考]在直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．已知直線l的極坐標方程為ρ(sinθ－3cosθ)＝0，曲線C的參數方程為(t為參數)，l與C相交于A，B兩點，則|AB|＝________. 答案　2 解析　因為ρ(sinθ－3cosθ)＝0，所以ρsinθ＝3ρcosθ，所以y－3x＝0，即y＝3x.由消去t得y2－x2＝4. 由解得 或不妨令A， B，由兩點間的距離公式得 |AB|＝＝2. 6．20xx·湖南高考]已知直線l：(t為參數)，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為

19、ρ＝2cosθ. (1)將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程； (2)設點M的直角坐標為(5，)，直線l與曲線C的交點為A，B，求|MA|·|MB|的值． 解　(1)ρ＝2cosθ等價于ρ2＝2ρcosθ.① 將ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x代入①，即得曲線C的直角坐標方程為x2＋y2－2x＝0.② (2)將代入②，得t2＋5t＋18＝0. 設這個方程的兩個實根分別為t1，t2，則由參數t的幾何意義即知，|MA|·|MB|＝|t1t2|＝18. 1．20xx·合肥質檢]在直角坐標系xOy中，曲線C：(α為參數)，在以O為極點，x軸的非負半軸為極

20、軸的極坐標系中，直線l：ρsinθ＋ρcosθ＝m. (1)若m＝0時，判斷直線l與曲線C的位置關系； (2)若曲線C上存在點P到直線l的距離為，求實數m的取值范圍． 解　(1)曲線C的普通方程為：(x－1)2＋(y－1)2＝2，是一個圓；當m＝0時，直線l的直角坐標方程為：x＋y＝0， 圓心C到直線l的距離為d＝＝＝r，r為圓C的半徑，所以直線l與圓C相切． (2)由已知可得，圓心C到直線l的距離為d＝≤，解得－1≤m≤5. 2．20xx·湖南四校聯(lián)考]已知直線l的參數方程為(t為參數)，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，圓C的極坐標方程為ρ＝4sin.

21、 (1)求圓C的直角坐標方程； (2)若P(x，y)是直線l與圓面ρ≤4sin的公共點，求x＋y的取值范圍． 解　(1)因為圓C的極坐標方程為ρ＝4sin， 所以ρ2＝4ρsin＝4ρ 又ρ2＝x2＋y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ， 所以x2＋y2＝2y－2x， 所以圓C的普通方程為x2＋y2＋2x－2y＝0. (2)設z＝x＋y， 由圓C的方程x2＋y2＋2x－2y＝0?(x＋1)2＋(y－)2＝4， 所以圓C的圓心是(－1，)，半徑是2， 將代入z＝x＋y得z＝－t. 又直線l過C(－1，)，圓C的半徑是2，所以－2≤t≤2， 所以－2≤－t≤2， 即x＋

22、y的取值范圍是－2,2]． 3．20xx·山西質檢]已知曲線C1：x＋y＝和C2：(φ為參數)．以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，且兩種坐標系中取相同的長度單位． (1)把曲線C1和C2的方程化為極坐標方程； (2)設C1與x，y軸交于M，N兩點，且線段MN的中點為P.若射線OP與C1，C2交于P，Q兩點，求P，Q兩點間的距離． 解　(1)C1：ρsin＝，C2：ρ2＝. (2)∵M(，0)，N(0,1)，∴P， ∴OP的極坐標方程為θ＝， 把θ＝代入ρsin＝得ρ1＝1，P. 把θ＝代入ρ2＝得ρ2＝2，Q. ∴|PQ|＝|ρ2－ρ1|＝1，即P，

23、Q兩點間的距離為1. 4．20xx·長春質量監(jiān)測]在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數方程為(t是參數)，以原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρ＝8cos. (1)求曲線C2的直角坐標方程，并指出其表示何種曲線； (2)若曲線C1和曲線C2交于A，B兩點，求|AB|的最大值和最小值． 解　(1)對于曲線C2有ρ＝8cos，即ρ2＝4ρcosθ＋4ρsinθ，因此曲線C2的直角坐標方程為x2＋y2－4x－4y＝0，其表示一個圓． (2)聯(lián)立曲線C1與曲線C2的方程可得：t2－2sinα·t－13＝0，|AB|＝|t1－t2|＝＝＝，因

24、此|AB|的最小值為2，最大值為8. 5．20xx·河南六市一聯(lián)]在平面直角坐標系中，直線l的參數方程為(t為參數)，在以直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C的極坐標方程為ρ＝. (1)求曲線C的直角坐標方程和直線l的普通方程； (2)若直線l與曲線C相交于A，B兩點，求△AOB的面積． 解　(1)由曲線C的極坐標方程ρ＝，得ρ2sin2θ＝2ρcosθ，所以曲線C的直角坐標方程是y2＝2x. 由直線l的參數方程得t＝3＋y，代入x＝1＋t中，消去t得x－y－4＝0， 所以直線l的普通方程為x－y－4＝0. (2)將直線l的參數方程代入曲線C

25、的直角坐標方程y2＝2x，得t2－8t＋7＝0， 設A，B兩點對應的參數分別為t1，t2， 則t1＋t2＝8，t1t2＝7， 所以|AB|＝|t1－t2|＝×＝×＝6， 因為原點到直線x－y－4＝0的距離d＝＝2， 所以△AOB的面積是|AB|·d＝×6×2＝12. 6．20xx·貴陽監(jiān)測]極坐標系與直角坐標系xOy有相同的長度單位，以原點為極點，以x軸正半軸為極軸，曲線C1的極坐標方程為ρ＝4cosθ(ρ≥0)，曲線C2的參數方程為(t為參數，0≤α<π)，射線θ＝φ，θ＝φ＋，θ＝φ－與曲線C1分別交于(不包括極

26、點O)點A、B、C. (1)求證：|OB|＋|OC|＝|OA|； (2)當φ＝時，B、C兩點在曲線C2上，求m與α的值． 解　(1)證明：依題意|OA|＝4cosφ， |OB|＝4cos，|OC|＝4cos， 則|OB|＋|OC|＝4cos＋4cos ＝2(cosφ－sinφ)＋2(cosφ＋sinφ) ＝4cosφ＝|OA|. (2)當φ＝時，B、C兩點的極坐標分別為、，化為直角坐標為B(1，)、C(3，－)，所以經過點B、C的直線方程為y－＝－(x－1)，而C2是經過點(m,0)且傾斜角為α的直線，故m＝2，α＝. 7．20xx·重慶測試]在直角坐標系xOy中，

27、曲線C的參數方程為(α為參數)，在以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，直線l的極坐標方程為ρsin＝2. (1)求曲線C和直線l在該直角坐標系下的普通方程； (2)動點A在曲線C上，動點B在直線l上，定點P的坐標為(－2,2)，求|PB|＋|AB|的最小值． 解　(1)由曲線C的參數方程可得， (x－1)2＋y2＝cos2α＋sin2α＝1， 所以曲線C的普通方程為(x－1)2＋y2＝1. 由直線l的極坐標方程：ρsin＝2，可得ρ(sinθ＋cosθ)＝4，即x＋y＝4. (2)設點P關于直線l的對稱點為Q(a，b)，則解得 由(1)知，曲線C為圓，圓心坐標為C(

28、1,0)， 故|PB|＋|AB|＝|QB|＋|AB|≥|QC|－1＝－1. 當Q，B，A，C四點共線，且A在B，C之間時，等號成立，所以|PB|＋|AB|的最小值為－1. 8．20xx·全國卷Ⅰ]在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數方程為(t為參數，a>0)．在以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2：ρ＝4cosθ. (1)說明C1是哪一種曲線，并將C1的方程化為極坐標方程； (2)直線C3的極坐標方程為θ＝α0，其中α0滿足tanα0＝2，若曲線C1與C2的公共點都在C3上，求a. 解　(1)消去參數t得到C1的普通方程x2＋(y－1)2＝a2.C1是以(0,1)為圓心，a為半徑的圓． 將x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入C1的普通方程中，得到C1的極坐標方程為ρ2－2ρsinθ＋1－a2＝0. (2)曲線C1，C2的公共點的極坐標滿足方程組 若ρ≠0，由方程組得16cos2θ－8sinθcosθ＋1－a2＝0，由已知tanθ＝2，可得16cos2θ－8sinθcosθ＝0，從而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1. a＝1時，極點也為C1，C2的公共點，在C3上． 所以a＝1.