北師大版六年級上冊數(shù)學(xué)同步奧數(shù)培優(yōu)

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1、第一講圓的周長與面積（一） 【知識概述】 圓是由曲線圍成的平面圖形。在日常生活和學(xué)習(xí)中我們經(jīng)常會遇到與圓的周長和面積有 關(guān)的問題。 圓的周長除以它的直徑的商是一個固定不變的數(shù)，這個結(jié)果被稱為“圓周率” 。圓周率 是一個無限不循環(huán)的小數(shù)，用字母“ n”表示，圓的周長=圓周率x直徑，即C=n d或C=2 n r。 圓的面積等于圓周率與半徑平方的乘積，即 S=「：r2。 下圖圓的陰影部分是一個扇形，它的面積是一個圓的面積的四分之一，它的周長是圓 周長的四分之一再加上兩條半徑的長。 【例題精學(xué)】 例1:把4個啤酒瓶扎在一起（如圖所示）捆 4圈至少用繩子多少厘米？ （接頭部分用去

2、15 厘米） 思路點(diǎn)撥：用繩子捆4圈的長度就是指周長的 4倍。這個圖形的周長可分為兩類： 線段的長 度和弧的長度。而這四條弧正好可以拼成一個圓， 每條線段的長正好是圓的直徑的長。 所以 繩子捆1圈的長度就是圖中一個圓的周長加上 4條直徑的長度之和。 1 【同步精煉】 1、計算下圖中陰影部分的周長。 （單位：厘米） 2、一個街心花園如下圖的形狀 園的周長是多少米？ ,中間正方形的邊長是 20米,四周為半圓 形,這個街心花 2 # 3、在學(xué)校200米的跑道中，每條跑道寬1.2米 由于有彎道，為了公平，外道和內(nèi)道選手的起 跑線不在同一地點(diǎn)?如

3、：A點(diǎn)處是小明的起跑線,B是小強(qiáng)的起跑線,AB兩點(diǎn)的距離是？ # # 例2:如下圖，從點(diǎn) A到點(diǎn)B沿著大圓走和沿著中，小圓周走的路程相同嗎？ # # 思路點(diǎn)撥：從點(diǎn)A到點(diǎn)B有兩種走法：第一種是大圓的周長的一半；第二種是由 A到C的 中圓周長的一半與 C到B的小圓周長的一半的和。設(shè)小圓的直徑為 a,中原的直徑為b,則 大圓的直徑為a+b。那么第一種走法的路程為 6= n a-：-2+ n b-2;第二種走法的路程為 C2= n a-2+ n b-2，所以 C1=C2. 【同步精煉

4、】 1、下圖中，從A點(diǎn)到B點(diǎn)沿著大圓周走和沿著小圓周走，路程相同嗎? 2、已知AB=50cm求圓中各圓的周長總和。 3、已知一個大圓中緊緊的排列著三個半徑不同的小圓（如圖） ，并且這四個圓的圓心恰好 在同一條直線上。如果大圓的周長是 30cm那么三個小圓的周長之和是多少？ 例3：將半徑分別是3厘米和2厘米的兩個半圓按下圖形狀放置，求陰影部分的周長。 思路點(diǎn)撥： 陰影部分的周長為小半圓的弧長加上大半圓的弧長，再加上兩條線段的長。 兩個半圓的弧長是 2X 2X 3.14 - 2+2X 3X 3.14 - 2=15.7 （厘米） 兩條線段的長是

5、 3+ （2 X 2-3 ） =4 （厘米） 這樣就求出陰影部分的周長了。 【同步精煉】 1、一個半圓的周長是 20.56厘米，這個半圓的直徑是多少厘米? 2、以B與C為圓心的兩個半圓的直徑都是 4分米，求陰影部分的周長。 3、下圖中圓的面積等于長方形的面積，已知圓的周長是 周長是多少厘米？ 36厘米，那么圖中的陰影部分的 5 # 例3： F圖是由正方形和半圓組成的圖形，其中 P點(diǎn)為半圓的中點(diǎn)，Q點(diǎn)為正方形一邊上的 中點(diǎn)，那么陰影部分的面積是多少？（單位：厘米）思路點(diǎn)撥：求陰影部分的面積最常用的方法叫做“排空法”

6、。所謂排空法就是指用圖形外圍 的面積減去空白部分的面積就是陰影部分的面積。 此題中圖形外圍的面積應(yīng)該是正方形和半 圓面積之和，比較好求。空白部分是個不規(guī)則的四邊形， 我們可以用分割的方法把它分成幾 塊基本圖形再求面積。 ABP與三角 連接BP，則圖中陰影部分面積可以用正方形與半圓面積的和減去三角形 形BPQ的面積之和。 1、下圖小半圓的半徑為 4厘米，求陰影部分的面積。 2、下圖中三角形的面積是 12平方厘米，求陰影部分的面積。 【同步精煉】 6 第二講圓的周長與面積（二） 【知識概述】 在上一講中，我們知道了求陰影部分面積常用的方法是“排空法” 。除此之外，還經(jīng)

7、 常用到“二次求差法”、“平移旋轉(zhuǎn)法”。 所謂“二次求差法”就是利用“排空法”求圖中陰影部分的面積，而空白部分的面積 也要通過兩個圖形面積相減求得。 有些不規(guī)律的組合圖形（或陰影部分）的面積計算，無法直接或較難直接求得，但是 通過將這些圖形分割，或?qū)⑦@些圖形平移、旋轉(zhuǎn)后重新組成一個面積大小不變的新圖形， 這 時面積很容易求得。這種方法就是“平移旋轉(zhuǎn)法” 。 【例題精學(xué)】 例1:在長方形 ABCD中，AB=6厘米，BC=4厘米，扇形 ABE的半徑 AE=6厘米，扇形 CBF的半徑CF=4厘米，求圖中陰影部分的面積。 7 # 思路點(diǎn)撥：觀察圖形，不

8、難看出圖中的陰影部分面積可以用扇形 ABE的面積減去空白部分 ABFD的面積，而空白部分 ABFD的面積又可以用長方形 ABCD的面積減去扇形 BCF的面 積，這就是“二次求差法”的利用。 【同步精煉】 1、 如下圖，扇形 AFB恰為一個圓的四分之一, 陰影部分的面積是多少？（單位：厘米） BCDE是正方形，AFBG是正方形，則圖中 # # 2、 求下圖中陰影部分的面積。 （單位：厘米） # 3、 下圖正方形的邊長是 4厘米，求陰影部分的面積。 8 # 例2:如下圖，OA,OB分別是小半圓的直

9、徑，且 0A=0B=6厘米，/ BOA=90，陰影部分 的面積是多少平方厘米? 思路點(diǎn)撥：連接AB與CO（如右圖），經(jīng)過觀察可以發(fā)現(xiàn)：陰影部分 a的面積與空白部分 b 的面積相等，陰影部分 c的面積與空白面積 d的面積相等。這樣 a和c就可以移至b和d 的位置。原圖的陰影部分的面積就可以轉(zhuǎn)化為三角形 【同步精煉】 ABO的面積。 1、求下圖中陰影部分的面積。 （單位：厘米） # # 2、2、求下圖中陰影部分的面積。 （單位：厘米） 20 # # 3、如下圖，半徑分別為 2,3,4厘米的同心圓被八等分，求陰

10、影部分的面積。 # ，求陰影部 例3:已知正方形的邊長為 10厘米，以兩條邊長為直徑作兩個半圓（如下圖） 分的面積。 思路點(diǎn)撥： 有些學(xué)生面臨這道題時可能會想到“排空法” ，即用正方形的面積減去空白部 分的面積，但解題時就會發(fā)現(xiàn)求空白部分的面積是比較麻煩的。我們利用正方形的對稱性 連接正方形的對角線，把其中一塊陰影部分分割成I和n兩個部分。 （如下圖） 9 # 而I可以逆時針旋轉(zhuǎn) 90移至I 處，n順時針旋轉(zhuǎn) 90移至n 處。這樣，通過分割和 旋轉(zhuǎn)的方法，可以把原圖中的陰影部分拼成一個三角形，再求這個三角形的面積就簡單多 了。 【同步精煉

11、】 1、求下圖中陰影部分的面積。 （單位：厘米） # # 2、求下圖中陰影部分的面積。 （單位：厘米） # # 3、求下圖中陰影部分的面積。 （單位：厘米） # 例4:下圖中兩塊陰影部分的面積相等，三角形 ABC是直角三角形，BC是直徑，長40 厘米，求AB的長度。 思路點(diǎn)撥：由圖中兩塊陰影部分的面積相等可知: 三角形ABC的面積=陰影部分面積（I） 10 +空白部分面積（川）；半圓的面積=陰影部分面積（n） +空白部分面積（川）。這說明三角 形ABC的面積等于半圓的面積。求出

12、半圓的面積也就知道了三角形 ABC的面積。再根據(jù) “高=三角形面積X 2十底”就可以求出 AB的長了。 【同步精煉】 23平方米，BC 1、下圖中三角形 ABC是直角三角形，陰影（I）比陰影（n）的面積小 的長度是多少米？ # # 2、在下圖中，直角三角形 ABC的直角邊AB是圓的直徑，且 AB=20厘米，如果陰影（I） 比陰影（n）的面積大 7厘米，求BC的長。 # 3、在下圖中，長方形的寬為 1厘米，以B點(diǎn)喝C點(diǎn)為圓心，以寬為半徑的扇形相較于點(diǎn) G,形成兩個陰影部分。已知兩個陰影部分的面積相等，求長方形的長。 1

13、1 # 第三講分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算 【知識概述】 在進(jìn)行分?jǐn)?shù)計算時，不僅要熟練地掌握四則運(yùn)算的法則和運(yùn)算定律， 而且還常常要根 據(jù)算式中數(shù)的特點(diǎn)和算式結(jié)構(gòu)， 運(yùn)用一些運(yùn)算技巧, 靈活選擇計算方法，使一些較復(fù)雜的分 數(shù)計算化難為易、化繁為簡。 【例題精學(xué)】 加 32 13 例 1 : (1) X 17 (2) 28 X 33 27 32 1 32 1 思路點(diǎn)撥：觀察這兩道題中數(shù)的特點(diǎn)，第 （1）中的 比1少 ，把 寫成1減 的差 33 33 33 33 13 與17相乘，在運(yùn)用乘法分配律使計算

14、簡便；同樣，第 （2）中的28與 中的分母相差1， 27 13 把28分成27加1的和與13相乘，在運(yùn)用乘法分配律使計算簡便。 27 【冋步精煉】 23 11 1、 X19 2 、36 X 24 35 3、— X 126 15 25 ，‘ 1998 例 2: 1998- 1998 1999 1998竺=1998 1999 1998，先不要 1999 1999 急著算出分子，觀察數(shù)的特點(diǎn), 再去除1998算出最后結(jié)果。 1998 1999 1998 1999 1998 (1999 1) 1999 1998 2000 1

15、999 思路點(diǎn)撥：這道題先把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù): 12 # 【同步精煉】 1999 - 1999 1999 2000 238 1、 238 - 238 2 239 罰 1999 +2000 x1998 例3: 1999 x 2000 —1 思路點(diǎn)撥： 仔細(xì)觀察分子、分母中各數(shù)的特點(diǎn)，我們就會發(fā)現(xiàn)，分子 1999+2000 X 1998=1999+2000 X ( 1999 - 1) =1999+2000 X 1999 - 2000=2000 X 1999 — 1,這樣就把分子轉(zhuǎn)化 成與分母完全相同的式子，結(jié)果為 1. 【同步精煉】 362 548

16、 361 1、 362 548 -186 2、 1988 1989 1987 1988 1989 -1 … 1 1 1 1 1 1漢2 2漢3 3匯4 4漢5 5漢6 思路點(diǎn)撥：在這道題中，每個分?jǐn)?shù)的分子都是 1，分母是兩個連續(xù)自然數(shù)的積。 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 =1 — 一 , = — , = — , = — 1 2 2 2 3 2 3 3 4 3 4 4 5 4 5 5 6 5 6 1 1 1 n (n 1) n (n 1) 把每個分?jǐn)?shù)都寫成兩個分?jǐn)?shù)的差， 使部分分?jǐn)?shù)相互抵

17、消, 使計算簡便。 【同步精煉】 1 1 1 1 1、 + + + + 1 2 2 3 3 4 99 100 11111 —+ — +——+——+—— 2 6 12 20 30 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3、1 + + + + + + + + + 2 6 12 20 30 42 56 72 90 第四講分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算 稍復(fù)雜的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題 【知識概述】 有些稍微復(fù)雜的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中的兩個或兩個以上單位“ 1 ”的量，這時一般先用轉(zhuǎn)換 法統(tǒng)一單位“1”，有時還要根據(jù)解題需要，把分率轉(zhuǎn)化成比，然后才能

18、進(jìn)行解答。 【例題精學(xué)】 例1：甲、乙、丙、丁四人向希望工程捐款，結(jié)果甲捐了另外三人總數(shù)的一半，乙捐了另外 1 1 三人總數(shù)的一，丙捐了另外三人總數(shù)的 一，丁捐了 91元。甲、乙、丙、丁四人共捐了多少元？ 3 4 思路點(diǎn)撥：根據(jù)題意可知，甲、乙、丙、丁四人捐款的總數(shù)是一定的，把四人的總數(shù)看成單 1 位“ 1”。“甲捐了另外三人總數(shù)的一半”，則甲的捐款是四人捐款總數(shù)的 一^，同理，乙的捐 1+2 1 1 款是四人捐款總數(shù)的 ，而丙的捐款是四人捐款總數(shù)的 。那么我們就可以求出丁捐 1+3 1+4 的91元所對應(yīng)的分率，在求出四人的捐款總數(shù)。 【同步精煉】 1 1 1

19、、甲、乙、丙、丁四個數(shù)，甲數(shù)是其他三個數(shù)之和的 一，乙數(shù)是其他三個數(shù)之和的 一， 2 3 1 丙數(shù)是其他三個數(shù)之和的 一，已知丁數(shù)是260，則四個數(shù)的和是多少？甲數(shù)是多少？ 4 2、三個小朋友合買一枚價值 24元的2012年奧運(yùn)會紀(jì)念章，第一個孩子付的錢是其他孩 1 子付的總錢數(shù)的一半， 第二個孩子付的錢是其他孩子付的總錢數(shù)的 。問：第三個孩子付 3 了多少元？ 4、學(xué)校有數(shù)學(xué)、氣象、航模三個興趣小組，其中數(shù)學(xué)小組的人數(shù)是其他兩組人數(shù)的 氣象小組的人數(shù)是其他兩組人數(shù)的 4，航模小組比數(shù)學(xué)小組少 3人。三個小組共有多 3 少人？ 3 2 例2:乙隊原有的人數(shù)是甲隊的

20、 。現(xiàn)在甲隊派30人到乙隊，則乙隊人數(shù)是甲隊的 。原 7 3 來兩隊一共有多少人？ 思路點(diǎn)撥：當(dāng)“甲隊派30人到乙隊” 后，甲、乙兩隊的人數(shù)都發(fā)生了變化，但是兩隊的 總?cè)藬?shù)沒有變化，因此我們把甲、乙兩隊的總?cè)藬?shù)看成單位“ 1”。“乙隊原有的人數(shù)是甲隊 3 3 2 的3 ” ，則乙隊占總?cè)藬?shù)的 3 ，后來乙隊占總?cè)藬?shù)的 2 ，求出30人所對應(yīng)的分率， 7 3 7 2 3 再求出原來的總?cè)藬?shù)。 【同步精煉】 5 1、甲、乙兩個糧庫，甲糧庫庫存的噸數(shù)是乙糧庫的 一?，F(xiàn)在從乙糧庫調(diào)6噸糧食到甲糧庫, 7 4 則甲糧庫存糧的噸數(shù)是乙糧庫的 。原來兩個糧庫各存糧多少噸？ 5

21、 2、甲、乙兩人共有郵票若干枚，其中甲占 20 2 。兩人共有郵票多少枚？ 5 ，若乙給甲12枚，則乙余下的枚數(shù)占總數(shù)的 3、六（一）班在一次聚會中，請假人數(shù)是出席人數(shù)的 3 人數(shù)是出席人數(shù)的 。六（一）班共有多少人？ 22 1 ，中途又有一人離開，這樣請假 9 9 1 例3： 一堆糖果，其中奶糖占 —，再放入16塊水果糖后，奶糖就只占 -。這一堆糖果原 20 4 來一共有多少塊？ 思路點(diǎn)撥：解答這道題時，應(yīng)該抓住奶糖不變這個條件。 因?yàn)樵诳倝K數(shù)發(fā)生變化的情況下， 有變化的是水果糖的塊數(shù)，而奶糖的塊數(shù)沒有變，所以應(yīng)該把奶糖的塊數(shù)看成單位“ 1”，通 過水

22、果糖塊數(shù)的變化，求出奶糖的塊數(shù)，最后求出糖的總塊數(shù)。 【同步精煉】 5 1 1、袋里有若干個球，其中紅球占 ，后來又往袋里放了 6個紅球，這時紅球占總數(shù)的 。 12 2 原來袋里有多少個球？ 7 3 2、某科技發(fā)明興趣小組中女生占 ，后來又轉(zhuǎn)來了 15名女生，這樣女生占總?cè)藬?shù)的 —。 12 5 這個興趣小組男生有多少人？ 3、科技活動小組中，女生人數(shù)占 3，后來又轉(zhuǎn)來了 4名女生，這時女生人數(shù)占小組人數(shù)的 8 4 -。這個科技活動小組男生有多少人？現(xiàn)在共有多少人? 9 3 3 例4:兩個筑路隊合修一條公路， 甲隊修的=相當(dāng)于乙隊修的 。甲隊比乙隊多修了

23、10千 5 4 米，兩隊共修了多少千米？ 3 3 思路點(diǎn)撥：因?yàn)榧钻犘薜穆穢 =乙隊修的路x , 5 4 3 3 所以甲隊修的路：乙隊修的路=—:=5 : 4,甲隊修了 5份，乙隊修了 4份，總共9份。 4 5 “甲隊比乙隊多修了 10千米”，甲隊比乙隊多修了 1份，那么1份就是10千米，一共9 份，就是90千米。 【同步精煉】 1 2 1、兩袋大米，第二袋比第一袋重 等。兩袋大米各重多少千克？ 3 2、桃樹棵數(shù)的 和梨樹棵數(shù)的 5 4 4相等。兩種果樹各有多少棵? 9 2 3、兩根繩子共長27米，如果從第一根繩子上剪下 一，從第二根繩子上剪下 5

24、 根繩子剩下的部分一樣長。兩根繩子原來各長多少米？ 3米，那么兩 15千克，已知第一袋大米的3恰好與第二袋大米的7相 第五講觀察物體 【知識概述】 1、 物體的三視圖：將人的視線規(guī)定為平行投影線，然后正對著物體看過去，將所 見物體的輪廓用正投影法繪制出來，該圖形稱為視圖。一個物體有六個視圖： 從物體的前面向后面投射所得的視圖稱主視圖（正視圖）一一能反映物體的前 面形狀，從物體的上面向下面投射所得的視圖稱俯視圖——能反映物體的上面 形狀，還有其他三個視圖不是很常用。三視圖就是主視圖（正視圖） 、俯視圖、 左視圖（側(cè)視圖）的總稱。 2、 觀察位置由低到高的變化，所觀察到物體的

25、畫面也發(fā)生相應(yīng)的變化。觀察物體 的時候，站的越高，看到的物體完整。 3、 觀察位置由遠(yuǎn)到近變化，所觀察景物的范圍也相應(yīng)變化。觀察物體的時候，距 離越近，觀察到的景物越大，觀察景物范圍越?。痪嚯x越遠(yuǎn)，觀察到的景物越 小，觀察景物范圍越大。 4、 識別和判斷拍攝地點(diǎn)與照片中的對應(yīng)關(guān)系：可以假設(shè)自己在拍攝地點(diǎn)處，根據(jù) 圖中景物特點(diǎn)，聯(lián)系自己的生活經(jīng)驗(yàn)，想想究竟能看到什么，再下結(jié)論。判斷 照片拍攝的先后順序時可以假設(shè)自己隨著拍攝者的行走路線游覽，想象自己先 17 看到哪些景物，從而判斷出照片拍攝的先后順序。 【例題精學(xué)】 例1: ）。在下面中選擇。

26、 # C答案所示圖形，從上面 A所示圖形。 思路點(diǎn)撥： 假想自己站在每個方位看一看。從正面看到的應(yīng)該是 看到的應(yīng)該是E所示圖形，從側(cè)面看（一般指左側(cè)面）看到的應(yīng)該是 【同步精煉】 1、用六個同樣大小的正方體分別擺成下面的樣子。 # # # 從（ ）面和（ ）面看，這三個物體的形狀完全相同; 從（ ）面看，這三個物體的形狀不同。 2、 A ⑴從側(cè)面看到的是 （2） 從上面看到的是 從上面看到的是 從上面看到的是 （3） 從左面看到的是 ■LLU 的圖形的物體有

27、（ m in 11 的的圖形的物體有（ 口的的圖形的物體有（ 的的圖形的物體有（ 的的圖形的物體有（ 3、連一連。 正啊 愉fti hffii ，從正面看到的 思路點(diǎn)撥: 從上面看到的是 Iffi ，說明至少要用 4個旬 ，并且擺 擺，從正面看 19 出 到的是！ ，說明有兩層，在第二層上至少

28、要放一個，為方便表述，把第一層的四個小 20 # 正方體編號 ，那么第二層的這個小正方體要擺在 1號或者3號上；從側(cè)面（左側(cè)面） Fh 看到的是 ，也說明了要擺兩層，第二層上至少擺一個，要擺在 1號或者2號上，綜 合起來看，這個立體圖形一共由 5個 放在1號上，可以表示成 【同步精煉】 1、一個立體圖形從正面看是 搭這個立體圖形至少要用幾個勺？ 一個立體圖形從正面看是 從側(cè)面看是 ，搭這個立體圖形至少要用幾個 # # 3?有一個立體圖形，從正面、左面、上面看到的形狀分別如下: M A rta li U

29、 匚廊 h # 小明在草地上連續(xù)拍攝了正在行駛的一輛汽車的一組照片。 上面三幅圖照片按照拍攝時間的先后順序排列是： 思路點(diǎn)撥： 判斷照片先后順序時，可以假設(shè)自己隨著拍攝者的行走路線，想象自己先看到 哪些景物，再看到哪些景物，從而判斷出照片拍攝的先后順序。那么， 圖中應(yīng)該先看到的是 汽車的正面，然后汽車從身邊經(jīng)過，最后看到的是汽車的尾部。所以上面三幅站片按照拍攝 時間的先后順序排列是 312. 【同步精煉】 1、觀察下面三張照片，然后回答問題。 21 # 這三張照片按照從遠(yuǎn)到近的排列順序是（ ），其中（）號照片應(yīng)該是在樹下 拍到的。

30、2、小雨沿著臺階向一座建筑物走上去，在下面的兩幅圖中，哪幅是在 A處看到的，哪幅 是在B處看到的？ # # 例4:數(shù)一數(shù)，下圖是由多少個小正方體組成的? # 思路點(diǎn)撥：可以一層一層地數(shù)，在數(shù)每一層時，應(yīng)先數(shù)每排有幾個，有幾排，最后再相加。 圖中第一層有三排，第一排 1個，第2,3排都是3個，第一層一共7個；第二層有2排，第 一排1個，第二排3個。第二層一共4個；第三層有一排，一共 2個，所以三層一共有 13 個小正方體。 【同步精煉】 22 # #