（浙江專版）2018年高中數(shù)學 第一章 導數(shù)及其應用 1.1.1-1.1.2 變化率問題 導數(shù)的概念學案 新人教A版選修2-2.doc

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1．1.1&1.1.2　變化率問題　導數(shù)的概念 預習課本P2～6，思考并完成下列問題 (1)平均變化率的定義是什么？平均變化率的幾何意義是什么？ 　 　 (2)瞬時變化率的定義是怎樣的？如何求瞬時變化率？ 　 　 　 (3)如何用定義求函數(shù)在某一點處的導數(shù)？ 　 　 　　　　 1．函數(shù)y＝f(x)從x1到x2的平均變化率 (1)定義式：＝. (2)實質(zhì)：函數(shù)值的改變量與自變量的改變量之比． (3)意義：刻畫函數(shù)值在區(qū)間[x1，x2]上變化的快慢． (4)平均變化率的幾何意義： 設A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))是曲線y＝f(x)上任意不同的兩點，函數(shù)y＝f(x)的平均變化率＝＝為割線AB的斜率，如圖所示． [點睛]　Δx是變量x2在x1處的改變量，且x2是x1附近的任意一點，即Δx＝x2－x1≠0，但Δx可以為正，也可以為負． 2．函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時變化率 定義式 ＝ 實質(zhì) 瞬時變化率是當自變量的改變量趨近于0時，平均變化率趨近的值 作用 刻畫函數(shù)在某一點處變化的快慢 [點睛]　“Δx無限趨近于0”的含義 Δx趨于0的距離要多近有多近，即|Δx－0|可以小于給定的任意小的正數(shù)，且始終Δx≠0. 3．導數(shù)的概念 定義式 ＝ 記法 f′(x0)或y′|x＝x0 實質(zhì) 函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)就是y＝f(x)在x＝x0處的瞬時變化率 1．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“”) (1)函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)值與Δx值的正、負無關．(　　) (2)瞬時變化率是刻畫某函數(shù)值在區(qū)間[x1，x2]上變化快慢的物理量．(　　) (3)在導數(shù)的定義中，Δx，Δy都不可能為零．(　　) 答案：(1)√　(2)　(3) 2．質(zhì)點運動規(guī)律為s(t)＝t2＋3，則從3到3＋Δt的平均速度為(　　) A．6＋Δt　　　　　　　 　B．6＋Δt＋ C．3＋Δt D．9＋Δt 答案：A 3．已知函數(shù)f(x)＝2x2－4的圖象上兩點A，B，且xA＝1，xB＝1.1，則函數(shù)f(x)從A點到B點的平均變化率為(　　) A．4 B．4x C．4.2 D．4.02 答案：C 4．在f′(x0)＝ 中，Δx不可能為(　　) A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．大于0或小于0 答案：C 求函數(shù)的平均變化率 [典例]　求函數(shù)f(x)＝x2在x＝1,2,3附近的平均變化率，取Δx的值為，哪一點附近的平均變化率最大？ [解]　在x＝1附近的平均變化率為 k1＝＝＝2＋Δx； 在x＝2附近的平均變化率為 k2＝＝＝4＋Δx； 在x＝3附近的平均變化率為 k3＝＝＝6＋Δx； 若Δx＝，則k1＝2＋＝，k2＝4＋＝， k3＝6＋＝， 由于k1＜k2＜k3， 故在x＝3附近的平均變化率最大． 求平均變化率的步驟 (1)先計算函數(shù)值的改變量Δy＝f(x1)－f(x0)． (2)再計算自變量的改變量Δx＝x1－x0. (3)求平均變化率＝.　　　　　　 [活學活用] 求函數(shù)y＝x3從x0到x0＋Δx之間的平均變化率，并計算當x0＝1，Δx＝時平均變化率的值． 解：當自變量從x0變化到x0＋Δx時，函數(shù)的平均變化率為＝＝ ＝3x＋3x0Δx＋(Δx)2， 當x0＝1，Δx＝時平均變化率的值為 312＋31＋2＝. 求瞬時速度 [典例]　一做直線運動的物體，其位移s與時間t的關系是s(t)＝3t－t2. (1)求此物體的初速度； (2)求此物體在t＝2時的瞬時速度． [解]　(1)當t＝0時的速度為初速度．在0時刻取一時間段[0,0＋Δt]，即[0，Δt]， ∴Δs＝s(Δt)－s(0)＝[3Δt－(Δt)2]－(30－02)＝3Δt－(Δt)2， ＝＝3－Δt，li ＝li (3－Δt)＝3. ∴物體的初速度為3. (2)取一時間段[2,2＋Δt]， ∴Δs＝s(2＋Δt)－s(2) ＝[3(2＋Δt)－(2＋Δt)2]－(32－22) ＝－Δt－(Δt)2， ＝＝－1－Δt， ＝ (－1－Δt)＝－1， ∴當t＝2時，物體的瞬時速度為－1. 1．求運動物體瞬時速度的三個步驟 (1)求時間改變量Δt和位移改變量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)． (2)求平均速度＝； (3)求瞬時速度，當Δt無限趨近于0時，無限趨近于常數(shù)v，即為瞬時速度． 2．求(當Δx無限趨近于0時)的極限的方法 (1)在極限表達式中，可把Δx作為一個數(shù)來參與運算； (2)求出的表達式后，Δx無限趨近于0就是令Δx＝0，求出結果即可．　　　　 　　[活學活用] 一木塊沿某一斜面自由滑下，測得下滑的水平距離s與時間t之間的函數(shù)關系為s＝t2，則t＝2時，此木塊在水平方向的瞬時速度為(　　) A．2　　　　　　　　　 　B．1 C. D. 解析：選A　∵＝＝Δt＋2， ∴ ＝ ＝2，故選A. 求函數(shù)在某點處的導數(shù) [典例]　(1)函數(shù)y＝在x＝1處的導數(shù)為________． (2)如果一個質(zhì)點由定點A開始運動，在時間t的位移函數(shù)為y＝f(t)＝t3＋3， ①當t1＝4，Δt＝0.01時，求Δy和比值； ②求t1＝4時的導數(shù)． [解析]　(1)Δy＝－1， ＝＝， li ＝，所以y′|x＝1＝. 答案：(1) (2)解：①Δy＝f(t1＋Δt)－f(t1)＝3tΔt＋3t1(Δt)2＋(Δt)3，故當t1＝4，Δt＝0.01時，Δy＝0.481 201，＝48.120 1. ② ＝ [3t＋3t1Δt＋(Δt)2]＝3t＝48， 故函數(shù)y＝t3＋3在t1＝4處的導數(shù)是48， 即y′|t1＝4＝48. 1．用導數(shù)定義求函數(shù)在某一點處的導數(shù)的步驟 (1)求函數(shù)的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； (2)求平均變化率＝； (3)求極限 . 2．瞬時變化率的變形形式 ＝ ＝ ＝ ＝f′(x0)．　　　　 [活學活用] 求函數(shù)y＝x－在x＝1處的導數(shù)． 解：因為Δy＝(1＋Δx)－－＝Δx＋，所以＝＝1＋. 當Δx→0時，→2， 所以函數(shù)y＝x－在x＝1處的導數(shù)為2. 層級一　學業(yè)水平達標 1．如果一個函數(shù)的瞬時變化率處處為0，則這個函數(shù)的圖象是(　　) A．圓　　　　　　　　　 　B．拋物線 C．橢圓 D．直線 解析：選D　當f(x)＝b時，瞬時變化率 ＝ ＝0，所以f(x)的圖象為一條直線． 2．設函數(shù)y＝f(x)＝x2－1，當自變量x由1變?yōu)?.1時，函數(shù)的平均變化率為(　　) A．2.1 B．1.1 C．2 D．0 解析：選A　＝＝＝2.1. 3．設函數(shù)f(x)在點x0附近有定義，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b為常數(shù))，則(　　) A．f′(x)＝a B．f′(x)＝b C．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b 解析：選C　f′(x0)＝ ＝ (a＋bΔx)＝a. 4．如果質(zhì)點A按照規(guī)律s＝3t2運動，則在t0＝3時的瞬時速度為(　　) A．6　　　 B．18　　　　 C．54　　　　 D．81 解析：選B　∵s(t)＝3t2，t0＝3， ∴Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝3(3＋Δt)2－332＝18Δt＋3(Δt)2.∴＝18＋3Δt.∴ ＝ (18＋3Δt)＝18，故應選B. 5．已知f(x)＝x2－3x，則f′(0)＝(　　) A．Δx－3 B．(Δx)2－3Δx C．－3 D．0 解析：選C　f′(0)＝ ＝li ＝ (Δx－3)＝－3.故選C. 6．設f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，則a＝________. 解析：∵f′(1)＝ ＝ ＝a，∴a＝2. 答案：2 7.汽車行駛的路程s和時間t之間的函數(shù)圖象如圖，在時間段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分別為1，2，3，則三者的大小關系為________． 解析：1＝kOA，2＝kAB，3＝kBC， 由圖象知kOA＜kAB＜kBC. 答案：1＜2＜3 8．球的半徑從1增加到2時，球的體積平均膨脹率為______． 解析：∵Δy＝π23－π13＝， ∴＝＝. 答案： 9．質(zhì)點按規(guī)律s(t)＝at2＋1做直線運動(s單位：m，t單位：s)．若質(zhì)點在t＝2時的瞬時速度為8 m/s，求常數(shù)a的值． 解：∵Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝[a(2＋Δt)2＋1]－(a22＋1)＝4aΔt＋a(Δt)2，∴＝4a＋aΔt， ∴在t＝2時，瞬時速度為 ＝4a,4a＝8，∴a＝2. 10．已知函數(shù)f(x)＝求f′(4)f′(－1)的值． 解：當x＝4時，Δy＝－＋ ＝－＝ ＝. ∴＝. ∴ ＝ ＝＝. ∴f′(4)＝. 當x＝－1時，＝ ＝＝Δx－2， 由導數(shù)的定義，得f′(－1)＝li (Δx－2)＝－2， ∴f′(4)f′(－1)＝(－2)＝－. 層級二　應試能力達標 1．已知函數(shù)f(x)＝2x2－4的圖象上一點(1，－2)及鄰近一點(1＋Δx，－2＋Δy)，則等于(　　) A．4　　　　　　　　　　 　B．4x C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2 解析：選C?。剑剑剑?Δx＋4. 2.甲、乙兩人走過的路程s1(t)，s2(t)與時間t的關系如圖，則在[0，t0]這個時間段內(nèi)，甲、乙兩人的平均速度v甲，v乙的關系是(　　) A．v甲＞v乙 B．v甲＜v乙 C．v甲＝v乙 D．大小關系不確定 解析：選B　設直線AC，BC的斜率分別為kAC，kBC，由平均變化率的幾何意義知，s1(t)在[0，t0]上的平均變化率v甲＝kAC，s2(t)在[0，t0]上的平均變化率v乙＝kBC.因為kAC＜kBC，所以v甲＜v乙． 3．若可導函數(shù)f(x)的圖象過原點，且滿足 ＝－1，則f′(0)＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析：選B　∵f(x)圖象過原點，∴f(0)＝0， ∴f′(0)＝ ＝ ＝－1， ∴選B. 4．已知f(x)＝，且f′(m)＝－，則m的值等于(　　) A．－4 B．2 C．－2 D．2 解析：選D　f′(x)＝ ＝－，于是有－＝－，m2＝4，解得m＝2. 5．已知函數(shù)f(x)＝－x2＋x在區(qū)間[t,1]上的平均變化率為2，則t＝________. 解析：∵Δy＝f(1)－f(t)＝(－12＋1)－(－t2＋t)＝t2－t， ∴＝＝－t. 又∵＝2，∴t＝－2. 答案：－2 6．一物體的運動方程為s＝7t2＋8，則其在t＝________時的瞬時速度為1. 解析：＝＝7Δt＋14t0， 當 (7Δt＋14t0)＝1時，t＝t0＝. 答案： 7．槍彈在槍筒中運動可以看作勻加速運動，如果它的加速度是5.0105 m/s2，槍彈從槍口射出時所用時間為1.610－3 s，求槍彈射出槍口時的瞬時速度． 解：位移公式為s＝at2， ∵Δs＝a(t0＋Δt)2－at＝at0Δt＋a(Δt)2， ∴＝at0＋aΔt，∴ ＝ ＝at0， 已知a＝5.0105m/s2，t0＝1.610－3s，∴at0＝800 m/s. 所以槍彈射出槍口時的瞬時速度為800 m/s. 8．設函數(shù)f(x)在x0處可導，求下列各式的值． (1) ； (2) . 解：(1) ＝－m ＝－mf′(x0)． (2)原式 ＝ ＝ － ＝4 －5 ＝4f′(x0)－5f′(x0)＝－f′(x0)．