上海市浦東新區(qū)2018屆高三數(shù)學上學期期末教學質(zhì)量檢測試題.doc

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上海市浦東新區(qū)2018屆高三數(shù)學上學期期末教學質(zhì)量檢測試題 注意：1. 答卷前，考生務必在答題紙上指定位置將姓名、學校、考號填寫清楚. 2. 本試卷共有21道試題，滿分150分，考試時間120分鐘. 一、填空題（本大題共有12題，滿分54分）只要求直接填寫結(jié)果，1-6題每個空格填對得4分，7-12題每個空格填對得5分，否則一律得零分. 1. 集合,，則________. 2. 不等式的解集為_________. 3. 已知函數(shù)的反函數(shù)是，則_________. 4. 已知向量，則向量在向量的方向上的投影為_________. 5. 已知是虛數(shù)單位，復數(shù)滿足，則__________. 6. 在的二項展開式中，的系數(shù)是_________. 7. 某企業(yè)生產(chǎn)的12個產(chǎn)品中有10個一等品，2個二等品，現(xiàn)從中抽取4個產(chǎn)品，其中恰好有1個二等品的概率為______________. 8. 已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是______________. 9. 已知等比數(shù)列 前項和為，則使得的的最小值為_______. 10. 圓錐的底面半徑為，其側(cè)面展開圖是一個圓心角為的扇形，則此圓錐的表面積為_______________. 11. 已知函數(shù)，將的圖像向左平移個單位得到函數(shù)的圖像，令.如果存在實數(shù)，使得對任意的實數(shù)，都有成立，則的最小值為_________. 12. 在平面直角坐標系中，為坐標原點，是雙曲線上的兩個動點，動點滿足：，直線與直線斜率之積為.已知平面內(nèi)存在兩定點，使得為定值，則該定值為____________. 二、選擇題(本大題共有4題，滿分20分) 每小題都給出四個選項，其中有且只有一個選項是正確的，選對得 5分，否則一律得零分. 13. 若實數(shù)，則命題甲“”是命題乙“”的（ ）條件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 14.已知中，，，點是邊上的動點，點是邊上的動點，則的最小值為（ ） A． B． C． D． 15. 某食品的保鮮時間（單位：小時）與儲存溫度（單位：）滿足函數(shù)關(guān)系（為自然對數(shù)的底數(shù)，為常數(shù)）.若該食品在的保鮮時間是小時，在的保鮮時間是小時，則該食品在的保鮮時間是(　 　)小時． A． B． C． D． 16. 關(guān)于的方程恰有3個實數(shù)根，則（ ）． A． B． C． D． 三、解答題（本大題共有5題，滿分76分）解答下列各題必須寫出必要的步驟． 17. （本題滿14分，第1小題7分，第2小題7分） 如圖，在長方體中，，，. （1）求異面直線與所成的角; （2）求三棱錐的體積. 18. （本題滿14分，第1小題7分，第2小題7分） 在中，角所對的邊分別為，已知：， ，且. （1）求； （2）若，且，求的值. 19. （本題滿14分，第1小題6分，第2小題8分） 已知等差數(shù)列的公差為2，其前項和. （1）求的值及的通項公式; （2）在等比數(shù)列中，，令，求數(shù)列 前項和. 20. （本題滿16分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題6分） 已知橢圓的左、右焦點分別為；設點，在 中，，周長為. （1）求橢圓方程； （2）設不經(jīng)過點的直線與橢圓相交于兩點.若直線與的斜率之和為，求證：直線過定點，并求出該定點的坐標； （3）記第（2）問所求的定點為，點為橢圓上一個動點，試根據(jù)面積的不同取值范圍，討論存在的個數(shù)，并說明理由. 21. （本題滿18分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分） 已知函數(shù)的定義域為，值域為，即.若，則稱在D上封閉. （1）試分別判斷函數(shù)、在上是否封閉，并說明理由； （2）函數(shù)的定義域為，且存在反函數(shù).若函數(shù)在D上封閉，且函數(shù)在上也封閉，求實數(shù)的取值范圍； （3）已知函數(shù)的定義域是，對任意，若，有恒成立，則稱在D上是單射.已知函數(shù)在D上封閉且單射，并且滿足，其中 .證明：存在D的真子集 ，使得在所有上封閉. 參考答案 注意：1. 答卷前，考生務必在答題紙上指定位置將姓名、學校、考號填寫清楚. 2. 本試卷共有21道試題，滿分150分，考試時間120分鐘. 一、填空題（本大題共有12題，滿分54分）只要求直接填寫結(jié)果，1-6題每個空格填對得4分，7-12題每個空格填對得5分，否則一律得零分. 1.集合,，則________.【答案】 2.不等式的解集為_________.【答案】 3.已知函數(shù)的反函數(shù)是，則_________.【答案】 4.已知向量，則向量在向量上的投影為_________.【答案】 5. 已知是虛數(shù)單位，復數(shù)滿足，則__________.【答案】 6. 在的二項展開式中，的系數(shù)是_________.【答案】 7. 某企業(yè)生產(chǎn)的12個產(chǎn)品中有10個一等品，2個二等品，現(xiàn)從這批產(chǎn)品中抽取4個，其中恰好有1個二等品的概率為______________.【答案】 8. 已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是______________.【答案】 9.已知等比數(shù)列 前項和為，則使得的的最小值為________.【答案】10 10. 圓錐的底面圓半徑，其側(cè)面展開圖是一個圓心角為的扇形，則此圓錐的表面積為_________.【答案】 11. 已知函數(shù)，將向左平移個單位得，令，如果存在實數(shù)，使得對任意的實數(shù)，都有成立，則的最小值為_________. 【答案】 12. 在平面直角坐標系中，為坐標原點.是雙曲線上的兩個動點，動點滿足：，直線與直線斜率之積為.已知平面內(nèi)存在兩定點，使得為定值，則該定值大小為______.【答案】 二、選擇題(本大題共有4題，滿分20分) 每小題都給出四個選項，其中有且只有一個選項是正確的，選對得 5分，否則一律得零分. 13. 若實數(shù)，命題甲“”是命題乙“”的（ B ）條件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．既充分又必要 D．既非充分又非必要 14. 已知中，，，點是邊上的動點，點是邊上的動點，則的最小值為（ B ） A． B． C． D． 15. 某食品的保鮮時間（單位：小時）與儲存溫度（單位：）滿足函數(shù)關(guān)系 （為自然對數(shù)的底數(shù)，為常數(shù)），若該食品在的保鮮時間是小時，在的保鮮時間是小時，則該食品在的保鮮時間是(　 C )小時． A． B． C． D． 16. 關(guān)于的方程恰有3個實數(shù)根，則 （ B ）． A． B． C． D． 三、解答題（本大題共有5題，滿分76分）解答下列各題必須寫出必要的步驟． 17. （滿分14分，第1小題7分，第2小題7分） 如圖，在長方體中， ，，. （1）求異面直線與所成的角； （2）求三棱錐的體積. 解：（1） 是異面直線與所成的角或其補角.………2分 在等腰中， 易得……………………4分 即：異面直線與所成的角……………………1分 （2）……………………4分 ……………………3分 18. （滿分14分，第1小問7分，第2小問7分） 在中，角所對的邊分別為，已知：， ，且； （1）求角； （2）若，且，求的值. 解：（1）由，∴，……………………2分 由正弦定理得：，……2分 ∴； ； 由，∴，……………………2分 ∴；……………………1分 （2）由，∴，∴，∴；……………………4分 由知，，∴，……………2分 ∴.……………………1分 19. （滿分14分，第1小題6分，第2小題8分） 已知等差數(shù)列的公差為2，其前項和. （1）求的值及的通項公式; （2）在等比數(shù)列中，，令，求數(shù)列 前項和。 解：（1） ……………………3分 ， ……………………3分 （2）∵， ∴，，……………………2分 當時， ……………………3分 當時，是偶數(shù)， ……………………3分 20. （滿分16分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題6分） 已知橢圓的左、右焦點分別為；設點，在中，，周長為. （1）求橢圓方程； （2）設不經(jīng)過點的直線與橢圓相交于兩點。若直線與的斜率之和為，求證：直線過定點，并求出該定點的坐標； （3）記第（2）問所求的定點為，點為橢圓上一個動點，試根據(jù)面積的不同取值范圍，討論存在的個數(shù)，并說明理由. 解：（1）由得： ，所以………① 又周長為，所以………② 解①②方程組，得 所以橢圓方程為………………………4分 （2）設直線方程：，交點 ………………………1分 …………………………1分 ………………………………………1分 依題：即：…………………………1分 ……………………………………………………………1分 過定點…………………………………………1分 （3），………………………1分 設直線與橢圓相切， ……………………1分 得兩切線到的距離分別為 ………………………1分 當時，個數(shù)為0個 當時，個數(shù)為1個 當時，個數(shù)為2個 當時，個數(shù)為3個 當時，個數(shù)為4個……………………3分 21. （滿分18分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分） 已知函數(shù)的定義域為，值域為，即.若，則稱在D上封閉. （1）試分別判斷函數(shù)、函數(shù)在上是否封閉，并說明理由； （2）函數(shù)的定義域為，且存在反函數(shù).若函數(shù)在D上封閉，且函數(shù)在上也封閉，求的取值范圍； （3）已知函數(shù)的定義域是，對任意，若，有恒成立，則稱在D上是單射.已知函數(shù)在D上封閉且單射，并且滿足,其中 .證明：存在D的真子集，使得在所有上封閉. 解：（1）因為函數(shù)的定義域為，值域為，（取一個具體例子也可），所以在上不封閉.…………………………（結(jié)論和理由各1分） 在上封閉?！ńY(jié)論和理由各1分） （2）函數(shù)在D上封閉，則. 函數(shù)在上封閉，則， 得到：.…………………………………………（2分） 在單調(diào)遞增. 則在兩不等實根．…………（1分） ， 故，解得． …………（3分） 另解：在兩不等實根． 令 在有兩個不等根，畫圖，由數(shù)形結(jié)合可知， 解得． （3）如果，則，與題干矛盾. 因此。取，則.…………………………（2分） 接下來證明。 因為是單射，因此取一個，則是唯一的使得的根，換句話說.……………………………………………………（2分） 考慮到，即， 因為是單射，則 這樣就有了.………………………………………………（3分） 接著令，并重復上述論證證明.…………（1分）