2020高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十章 計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布 第七節(jié) 離散型隨機(jī)變量的分布列、均值與方差檢測(cè) 理 新人教A版.doc

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第七節(jié) 離散型隨機(jī)變量的分布列、均值與方差 限時(shí)規(guī)范訓(xùn)練(限時(shí)練夯基練提能練) A級(jí)　基礎(chǔ)夯實(shí)練 1．袋中有20個(gè)大小相同的球，其中標(biāo)上0號(hào)的有10個(gè)，標(biāo)上n號(hào)的有n個(gè)(n＝1,2,3,4)．現(xiàn)從袋中任取一球，X表示所取球的標(biāo)號(hào)． (1)求X的分布列、期望和方差； (2)若Y＝aX＋b，E(Y)＝1，D(Y)＝11，試求a，b的值． 解：(1)X的分布列為 X 0 1 2 3 4 P E(X)＝0＋1＋2＋3＋4＝1.5. D(X)＝(0－1.5)2＋(1－1.5)2＋(2－1.5)2＋(3－1.5)2＋(4－1.5)2＝2.75. (2)由D(Y)＝a2D(X)，得a22.75＝11，即a＝2. 又E(Y)＝aE(X)＋b， 所以當(dāng)a＝2時(shí)， 由1＝21.5＋b，得b＝－2. 當(dāng)a＝－2時(shí)， 由1＝－21.5＋b，得b＝4. 所以或 2．(2018合肥市第一次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè))某公司在迎新年晚會(huì)上舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng)，有甲、乙兩個(gè)抽獎(jiǎng)方案供員工選擇． 方案甲：?jiǎn)T工最多有兩次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，每次抽獎(jiǎng)的中獎(jiǎng)率均為.第一次抽獎(jiǎng)，若未中獎(jiǎng)，則抽獎(jiǎng)結(jié)束．若中獎(jiǎng)，則通過(guò)拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣，決定是否繼續(xù)進(jìn)行第二次抽獎(jiǎng)．規(guī)定：若拋出硬幣，反面朝上，員工則獲得500元獎(jiǎng)金，不進(jìn)行第二次抽獎(jiǎng)；若正面朝上，員工則須進(jìn)行第二次抽獎(jiǎng)，且在第二次抽獎(jiǎng)中，若中獎(jiǎng)，則獲得獎(jiǎng)金1 000元；若未中獎(jiǎng)，則所獲得的獎(jiǎng)金為0元． 方案乙：?jiǎn)T工連續(xù)三次抽獎(jiǎng)，每次中獎(jiǎng)率均為，每次中將均可獲得獎(jiǎng)金400元． (1)求某員工選擇方案甲進(jìn)行抽獎(jiǎng)所獲獎(jiǎng)金X(元)的分布列； (2)試比較某員工選擇方案乙與選擇方案甲進(jìn)行抽獎(jiǎng)，哪個(gè)方案更劃算？ 解：(1)X的可能取值為0,500,1 000. P(X＝0)＝＋＝，P(X＝500)＝＝，P(X＝1 000)＝＝， 所以某員工選擇方案甲進(jìn)行抽獎(jiǎng)所獲獎(jiǎng)金X(元)的分布列為 X 0 500 1 000 P (2)由(1)可知，選擇方案甲進(jìn)行抽獎(jiǎng)所獲獎(jiǎng)金X的期望E(X)＝500＋1 000＝520， 若選擇方案乙進(jìn)行抽獎(jiǎng)，中獎(jiǎng)次數(shù)ξ～B，則E(ξ)＝3＝，抽獎(jiǎng)所獲獎(jiǎng)金X的期望E(X)＝E(400ξ)＝400E(ξ)＝480，故選擇方案甲較劃算． 3．(2018天津?qū)嶒?yàn)中學(xué)期中)從裝有大小相同的2個(gè)紅球和6個(gè)白球的袋子中摸球(不放回)，每摸出2個(gè)球?yàn)橐淮卧囼?yàn)，直到摸出的球中有紅球，則試驗(yàn)結(jié)束． (1)求第一次試驗(yàn)恰好摸到1個(gè)紅球和1個(gè)白球的概率； (2)記試驗(yàn)次數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望． 解：(1)記“第一次試驗(yàn)恰好摸到1個(gè)紅球和1個(gè)白球”為事件A，則P(A)＝＝. (2)X的所有可能取值為1,2,3,4， P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝； P(X＝3)＝＝；P(X＝4)＝＝. ∴X的分布列為 X 1 2 3 4 P E(X)＝1＋2＋3＋4＝. 4．(2018湖南湘中聯(lián)考)某商場(chǎng)經(jīng)銷某商品，根據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì)，顧客采用的付款期數(shù)ξ的分布列為 ξ 1 2 3 4 5 P 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1 商場(chǎng)經(jīng)銷一件該商品，采用1期付款，其利潤(rùn)為200元；分2期或3期付款，其利潤(rùn)為250元；分4期或5期付款，其利潤(rùn)為300元．η表示經(jīng)銷一件該商品的利潤(rùn)． (1)求事件A“購(gòu)買該商品的3位顧客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)； (2)求η的分布列及期望E(η)． 解：(1)由A表示事件“購(gòu)買該商品的3位顧客中，至少有1位采用1期付款”，可得表示事件“購(gòu)買該商品的3位顧客中，無(wú)人采用1期付款”． 又P()＝(1－0.4)3＝0.216， 故P(A)＝1－P()＝1－0.216＝0.784. (2)η的所有可能取值為200,250,300. P(η＝200)＝P(ξ＝1)＝0.4， P(η＝250)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝0.2＋0.2＝0.4， P(η＝300)＝P(ξ＝4)＋P(ξ＝5)＝0.1＋0.1＝0.2. 所以η的分布列為 η 200 250 300 P 0.4 0.4 0.2 E(η)＝2000.4＋2500.4＋3000.2＝240. B組　能力提升練 5．(2018湖南邵陽(yáng)月考)某省電視臺(tái)舉行歌唱大賽，大賽依次設(shè)初賽、復(fù)賽、決賽三個(gè)輪次的比賽．已知某歌手通過(guò)初賽、復(fù)賽、決賽的概率分別為，，，且各輪次通過(guò)與否相互獨(dú)立．記該歌手參賽的輪次為ξ. (1)求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望； (2)記“函數(shù)f(x)＝3sin(x∈R)是偶函數(shù)”為事件A，求A發(fā)生的概率． 解：(1)ξ的所有可能取值為1,2,3. P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝＝， P(ξ＝3)＝＝. 所以ξ的分布列為 ξ 1 2 3 P E(ξ)＝1＋2＋3＝. (2)若f(x)＝3sin(x∈R)是偶函數(shù)，則ξ＝1或ξ＝3. 故P(A)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝3)＝＋＝. 6．(2018遼寧大連期中)某工廠為了對(duì)新研發(fā)的產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，將該產(chǎn)品按事先擬定的單位進(jìn)行試銷，得到一組檢測(cè)數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，6)如表所示. 試銷單價(jià)x/元 4 5 6 7 a 9 產(chǎn)品銷量y/件 b 84 83 80 75 68 已知變量x，y具有線性負(fù)相關(guān)關(guān)系，且i＝39，i＝480，現(xiàn)有甲、乙、丙三位同學(xué)通過(guò)計(jì)算求得其回歸方程分別為：甲，y＝4x＋54；乙，y＝－4x＋106；丙，y＝－4.2x＋105.其中有且僅有一位同學(xué)的計(jì)算結(jié)果是正確的． (1)試判斷誰(shuí)的計(jì)算結(jié)果正確，并求出a，b的值； (2)若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)(xi，i)中的i與檢測(cè)數(shù)據(jù)(xi，yi)中的yi差的絕對(duì)值不超過(guò)1，則稱該檢測(cè)數(shù)據(jù)是“理想數(shù)據(jù)”，現(xiàn)從檢測(cè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取3個(gè)，求“理想數(shù)據(jù)”的個(gè)數(shù)ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望． 解：(1)已知變量x，y具有線性負(fù)相關(guān)關(guān)系，故甲的計(jì)算結(jié)果不對(duì)，由題意得，＝＝6.5，＝＝80， 將＝6.5，＝80分別代入乙、丙的回歸方程，經(jīng)驗(yàn)證知乙的計(jì)算結(jié)果正確， 故回歸方程為y＝－4x＋106. 由i＝4＋5＋6＋7＋a＋9＝39，得a＝8， 由i＝b＋84＋83＋80＋75＋68＝480，得b＝90. (2)列出估計(jì)數(shù)據(jù)(xi，yi)與檢測(cè)數(shù)據(jù)(xi，yi)如表. x 4 5 6 7 8 9 y 90 84 83 80 75 68 90 86 82 78 74 70 易知有3個(gè)“理想數(shù)據(jù)”，故“理想數(shù)據(jù)”的個(gè)數(shù)ξ的所有可能取值為0,1,2,3. P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝. 故ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 P E(ξ)＝0＋1＋2＋3＝.