試驗(yàn)5-特征值、特征向量和二次型.ppt

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1,方陣的特征值、特征向量和二次型,實(shí)驗(yàn)?zāi)康氖煜だ肕ATLAB中有關(guān)方陣的跡方陣的特征值、特征向量二次型的操作方法,2,1.方陣的跡,矩陣A的跡是指矩陣的對角線上元素的和，也等于矩陣的特征值的和。命令格式為：trace(A)例1.設(shè)，計(jì)算A的跡t.程序設(shè)計(jì)>>A=[111;2–10;101];>>t=trace(A)t=1,3,例2.設(shè)，計(jì)算A的跡t。程序設(shè)計(jì)>>A=[8652;3221;4231;3511];>>t=trace(A)t=14,,4,2.方陣的特征值與特征向量,手工計(jì)算方陣的特征值與特征向量并不是一件容易的事，而用MATLAB來計(jì)算方陣的特征值與特征向量只需要一個(gè)簡單的命令。這里需注意兩個(gè)英文單詞：eigenvalues（特征值）和eigenvectors（特征向量）。理解這兩個(gè)單詞，對以下命令的使用是有好處的。計(jì)算方陣的特征值與特征向量的命令格式為：eig(A)給出方陣A的所有特征值,5,[V,D]=eig(A)給出由方陣A的所有特征值組成的對角矩陣D和特征向量矩陣V，滿足A*V=V*D,或者A=V*D*V-1，第k個(gè)特征值對應(yīng)的特征向量是V的第k個(gè)列向量。poly(A)當(dāng)A是n階方陣時(shí)，給出的是A的特征多項(xiàng)式的n+1個(gè)按降冪排列的系數(shù)。即特征多項(xiàng)式|λE-A|=DET(lambda*EYE(SIZE(A))-A)的系數(shù),6,例3.設(shè)，計(jì)算A的特征值和特征向量。程序設(shè)計(jì)：>>A=[8652;3221;4231;3511]A=8652322142313511,,7,>>eig(A)%A的特征值ans=13.58910.94550.1191-0.6537,8,>>[V,D]=eig(A)%A的特征值與特征向量V=%A的特征向量，列向量-0.7985-0.0957-0.65470.1876-0.30380.12300.2322-0.3533-0.3913-0.37770.7118-0.2531-0.34200.91270.10380.8809D=%對角元素是A的特征值13.589100000.945500000.11910000-0.6537,9,>>V*D*inv(V)%驗(yàn)證A=V*D*V-1ans=8.00006.00005.00002.00003.00002.00002.00001.00004.00002.00003.00001.00003.00005.00001.00001.0000>>a1=V(:,1)%特征值λ1=13.5891對應(yīng)的特征向量a1=-0.7985-0.3038-0.3913-0.3420,10,>>a2=V(:,2)%特征值λ2=0.9455對應(yīng)的特征向量a2=-0.09570.1230-0.37770.9127>>a3=V(:,3)%特征值λ3=0.1191對應(yīng)的特征向量a3=-0.65470.23220.71180.1038,11,>>a4=V(:,4)%特征值λ4=-0.6537對應(yīng)的特征向量a4=0.1876-0.3533-0.25310.8809,12,>>c=poly(A)%A的特征多項(xiàng)式的n+1個(gè)按降冪排列的系數(shù)c=Columns1through51-1458-1>>f=poly2sym(c)%將多項(xiàng)式向量c表示為符號形式f=x^4-14*x^3+5*x^2+8*x-9007199254740961/9007199254740992%f即為A的特征多項(xiàng)式|λE-A|=λ4-14λ3+5λ2+8λ-1,13,例4.設(shè)，計(jì)算A的特征值與特征向量。程序設(shè)計(jì)>>A=[1111;11–1–1;1–11–1;1–1–11];>>eig(A)%A的特征值ans=-2.00002.00002.00002.0000,,14,>>[V,D]=eig(A)%A的特征值與特征向量V=%A的特征向量，列向量-0.50000.21130.28870.78870.50000.7887-0.28870.21130.5000-0.5774-0.28870.57740.500000.86600D=%對角線元素是A的特征值-2.000000002.000000002.000000002.0000,15,>>c=poly(A)%A的特征多項(xiàng)式的n+1個(gè)按降冪排列的系數(shù)c=Columns1through51-4016-16>>f=poly2sym(c)%將多項(xiàng)式向量c表示為符號形式f=x^4-4*x^3+3/1125899906842624*x^2+16*x-16%f即為A的特征多項(xiàng)式|λE-A|=λ4-4λ3+16λ-16,16,例5.設(shè)，計(jì)算正交矩陣，使得為對角矩陣。程序設(shè)計(jì)>>A=[011–1;10–11;1–101;-1110];>>isequal(A,A)%判斷A和A是否相等，即A是否是對稱矩陣ans=1%A是對稱矩陣,,,,17,>>[Q,D]=eig(A)%A的特征值與特征向量滿足A*Q=Q*DQ=-0.50000.28870.78870.21130.5000-0.28870.21130.78870.5000-0.28870.5774-0.5774-0.5000-0.866000D=-3000010000100001,18,>>Qans=-0.50000.50000.5000-0.50000.2887-0.2887-0.2887-0.86600.78870.21130.577400.21130.7887-0.57740>>inv(Q)ans=-0.50000.50000.5000-0.50000.2887-0.2887-0.2887-0.86600.78870.21130.577400.21130.7887-0.57740%Q現(xiàn)在是正交矩陣，因?yàn)镼=inv(Q),19,>>Q*A*Q%得到結(jié)果Q*A*Q=D或者A=Q*D*Qans=-3000010000100001程序說明：當(dāng)矩陣A為實(shí)對稱矩陣時(shí)，[V,D]=eig(A)給出由方陣A的所有特征值組成的對角矩陣D和特征向量矩陣V，這時(shí)的V已經(jīng)是一個(gè)正交矩陣。,20,3.二次型通過正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)型,對任意的實(shí)二次型，其中是階實(shí)對稱矩陣，一定可以經(jīng)過正交的變量替換變成標(biāo)準(zhǔn)形其中，系數(shù)是實(shí)對稱矩陣的全部特征值。在MATLAB中，可以運(yùn)用eig命令，計(jì)算系數(shù)矩陣的特征值矩陣和特征向量矩陣，即可得到正交變換以及二次型的標(biāo)準(zhǔn)型。,,,,,,,,,,,,21,例6.計(jì)算正交的變量替換，化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型。程序設(shè)計(jì)>>A=[110–1;11–10;0–111;-1011]%二次型的系數(shù)矩陣>>AA=110-111-100-111-1011,,,22,>>symsx1x2x3x4;%變量聲明>>X=[x1x2x3x4]X=[conj(x1)][conj(x2)][conj(x3)][conj(x4)]>>f=X*A*X%二次型f=(x1+x2-x4)*conj(x1)+(x1+x2-x3)*conj(x2)+(-x2+x3+x4)*conj(x3)+(-x1+x3+x4)*conj(x4)%對于一個(gè)復(fù)數(shù)X，CONJ(X)=REAL(X)-I*IMAG(X)，即X的復(fù)共軛,23,>>[P,D]=eig(A)%計(jì)算系數(shù)矩陣A的特征值矩陣D和特征向量矩陣PP=%特征向量矩陣P-0.50000.70710.00000.50000.50000.00000.70710.50000.50000.70710.0000-0.5000-0.500000.7071-0.5000D=%特征值矩陣D-1.000000001.000000001.000000003.0000,24,>>symsy1y2y3y4;%變量聲明>>Y=[y1;y2;y3;y4]Y=[y1][y2][y3][y4],25,>>X=P*Y%正交變換X=PYX=[-1/2*y1+1/2*2^(1/2)*y2+29/144115188075855872*y3+1/2*y4][1/2*y1-5822673418478107/40564819207303340847894502572032*y2+1/2*2^(1/2)*y3+1/2*y4][1/2*y1+1/2*2^(1/2)*y2+3/144115188075855872*y3-1/2*y4][-1/2*y1+1/2*2^(1/2)*y3-1/2*y4]>>f=Y*D*Y%二次型的標(biāo)準(zhǔn)型f=-conj(y1)*y1+conj(y2)*y2+conj(y3)*y3+3*conj(y4)*y4,26,例7.計(jì)算正交的變量替換，化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型。程序設(shè)計(jì)>>A=[422;242;224]%二次型的系數(shù)矩陣A=422242224>>formatshort,,,27,>>[P,D]=eig(A)%計(jì)算系數(shù)矩陣A的特征值矩陣D和特征向量矩陣PP=0.40820.70710.57740.4082-0.70710.5774-0.816500.5774D=2.00000002.00000008.0000,28,>>symsx1x2x3y1y2y3;%變量聲明>>X=[x1;x2;x3];>>Y=[y1;y2;y3];>>X=P*Y%正交變換X=PYX=[1/6*6^(1/2)*y1+1/2*2^(1/2)*y2+1/3*3^(1/2)*y3][1/6*6^(1/2)*y1-1/2*2^(1/2)*y2+1/3*3^(1/2)*y3][-1/3*6^(1/2)*y1+1/3*3^(1/2)*y3]>>f=Y*D*Y%二次型的標(biāo)準(zhǔn)型f=2*y1*conj(y1)+2*y2*conj(y2)+8*y3*conj(y3),29,4.二次型的正定性判定,實(shí)二次型稱為正定二次型，如果對任何，都有。正定二次型的矩陣稱為正定矩陣。判定二次型為正定的充分必要條件是，它的系數(shù)矩陣A的特征值全部為正，或者A的各階主子為正。在MATLAB中，可以運(yùn)用eig命令計(jì)算系數(shù)矩陣A的特征值矩陣D或者計(jì)算A的各階主子式來進(jìn)行判定。,,,,30,例8.判定二次型的正定性。程序設(shè)計(jì):example8.mclearall%清除各種變量A=[22–2;25–4;-2–45]D=eig(A)ifall(D>0)fprintf(二次型正定)elsefprintf(二次型非正定)end,31,運(yùn)行結(jié)果：A=22-225-4-2-45D=1.00001.000010.0000二次型正定,32,例9.利用主子式法判定二次型的正定性。程序設(shè)計(jì)：example9.mclearallA=[1–121;-130–3;209–6;1–3–619]c=1;,33,fori=1:4fprintf(第%d階主子式為,i)B=A(1:i,1:i)fprintf(第%d階主子式的值為,i)det(B)if(det(B)<0)c=-1;breakendendif(c==-1)fprintf(判定的結(jié)論：二次型非正定)elsefprintf(判定的結(jié)論：二次型正定)end,34,執(zhí)行的結(jié)果：A=1-121-130-3209-61-3-619第1階主子式為B=1第1階主子式的值為ans=1,35,第2階主子式為B=1-1-13第2階主子式的值為ans=2第3階主子式為B=1-12-130209,36,第3階主子式的值為ans=6第4階主子式為B=1-121-130-3209-61-3-619第4階主子式的值為ans=24判定的結(jié)論：二次型正定,37,例10.判定二次型的正定性。程序設(shè)計(jì)：example10.mclearallA=[10412;42–14;12–141]c=1;fori=1:3fprintf(第%d階主子式為,i)B=A(1:i,1:i)fprintf(第%d階主子式的值為,i),,38,det(B)if(det(B)<0)c=-1;breakendendif(c==-1)fprintf(判定的結(jié)論：二次型非正定)elsefprintf(判定的結(jié)論：二次型正定)end,39,執(zhí)行的結(jié)果：A=1041242-1412-141第1階主子式為B=10第1階主子式的值為ans=10第2階主子式為,40,B=10442第2階主子式的值為ans=4第3階主子式為B=1041242-1412-141第3階主子式的值為ans=-3588判定的結(jié)論：二次型非正定,