線性方程組2.n維向量.ppt

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1,第二節(jié)：n維向量.,當線性方程組有無窮多解時，這些解之間的關系如何？以及如何表示這些解？是我們關心的問題，在這一節(jié)我們將引入n維向量的概念，并研究向量間的線性關系以解決這一問題。,本節(jié)主要討論以下兩個問題：1.n維向量空間的定義。2.n維向量間的線性關系，主要有線性表示，線性相關，線性無關，以及它們之間的關系。,2,向量一般用小寫希臘字母??????表示。,,一.n維向量及其線性關系。,n維向量。,3,前者稱為n維行向量,后者稱為n維列向量。向量是數學中的一個極為重要的概念,在數學的各分支及其它學科中，向量的概念及有關性質都有廣泛的應用。,n維向量是平面(空間)解析幾何中，2(3)維幾何向量的推廣，只不過當n＞3時，它沒有幾何上的直觀意義，只是沿用幾何上的術語而已。,例如，導彈在空中飛行時的每一個壯態(tài)均可看成一個七維向量，,其中m表示導彈的質量，,4,例1.線性方程組,的一組解,也可以記為???c1?c2?cn?并且稱?是線性方程組⑴的一個解向量，簡稱?是線性方程組⑴的一個解。,,,5,向量運算:1.加法：,6,由向量的加法與負向量的定義，還可以定義向量的減法運算，,2.數乘：(數與向量的乘法),向量的加法與數乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算,由定義不難證明向量的線性運算適合下述八條運算性質,7,加法適合的4條運算性質：,數乘適合的4條運算性質：,8,定理：對數k與向量?，則k?=0的充分必要條件是k=0或?=0。,,(請你自己給出證明),9,1.線性表示。,,例3.零向量可由任意向量組線性表示，只要取組合系數全部為零即可。,二.向量間的線性關系,10,,例4：m個方程n個未知量的線性方程組,11,的系數矩陣A的第j列與⑴的常數項均可由m維的向量來表示，(也可取増廣矩陣的第j列),,提示：方程個數=向量維數，未知量個數=A中列向量的向量個數。,12,稱⑵為線性方程組⑴的向量表示。,因此我們有,定理：(書上P70,P57）向量?可以用向量組?1??2??n線性表示的充分必要條件是線性方程組⑴有解。(解向量的分量即為線性表示的組合系數),13,例6：設向量組,(向量相等即向量的對應分量相等),14,(理由同前),這是一個矛盾方程組，無解。,向量?可以由?1??2??3，線性表示，而不能由?1，?2線性表示，這與向量組?，?1，?2和向量組?，?1??2??3本身的屬性有關。,15,因此，我們引入下面的概念：(第二個線性關系),,2.向量組的線性相關(無關)。,定義：設向量組,線性無關。(本定義要求知道向量的分量),,,,,,,16,由于齊次線性方程組要么只有零解，要么必有非零解，兩者必有一個成立。所以，一個向量組要么線性無關，要么線性相關，兩者必有一個成立。,向量組線性無關，線性相關的幾何意義見書上P73,P59——請自看！,例1.判斷向量組?1=(1，0，-1，2)，?2=(-1，-1，2，-4)，?3=?2，3，-5，10?是否線性相關。,解：設有數k1，k2，k3使得k1?1+k2?2+k3?3=0，代入向量的分量可得關于未知量k1，k2，k3的齊次線性方程組,17,對齊次線性方程組⑴應用矩陣消元法，,非零行數r=2,未知量個數=3,18,由階梯形矩陣⑵可知齊次線性方程組⑴有非零解，即向量組線性相關。,解：設k1?1+k2?2+?+kn?n=0，即??1??2??n?????????所以ki=0，i=1，2….n。即?1，?2….?n線性無關。,由向量組線性相關(無關)的定義，不難得到：,定理：n+s(s>0的整數)個n維向量必線性相關。,19,證明：這是因為相應的齊次線性方程組中方程個數<未知量個數，固齊次線性方程組必有非零解,從而向量組必線性相關。,方程個數=向量維數,未知量個數=向量個數,,,線性相關的充分必要條件是,20,線性無關的條件是？,證明：因為相應的齊次線性方程組中，方程個數=未知量個數=n，此時,齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是系數行列式D=0，從而向量組線性相關的充分必要條件是行列式D=0。,*使用本定理時要注意定理的前提。(向量的個數=向量的維數)*本定理的條件也可改為DT=0.,21,回憶向量組線性相關的定義，向量組是否線性相關的充分必要條件是齊次線性方程組是否有非零解。,也就是說是否有不全為零的數k1，k1….ks使得向量等式k1?1+k2?2+….+ks?s=0成立。,因此我們可以給出下面的向量組線性相關的定義。(抽象定義),,,,22,*定義隱含了只要向量組?1，?2??s線性相關，就一定存在不全為的數k1，k2?ks使得向量等式k1?1+k2?2+?+ks?s=0成立,(或者，由出發(fā)，能推導出不全為零，則有向量組線性相關。),請問：向量組線性無關的抽象定義如何敘述。,例3.已知向量組線性無關，證明向量組線性無關。證明：設,23,求解齊次線性方程組⑴，得⑴只有零解，即所以向量組,24,求解齊次線性方程組⑵,得⑵有非零解,即存在不全為零的數?1，?2，?3，?4使⑴式成立，,25,所以向量組線性相關。,思考題：已知向量組線性無關，1.n為偶數時，判斷向量組，是否線性相關。,2.向量組線性無關(相關)的充分必要條件是？,例5.含有零向量的向量組線性相關。,26,例6.單個非零的n維向量線性無關。,例7.如果一個向量組的部分向量線性相關，則這個向量組也線性相關。,27,由本例還可以得到：,如果一個向量組線性無關，則它的任何一個部分組也線性無關。,28,想一想，這是為什么？你能否自己給出證明。,在證明向量組線性相關(無關)時，反證法也是常用方法之一。,定理：向量組(s≥2)線性相關的充分必要條件是其中至少有一個向量可以由其余s-1個向量線性表示。證明：必要性，,29,即可由其余的向量線性表示。,充分性，,30,且有：成立。所以向量組線性相關。,推論：向量組(s≥2)線性無關的充分必要條件是其中任意一個向量均不能由其余s-1個向量線性表示。,*定理與推論給出了線性相關(無關)和線性表示之間的關系，線性無關的向量組中的向量之間是‘相互獨立’的；而線性相關的向量組中的向量之間是‘相互不獨立’的，即是‘有關系’的。,31,32,33,小結：主要掌握以下兩點：,正確理解并掌握n維向量線性表示，線性相關與線性無關的定義(兩個)定理，并能靈活應用以及判斷向量組的線性表示，線性相關與線性無關---這是本節(jié)的重點！以及線性相關與線性表示間的關系。,2.希望理解并掌握本節(jié)書上與課上講的所有例子，特別是關于證明向量組線性相關與線性無關的例子及書上的習題。,本課程的總成績：=作業(yè)(≤15)+期中(≤30)+期末(≤55)本課程的答疑時間與地點：地點：理科1號樓1422室。時間：周二12:30---14:30;周五12:30---14:30.,34,1.一個例子.給定線性方程組,將每一個方程的系數(含常數項)看成一個向量，則可得3個5維向量，設為，,課外閱讀,易知?3??1???2即向量組?1,?2,?3線性相關，,35,對線性方程組⑴來說，第3個方程可以由第1個方程加2倍的第2個方程得到，即：第3個方程是多余的方程。,上例說明可以從線性方程組中有沒有多余的方程來理解向量組是線性相關還是線性無關的。,(若向量組線性無關，則線性方程組⑴中沒有多余的方程，即⑴中的方程是互相獨立的。),2.你能否下面結論的證明。,36,本結論可作為定理用！,*本定理是書上P80,P65命題1與推論2的另一種敘述！,3.關于向量組的線性相關與無關可以從以下幾個方面刻畫：（書上P75—76,P61--62）,1).線性組合向量組?1??2??s線性相關?它們有組合系數不全為零的線性組合是零向量。向量組?1??2??s線性無關?它們只有組合系數全為零的線性組合是零向量。,37,2).線性表示向量組?1??2??s線性相關?其中至少有一個向量可由其余向量線性表示。向量組?1??2??s線性無關?其中每一個向量都不能由其余向量線性表示。,3).齊次線性方程組(知道向量的分量)向量組?1??2??s線性相關?齊次線性方程組k1?1+k2?2+...+k1?1=0有非零解。向量組?1??2??s線性無關?齊次線性方程組k1?1+k2?2+...+k1?1=0只有零解。,38,4).行列式(是s個s維向量且知道向量的分量)向量組?1??2??s線性相關?以?1??2??s的分量為列(或行）所得s階行列式=0。向量組?1??2??s線性無關?以?1??2??s的分量為列(或行）所得s階行列式?0。,