線性方程組的求解過程分析.ppt

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自強(qiáng)學(xué)院尹劍翀07120004指導(dǎo)老師顧傳青,線性方程組的求解過程分析,讓我們引入一個(gè)線性方程組的求解過程來開始我們的論述：,線性方程組的求解實(shí)例,對方程組,求解：,→,。,→,→,→,對增廣矩陣進(jìn)行初等行變換，,,。,于是，原方程可以化為,取,得特解,;,分別設(shè),，,，可得導(dǎo)出組的一個(gè)基礎(chǔ)解系,，,，方程組的通解是,，,為任意常數(shù)。,那么，為什么我們可以通過初等行變換來分析線性方程組，又為什么能夠通過“特解＋基礎(chǔ)解系”的向量方式得到方程組的通解呢？,線性方程組的解法，就是通過不斷的消元，最終化為克萊姆法則可以解決的方程組，并加以求解的過程。,對線性方程組,，去掉多余方程(不妨設(shè),后面m-r個(gè)多余)而得保留,，再找出r個(gè)未知數(shù),使它們系數(shù)行列式不為,，于是把,零，在這里假設(shè)x1,x2,..…xr系數(shù)行列式,。,方程組,移到等號右端，得到,線性方程組的具體解法,,,看成已知數(shù)，用克萊姆法則求解,,,。隨后將,,。,我們在解方程時(shí)使用的消元法，實(shí)際上就是對方程組進(jìn)行變換，而所做的變換可以總結(jié)為以下的三種變換。I).用一非零的數(shù)乘某一方程；II).把一個(gè)方程的倍數(shù)加到另一個(gè)方程；III).互換兩個(gè)方程的位置。I)、II)、III)三個(gè)變換稱為線性方程組的初等變換。很容易看出，進(jìn)行了初等變換之后原方程組與現(xiàn)方程組是同解的。應(yīng)用到矩陣中行列之間的加減，便稱為矩陣的初等變換。,線性方程組解的分析——初等變換,在去除了未知量后，線性方程組可以表示為形如,這樣的矩陣形式；,例如,可以寫成,。,線性方程組的矩陣表達(dá),矩陣的行向量描述：,該矩陣可以看作是由n個(gè)行向量,（i＝1,2,…,m）組成的。這些行向量可以被視為是對各個(gè)方程的簡略描述形式：設(shè)其中某行行標(biāo)為i，則第i個(gè)方程：,可以用,來簡單表示。,矩陣的列向量描述：,當(dāng)然，我們也可以認(rèn)為線性方程組的增廣矩陣是由列向量,（j＝1,2,…,n）和,組成的。于是，我們可以得到以下式子成立：,,x1＋,x2＋…＋,xj…＋,xn=,。,。,通過這樣的式子我們可以發(fā)現(xiàn)，線性方程組可以用向量的形式來進(jìn)行描述，,、,、,、…,為n個(gè)不同的向量，x1、x2、xj…xn,則可以被認(rèn)為是各個(gè)向量（,、,、…,）,——一個(gè)這些向量的,的長度單位。通過對各個(gè)矢量的疊加，我們可以得到,線性組合。,、,我們甚至可以把原線性方程組改寫為,這樣的形式。,可以認(rèn)為是以,、,、…,為基的坐標(biāo)平面上關(guān)于矢量,的坐標(biāo)表示。,,、,,我們在把線性方程組化為系數(shù)矩陣和增廣矩陣的時(shí)候，初等行變換就相當(dāng)于方程組中各個(gè)方程組互相進(jìn)行加減消元的過程，這個(gè)過程我們可以通過把矩陣視為行向量的集合。而當(dāng)我們將矩陣視為列向量的集合的時(shí)候，則是對方程組的矢量化描述。,線性相關(guān)性,設(shè)向量組〔α，β1、β2、…βn〕，如果對向量α，β1、…βn有成立，則α被稱為是α，β1、…βn的線性組合。特別的，當(dāng)k1,k2…ks不全為零，則稱α，β1、…βn線性相關(guān)。例如，向量組、、線性相關(guān)，因?yàn)椤．?dāng)k1,k2…ks全為零時(shí)，我們定義α，β1、…βn線性無關(guān)。事實(shí)上，一個(gè)向量組內(nèi)的向量是線性相關(guān)抑或是線性無關(guān)取決于向量組中是否有向量能被其他的向量線性表示。當(dāng)向量組線性相關(guān)時(shí)，必定有至少一個(gè)向量是“多余”的（即可以由其他的向量以的形式表現(xiàn)出來）。,,,,,,方程組，如，它可以用矩陣描述為，進(jìn)而我們可以分解為三個(gè)行向量：設(shè)向量組{α，β，γ}，其中、`和。可以發(fā)現(xiàn)α，β，γ線性相關(guān)，因?yàn)?。從線性方程組的角度出發(fā)，我們可以發(fā)現(xiàn)，通過加減消元法，把方程左右同乘以-2加到方程遂得到，與第三個(gè)方程形式完全相同，可知第三個(gè)方程“多余”,因此我們可以使得方程組變形為，用矩陣描述為。由此我們可以知道，通過矩陣的初等行變換，我們可以達(dá)到化簡方程組，減少計(jì)算量的目的。所謂的“線性無關(guān)”，在線性方程組中的解釋就是刪除冗余的方程后剩下的那些方程間的狀態(tài)。化簡了線性方程組之后，方程與方程之間的約束關(guān)系變得更為明晰。,,,,,,,,極大無關(guān)組和秩,一個(gè)向量組的一個(gè)部分組被稱為極大線性無關(guān)無關(guān)組，如果這個(gè)部分組本身線性無關(guān)并且從這個(gè)向量組中任意添加一個(gè)向量（如果還有的話）所得的部分組都線性相關(guān)。極大線性無關(guān)組的一個(gè)基本性質(zhì)是，任一個(gè)極大線性無關(guān)組都與向量組本身等價(jià)。一向量組的極大無關(guān)組總是含有相同個(gè)數(shù)的向量。,如向量組｛α，β，γ｝其極大無關(guān)組即可以是〔α，β〕，又可以是〔α，γ〕，也可以是〔β，γ〕。用線性方程組來解釋的話，有，它顯然與方程組、、同解（通過消元法驗(yàn)證）。,,,,向量組的極大無關(guān)組含有向量的個(gè)數(shù)稱為向量組的秩。像向量組〔、、〕:秩為2，與之對應(yīng)的線性方程組經(jīng)等效之后含有的線性無關(guān)的方程個(gè)數(shù)也為2個(gè)（但是具體是那兩個(gè)是無法確定的）。推廣到矩陣，所謂矩陣的行秩就是指矩陣行向量組的秩，矩陣的列秩就是矩陣列向量組的秩。可以證明，矩陣的行秩與列秩相等。因此，我們把矩陣的行秩與列秩統(tǒng)稱為矩陣的秩。,,,,,在對秩進(jìn)行了界定之后，我們對線性方程組的面貌越來越清晰了。當(dāng)我們把方程組通過矩陣的初等變換化為階梯陣的時(shí)候，如引例→的過程，目的便是把自由未知量x3，x4（互相線性無關(guān)）與相關(guān)未知量x1,x2(同x3，x4線性相關(guān)，關(guān)系式)分離開來，使用矩陣對方程組的變量x1，x2，x3，x4之間的關(guān)系進(jìn)行形象化的描述。此時(shí)我們發(fā)現(xiàn)，線性方程組的秩就相當(dāng)于各個(gè)未知量之間關(guān)系式的個(gè)數(shù)。,,,,,,使用矩陣初等行變換達(dá)到對方程組的變量之間的關(guān)系進(jìn)行形象化的描述之后，我們的求解問題轉(zhuǎn)化為如何描述線性方程組的解。于是，我們引入了解向量。線性方程組的解可以描述為各個(gè)線性無關(guān)的解向量的和，如引例中線性方程組的通解用解向量的和：來描述（其中，，;k1，k2，為任意常數(shù)）。當(dāng)然，和是等價(jià)的。,,,,,,線性方程組解的結(jié)構(gòu),導(dǎo)出組,在一個(gè)齊次線性方程組有非零解的條件下，它有基礎(chǔ)解系，并且基礎(chǔ)解系所含解的個(gè)數(shù)等于n-r，這里r表示系數(shù)矩陣的秩。很容易看出，任何一個(gè)線性無關(guān)的與某個(gè)基礎(chǔ)解系等價(jià)的向量組都是基礎(chǔ)解系。如果把一般的線性方程組（*）的常數(shù)項(xiàng)都換為零，則得到齊次線性方程組，稱為導(dǎo)出組。,,,線性方程組（*）與對應(yīng)的導(dǎo)出組之間的關(guān)系,1.線性方程組（*）的兩個(gè)解的差是它的導(dǎo)出組的解；2.線性方程組（*）的一個(gè)解與它的導(dǎo)出組的解之和還是線性方程組（*）的一個(gè)解；由此，我們推出：如果γ0是線性方程組（*）的一個(gè)解，那么線性方程組（*）的任一個(gè)解都可以表示成γ=γ0+η，其中η是它的導(dǎo)出組的一個(gè)解。對于方程組的任一個(gè)特解γ0，當(dāng)η取遍它的導(dǎo)出組的全部解時(shí)，γ=γ0+η就給出線性方程組（*）的全部解。,,,,,以上的文字說明引例中通解（為特解;，，為對應(yīng)導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系）的原因。,事實(shí)上，當(dāng)我們用矩陣的初等變換把線性方程組的增廣矩陣化為階梯形后，我們要做的，便是把相應(yīng)的變量關(guān)系式化為幾個(gè)線性無關(guān)的解向量的組合，組成一個(gè)完整的通解。引例中設(shè)，，目的在于使得各個(gè)解向量之間線性無關(guān)，因?yàn)椤暗途S無關(guān)高維必?zé)o關(guān)”。事實(shí)上，我們設(shè),，或是其他形式也可以，只不過計(jì)算量變得更為龐大，并且要容易使線性相關(guān)的情況發(fā)生（如果自由未知量過多隨意設(shè)置自由未知量的值顯然是不妥的）。如果設(shè)定不當(dāng)使得各個(gè)解向量之間線性相關(guān)，并不是說解不正確，而是解的討論不完全.就像對方程我們認(rèn)為“它的解是”這樣的論述是不準(zhǔn)確的一樣，并不是不對，而是因?yàn)樗暾慕饧瘧?yīng)該是。,,,,,,,,,線性方程組無解的情況,當(dāng)我們解線性方程組時(shí)，線性方程組的有解的充要條件是：線性方程組的系數(shù)矩陣與其對應(yīng)的增廣矩陣的秩相等。當(dāng)矩陣的秩與其對應(yīng)線性方程組增廣矩陣的秩相等時(shí)，線性方程組A有解：1)當(dāng)R(A)=n時(shí)，有唯一解；2）當(dāng)R(A)＜n時(shí)，有無窮多個(gè)解；,,,因?yàn)樵谶@樣的情況下，線性方程組化為階梯陣后會產(chǎn)生的情況。作為方程，顯然是錯(cuò)誤的。而從幾何意義上說，如果以三維圖形作形象解釋，設(shè)方程組，則平面與平面平行，圖像互不相交，造成了交點(diǎn)的點(diǎn)集為“空”的局面，因此方程組無解。,,為什么時(shí)線性方程組無解呢？,,,,,