高考理科數(shù)學(xué)全國(guó)二卷真題

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1、2008年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（全國(guó)卷Ⅱ） 理科數(shù)學(xué) 本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回． 第Ⅰ卷 注意事項(xiàng)： 1．答第Ⅰ卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考試科目涂寫(xiě)在答題卡上． 2．每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．不能答在試題卷上． 3．本卷共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的． 參考公式： 如果事件互斥，那么 球的表面積公式

2、 如果事件相互獨(dú)立，那么 其中表示球的半徑 球的體積公式 如果事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是，那么 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件恰好發(fā)生次的概率 其中表示球的半徑 一、選擇題 1．設(shè)集合，（ ） A． B． C． D． 2．設(shè)且，若復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，則（ ） A． B． C． D． 3．函數(shù)的圖像關(guān)于（ ） A．軸對(duì)稱 B． 直線對(duì)稱 C． 坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱 D． 直線對(duì)稱

3、 4．若，則（ ） A．<< B．<< C． << D． << 5．設(shè)變量滿足約束條件：，則的最小值（ ） A． B． C． D． 6．從20名男同學(xué)，10名女同學(xué)中任選3名參加體能測(cè)試，則選到的3名同學(xué)中既有男同學(xué)又有女同學(xué)的概率為（ ） A． B． C． D． 7．的展開(kāi)式中的系數(shù)是（ ） A． B． C．3 D．4 8．若動(dòng)直線與函數(shù)和的圖像分別交于兩點(diǎn)，則的最大值為（ ） A．1 B． C． D．2 9．設(shè)，則雙曲線的離心率的取值范圍是（ ） A． B． C．

4、D． 10．已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)都相等，是的中點(diǎn)，則所成的角的余弦值為（ ） A． B． C． D． 11．等腰三角形兩腰所在直線的方程分別為與，原點(diǎn)在等腰三角形的底邊上，則底邊所在直線的斜率為（ ） A．3 B．2 C． D． 12．已知球的半徑為2，相互垂直的兩個(gè)平面分別截球面得兩個(gè)圓．若兩圓的公共弦長(zhǎng)為2，則兩圓的圓心距等于（ ） A．1 B． C． D．2 第Ⅱ卷 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上． 13．設(shè)向量，若向量與向量共線，則 ． 14．設(shè)曲線在點(diǎn)

5、處的切線與直線垂直，則 ． 15．已知是拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)且斜率為1的直線交于兩點(diǎn)．設(shè)，則與的比值等于 ． 16．平面內(nèi)的一個(gè)四邊形為平行四邊形的充要條件有多個(gè)，如兩組對(duì)邊分別平行，類似地，寫(xiě)出空間中的一個(gè)四棱柱為平行六面體的兩個(gè)充要條件： 充要條件① ； 充要條件② ． （寫(xiě)出你認(rèn)為正確的兩個(gè)充要條件） 三、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)

6、程或演算步驟． 17．（本小題滿分10分） 在中，，． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）設(shè)的面積，求的長(zhǎng)． 18．（本小題滿分12分） 購(gòu)買某種保險(xiǎn)，每個(gè)投保人每年度向保險(xiǎn)公司交納保費(fèi)元，若投保人在購(gòu)買保險(xiǎn)的一年度內(nèi)出險(xiǎn)，則可以獲得10 000元的賠償金．假定在一年度內(nèi)有10 000人購(gòu)買了這種保險(xiǎn)，且各投保人是否出險(xiǎn)相互獨(dú)立．已知保險(xiǎn)公司在一年度內(nèi)至少支付賠償金10 000元的概率為． （Ⅰ）求一投保人在一年度內(nèi)出險(xiǎn)的概率； （Ⅱ）設(shè)保險(xiǎn)公司開(kāi)辦該項(xiàng)險(xiǎn)種業(yè)務(wù)除賠償金外的

7、成本為50 000元，為保證盈利的期望不小于0，求每位投保人應(yīng)交納的最低保費(fèi)（單位：元）． 19．（本小題滿分12分） 如圖，正四棱柱中，，點(diǎn)在上且． A B C D E A1 B1 C1 D1 （Ⅰ）證明：平面； （Ⅱ）求二面角的大?。? 20．（本小題滿分12分） 設(shè)

8、數(shù)列的前項(xiàng)和為．已知，，． （Ⅰ）設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）若，，求的取值范圍． 21．（本小題滿分12分） 設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，是它的兩個(gè)頂點(diǎn)，直線與AB相交于點(diǎn)D，與橢圓相交于E、F兩點(diǎn)． （Ⅰ）若，求的值； （Ⅱ）求四邊形面積的最大值． 22．（本小題滿分12分

9、） 設(shè)函數(shù)． （Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間； （Ⅱ）如果對(duì)任何，都有，求的取值范圍． 2008年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（全國(guó)卷Ⅱ）理科數(shù)學(xué)答案和評(píng)分參考 一、選擇題 1．B　 2．A　 3．C　 4．C　 5．D　 6．D 7．B　 8．B　 9．B　 10．C 11．A 12．C 二、填空題 13．2 14．2 5． 16．兩組相對(duì)側(cè)面分別平行；一組相對(duì)側(cè)面平行且全等；對(duì)角線交于一點(diǎn)；底面是平行

10、四邊形． 注：上面給出了四個(gè)充要條件．如果考生寫(xiě)出其他正確答案，同樣給分． 1．【答案】B 【解析】，，∴ 2．【答案】A 【解析】，因是實(shí)數(shù)且 ，所以 3．【答案】C 【解析】是奇函數(shù)，所以圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 4．【答案】C 【解析】由，令且取知<< 5．【答案】D 【解析】如圖作出可行域，知可行域的頂點(diǎn) 是A（－2，2）、B()及C(－2，－2) 于是 6．【答案】D 【解析】 7．【答案】B 【解析】 8．【答案】B 【解析】在同一坐標(biāo)系中作出及在的圖象，由圖象知，當(dāng)，即時(shí)，得，，∴ 9．【答案】B 【解析】，因?yàn)?/p>

11、是減函數(shù)，所以當(dāng)時(shí) ，所以，即 10．【答案】C 【解析】連接AC、BD交于O，連接OE，因OE∥SD.所以∠AEO為所求。設(shè)側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)都等于2，則在⊿AEO中，OE＝1,AO＝，AE=， 于是 11．【答案】A 【解析】，，設(shè)底邊為 由題意，到所成的角等于到所成的角于是有 再將A、B、C、D代入驗(yàn)證得正確答案是A 12．【答案】C 【解析】設(shè)兩圓的圓心分別為、，球心為，公共弦為AB，其中點(diǎn)為E，則為矩形，于是對(duì)角線,而，∴ 13．【答案】 2 【解析】＝則向量與向量共線 14．【答案】 2 【解析】，∴切線的斜率，所以由得 15．【答案】

12、 【解析】設(shè)A（，）B（，）由，，（）；∴由拋物線的定義知 【高考考點(diǎn)】直線與拋物線的位置關(guān)系，拋物線定義的應(yīng)用 16．充要條件① ； 充要條件② ． （寫(xiě)出你認(rèn)為正確的兩個(gè)充要條件） 【答案】?jī)山M相對(duì)側(cè)面分別平行；一組相對(duì)側(cè)面平行且全等；對(duì)角線交于一點(diǎn)；底面是平行四邊形．注：上面給出了四個(gè)充要條件．如果考生寫(xiě)出其他正確答案，同樣給分． 三、解答題 17．解： （Ⅰ）由，得， 由，得

13、． 所以． 5分 （Ⅱ）由得， 由（Ⅰ）知， 故， 8分 又， 故，． 所以． 10分 18．解： 各投保人是否出險(xiǎn)互相獨(dú)立，且出險(xiǎn)的概率都是，記投保的10 000人中出險(xiǎn)的人數(shù)為， 則． （Ⅰ）記表示事件：保險(xiǎn)公司為該險(xiǎn)種至少支付10 000元賠償金，則發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)， 2分 ， 又， 故． 5分 （Ⅱ）該險(xiǎn)種總收入為元，支出是賠償金總額與成本的和． 支出 ， 盈利 ， 盈利的期望為 ， 9分 由知，， ． （元）． 故每位投保人應(yīng)交納的最低保費(fèi)為15元． 12分 19．解法一：

14、依題設(shè)知，． （Ⅰ）連結(jié)交于點(diǎn)，則． 由三垂線定理知，． 3分 A B C D E A1 B1 C1 D1 F H G 在平面內(nèi)，連結(jié)交于點(diǎn)， 由于， 故，， 與互余． 于是． 與平面內(nèi)兩條相交直線都垂直， 所以平面． 6分 （Ⅱ）作，垂足為，連結(jié)．由三垂線定理知， 故是二面角的平面角． 8分 ， ，． ，． 又，． ． A B C D E A1 B1 C1 D1 y x z 所以二面角的大小為． 12分 解法二： 以為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線為軸的正半軸， 建立如圖所示直角坐標(biāo)系． 依題設(shè)，． ， ．

15、3分 （Ⅰ）因?yàn)?，? 故，． 又， 所以平面． 6分 （Ⅱ）設(shè)向量是平面的法向量，則 ，． 故，． 令，則，，． 9分 等于二面角的平面角， ． 所以二面角的大小為． 12分 20．解： （Ⅰ）依題意，，即， 由此得． 4分 因此，所求通項(xiàng)公式為 ，．① 6分 （Ⅱ）由①知，， 于是，當(dāng)時(shí)， ， ， 當(dāng)時(shí)， ． 又． 綜上，所求的的取值范圍是． 12分 21．（Ⅰ）解：依題設(shè)得橢圓的方程為， D F B y x A O E 直線的方程分別為，． 2分 如圖，設(shè)，其中， 且滿足方程， 故．① 由知，得；

16、 由在上知，得． 所以， 化簡(jiǎn)得， 解得或． 6分 （Ⅱ）解法一：根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式和①式知，點(diǎn)到的距離分別為， ． 9分 又，所以四邊形的面積為 ， 當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，上式取等號(hào)．所以的最大值為． 12分 解法二：由題設(shè)，，． 設(shè)，，由①得，， 故四邊形的面積為 9分 ， 當(dāng)時(shí)，上式取等號(hào)．所以的最大值為． 12分 22．解： （Ⅰ）． 2分 當(dāng)（）時(shí)，，即； 當(dāng)（）時(shí)，，即． 因此在每一個(gè)區(qū)間（）是增函數(shù)， 在每一個(gè)區(qū)間（）是減函數(shù)． 6分 （Ⅱ）令，則 ． 故當(dāng)時(shí)，． 又，所以當(dāng)時(shí)，，即． 9分 當(dāng)時(shí)，令，則． 故當(dāng)時(shí)，． 因此在上單調(diào)增加． 故當(dāng)時(shí)，， 即． 于是，當(dāng)時(shí)，． 當(dāng)時(shí)，有． 因此，的取值范圍是． 12分