2019-2020年七年級數(shù)學上冊 展開與折疊 教案 北師大版.doc

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2019-2020年七年級數(shù)學上冊 展開與折疊 教案 北師大版 教學目標： (一)教學知識點 1．通過充分的實踐，使學生能將一個正方體的表面沿某些棱剪開，展成一個平面圖形. 2．了解圓柱、圓錐的側面展開圖，能根據展開圖判斷和制作簡單的立體圖形. (二)能力訓練要求 經歷展開與折疊、模型制作等活動，發(fā)展空間觀念，積累數(shù)學活動經驗. (三)情感與價值觀要求 讓學生充分經歷實踐、探索、交流，獲得成功的體驗，培養(yǎng)學習科學探索精神. 教學重點： 1．將一個正方體的表面沿某些棱展開，展成平面圖形. 2．圓柱、圓錐的側面展開圖. 教學難點：鼓勵學生盡可能多地將一個正方體展成平面圖形，并用語言描述其過程. 教學方法：學生動手實踐法. 教具準備：多媒體課件 教學過程： Ⅰ.提出問題，引入新課 在課本第十頁習題1.3中，第1題和第2題都可以根據所給的圖形折疊成六棱柱、三棱柱以及四棱柱，但如果給出一個幾何體，例如我們最熟知的正方體如果沿某些棱剪開，會得到什么樣的平面圖形？這樣的平面圖形有多少種呢？ Ⅱ．講授新課 ［師］將正方體展成一個平面圖形，是指正方形的六個面展開后所成的六個正方形中的每一個至少有一條邊與其他的正方形的某條邊重合即相連. 下面我就將這些紙板做的正方體分發(fā)到每個組，以組為單位，按上面的要求將正方體的表面展成平面圖形，并在全班展示你們的作品，用語言描述你是如何將一個正方體表面展成平面圖形的. ［提示］首先，學生先進行想像，然后動手操作嘗試.在操作過程中應思考如下幾個問題： 1.你是如何剪的？ 2.下一步該如何辦？ 3.這樣剪行嗎？ 學生分組按上面的方法來共同實踐、探索交流.教師可加入到學生思考、實踐、探索、交流的過程中，從而發(fā)現(xiàn)學生思維的閃光點，并鼓勵每個組的同學大膽將自己思考、探索的結果展示給大家. ［生］我們都知道，正方體有6個面，12條棱，如果把它展成平面圖形，6個正方形中的每一個正方形至少有一邊與其他正方形相連.因此，我們從它的上底面入手，先將上底面中的四條棱中剪開三條，然后沿著和連著的棱有公共點的側棱順次剪下去，到達下底面，然后再將下底面的四條棱中剪開三條，便可得到正方體的平面展開圖. 如圖，我們給正方體的12條棱進行編號.如果沿著棱②→③→④→⑤→→→⑩剪開，我們就得到展開圖(1)；如果沿著②→③→④→⑤→⑨→⑩→展開，就得到展開圖(2)；如果沿著②→③→④→⑤→ ↘ ⑨→⑩展開就得到圖(3)；如果沿著②→③→④→⑤→→ ↘ ⑨展開，就可得到圖(4). ［師］這位同學的方法，說明他很愛動腦子，抓住了正方體展成平面圖形的特點，即六個正方形中每個正方形至少有一邊與其他正方形相連的特點，很好. ［生］老師，剛才的展開圖，都是沿著和邊④有公共點的邊⑤剪開的，如果沿著和邊④也有公共點的邊⑥剪開后，好像和以上四種展開圖差不多. ［師］是的，如果沿⑥繼續(xù)剪開，正方體的平面展開圖經過旋轉，平移等都可以得到以上四種展開圖，因此，我們在此不考慮由于旋轉等造成的相對位置不同，將這種展開方式歸于前面一類. ［生］老師，我又發(fā)現(xiàn)同樣將上底面的②→③→④這三條棱展開，但接下來不沿著和①有公共點的棱⑤剪，而是沿著和①無公共點的側棱⑦或⑧繼續(xù)剪至下底面的三條棱，便可得到如下兩個平面展開圖(圖(5)、圖(6)) ［師］我們可以觀察以上六個立方體的平面展開圖，它們有規(guī)律可尋找嗎？ ［生］老師，我覺得這六個平面展開圖有共同的特性，中間連排的四個正方形恰好是正方體的側面，而分布側面兩邊的兩個正方形無論和四個側面中的哪一個相連，都能是正方體的平面展開圖. ［師］這位同學總結的太棒了.接下來，同學們可以看一個例題. ［例1］將下圖中左邊的圖形折疊起來圍成一個正方體，應該得到右圖中的( )，先想一想，再做一做. 分析：由平面展開圖可知，“”所在的正方形和“○”所在的正方形是相對的兩個面；而“”所在的正方形和“”所在的正方形是相鄰的兩個面，因此A、B都不正確.而“”所在的正方形應和“”所在的正方形是相鄰的兩個面，因此C也是不正確的，故應選D. 答案：D ［師］是不是立方體的平面展開圖只有六種呢？同學們可以打開書看課本第十一頁的“做一做”的圖1—5的第2個圖，你能設法得到它嗎？同學們可以繼續(xù)在小組中討論、交流. ［生］可以得到.我們還像前面那樣給正方體的每條棱做同樣的編號，如果沿著②→③→④剪開后，再分別沿著⑥→⑨→和⑦剪開，便可得到展開圖(7).類似的還可以得到圖(8)、(9). ［生］老師，我還有一種展開的方法，剛才好幾位同學的展開圖中，都是側面的三個或四個正方形相連，如果讓他們兩個兩個相連結果會如何呢？我剪了六個同樣大小的正方形作為正方體的六個面，我將這六個面擺成下面兩個圖的情形，如圖(10)、(11)，然后將它們折疊，結果發(fā)現(xiàn)這六個面圍成了一個正方體. ［生］我們組也發(fā)現(xiàn)這兩個圖能折疊成一個正方體，而且我們還親自做了實驗，正方體能夠展成上面的平面圖.只要沿著②→③→④剪開后，再分別沿⑤→和⑦以及⑨剪開便可得到圖(10). ［師］大家的想法很妙，能夠用逆向思維的方法來處理手中的問題，很了不起. ［生］我們組得到了展開圖. ［師］快告訴大家吧，怎么展開的. ［生］沿著②→③→④剪開后，再將⑥→⑩→和⑤剪開， 便得到展開圖. ［師］同學們用了逆向思維的方法先假設正方體的平面展開圖為?、?，然后再動手試驗.大家來看下面一個問題：如圖(12)，這個平面圖形經過折疊后能否圍成一個正方體. (經過一番思考、討論) ［生］我覺得不能，因為把一個正方體展開后6個正方形的每一個正方形至少有一邊與其他正方形的某邊重合，在這個圖中，雖然滿足了上面的要求，但右上角的正方形和相鄰的三個正方形相連的情形是無法折疊起來的，因此不能圍成一個正方體. ［師］是不是這樣.我們可以用手中的圖形操作一下. ［生］是這樣的. ［師］那么，老師就有這樣一個問題：將正方體的某些棱剪開，展成一個平面圖形，需要剪開幾條棱呢？ (學生經過小組討論，交流后回答) ［生］需要剪開7條棱，由于正方體有12條棱，6個面，將其表面展成一個平面圖形，其面與面之間相連的棱(即未剪開的棱)有5條，因此需剪開7條棱. ［生］正方體的平面展開圖，我們已經研究出十一種.還有沒有其他的？其他的常見幾何體如圓柱、圓錐有平面展開圖嗎？ (小組繼續(xù)討論該同學提出的問題) ［生］正方體的平面展開圖沒有其他的，不考慮由 于旋轉等相對位置不同的平面展開圖就這十一種.我 認為圓柱、圓錐也有平面展開圖，如圓柱可展成圖 (13)，圓錐可展成圖(14). ［師］回答的很好.你比老師的想像要豐富得多.如果 要是只展開圓柱和圓錐的側面，會得到什么圖形呢？同學們打開課本第十一頁，我們一起來完成“想一想”. (讓學生按參考書上圖猜想一下，如果按虛線剪開，這里的虛線其實是母線，沒必要給學生介紹，但要告訴學生必須沿母線剪開)將圖形展開，會得到什么圖形；然后操作，老師在和同學做時，要加以指導，最后得出結論：圓柱和圓錐的側面展開圖分別是長方形和扇形. Ⅲ.課堂練習 左圖是正方體的表面展開圖，如果將其合成原來的正方體(右圖)時，與點P重合的兩點應該是( ) A.S和Z B.T和Y C.U和Y D.T和V 分析：由正方體的平面展開圖， 經過折疊后(如右圖所示)的正方體， 正方形R－O－U－X作為背面，則O－X－Y－Z是底面，S－T－U－R成為上面，則剩余的三個面即為三個側面，折疊過來后，P剛好與T和V重合.因此應選D. 答案：D Ⅳ.課時小結 1.經過動手操作，得到了關于正方體的十一種形式的平面展開圖，發(fā)展了我們的空間觀念和語言表達能力. 2.通過想像和操作，得到了圓柱和圓錐的側面展開圖. Ⅴ．課后作業(yè) 1.課本習題1.4及試一試. 2.預習1.3截一個幾何體，準備橡皮泥和小刀. Ⅵ.活動與探究 將正方體的表面沿某些棱剪開，展開，在一個平面內有多少種不同的展開圖？(旋轉或翻折后相同的圖形算一種) ［過程］課堂上已對正方體的平面展開圖做過討論、研究，但是否它的平面展開圖就此十一種，并沒有給出一個最終的結果，通過課外繼續(xù)探討，可以更好地鍛煉學生的空間觀念和探求科學的精神. ［結果］共十一種.