數(shù)值代數(shù)課設(shè)
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1、1. 用matlab編寫一個Gauss消去法的程序求解方程組= 程序: >> clear >> A=[2 1 0;3 4 -1;5 2 6] A = 2 1 0 3 4 -1 5 2 6 >> b=[1;0;1] b = 1 0 1 >> [L,U]=lu(A) L = 0.4000 0.0714 1.0000 0.6000 1.0000 0 1.0000 0 0
2、U = 5.0000 2.0000 6.0000 0 2.8000 -4.6000 0 0 -2.0714 >> c=L\b c = 1.0000 -0.6000 0.6429 >> x=U\c x = 0.8621 -0.7241 -0.3103 2、列主元Gauss消去法求解方程組= 程序: A=input(請輸入線性方程組的增廣矩陣A=); n=length(A)-1; x=zeros(n,1); aa=zeros(n,1)
3、; for j=1:n for i=1:(n+1) AA(j,i)=abs(A(j,i)); end end for k=1:(n-1) for i=k:n aa(i-(k-1))=AA(i,k); end for i=k:n if AA(i,k)==max(aa) break end end if AA(i,k)==0 break fprintf(方程組系數(shù)矩陣奇異\n); else for j=k:(n+1) jh=A(i,j); A(i,j)=A(k,j); A(k,j)=jh; end end fenzi=A(k,k); for j=
4、k:(n+1) A(k,j)=A(k,j)/fenzi; end for p=(k+1):n jj=A(p,k); for j=k:(n+1) A(p,j)=A(p,j)-jj*A(k,j); end end end if k==(n-1) x(n)=A(n,(n+1))/A(n,n); for i=(n-1):(-1):1 he=0; for j=(i+1):n he=he+A(i,j)*x(j); end x(i)=A(i,(n+1))-he; end end x 請輸入線性方程組的增廣矩陣A=[2 4 0 1;3 -5 1 1;1 7 8 1]
5、 x = 0.4032 0.0484 0.0323 3、用LU分解求解線形方程組= 程序:>> A=[2 1 -1 5;1 6 4 -1;3 2 7 5;0 -1 8 2] A = 2 1 -1 5 1 6 4 -1 3 2 7 5 0 -1 8 2 >> b=[8;4;2;1] b = 8 4 2 1 >> [L,U]=lu(A) L = 0.66
6、67 -0.0625 -0.6692 1.0000 0.3333 1.0000 0 0 1.0000 0 0 0 0 -0.1875 1.0000 0 U = 3.0000 2.0000 7.0000 5.0000 0 5.3333 1.6667 -2.6667 0 0 8.3125 1.5000
7、0 0 0 2.5038 >> [L,U,P]=lu(A) L = 1.0000 0 0 0 0.3333 1.0000 0 0 0 -0.1875 1.0000 0 0.6667 -0.0625 -0.6692 1.0000 U = 3.0000 2.0000 7.0000 5.0000 0 5.3333 1.666
8、7 -2.6667 0 0 8.3125 1.5000 0 0 0 2.5038 P = 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 >> y=L\(P*b) y = 2.0000 3.3333 1.6250 7.9624 >> x=U\y x = -5.3063
9、 2.3333 -0.3784 3.1802 4、用Cholesky分解求解線形方程組= 程序:>> clear >> A=[6 3 -2;3 5 1;-2 1 7] A = 6 3 -2 3 5 1 -2 1 7 >> b=[2;-1;1] b = 2 -1 1 >> L=chol(A) L = 2.4495 1.2247 -0.8165 0 1.8708 1.0690 0
10、 0 2.2783 >> Y=L\b Y = 0.8165 -1.0690 1.2332 >> X=L\Y X = 0.9541 -0.8807 0.5413 5、利用Jacobic迭代法求解方程組=,eps=1.010,= 程序: function [x, k, index]=Jacobi(A, b, eps, it_max) if nargin <4 it_max=100; end if nargin <3 eps; end n=length(A); k=0; x=zeros(n,1)
11、; y=zeros(n,1); index=1; while 1 for i=1:n y(i)=b(i); for j=1:n if j~=i y(i)=y(i)-A(i,j)*x(j); end end if abs(A(i,i))<1e-10 | k==it_max index=0; return; end y(i)=y(i)/A(i,i);
12、 end
if norm(y-x,inf)
13、 程序: function y=gaussseidel(A,b,x0,esp) D=diag(diag(A)); U=-triu(A,1); L=-tril(A,-1); G=(D-L)\U; f=(D-L)\b; y=G*x0+f; n=1; while norm(y-x0)>=esp&n<=1000 x0=y; y=G*x0+f; n=n+1; end y n答案: A=[10 3 1;2 -10 3;1 3 10]; b=[14;-5;14]; x0=[0;0;0]; esp=1.0e-3; gaussseidel(
14、A,b,x0,esp) y = 1.00003896860354 1.00002773079501 0.99998778390114 n = 6 ans = 1.00003896860354 1.00002773079501 0.99998778390114 7、利用SOR迭代法求解方程組 = Eps=1.0*10^-6,,取 程序: function [n,x]=sor(A,b,X,nm,w,ww) %用超松弛迭代法求解方程組Ax=b %輸入:A為方程組的系數(shù)矩陣,b為方程組右端
15、的列向量,X為迭代初值構(gòu)成的列向量,nm為最大迭代次數(shù),w為誤差精度,ww為松弛因子 %輸出:x為求得的方程組的解構(gòu)成的列向量,n為迭代次數(shù) n=1; m=length(A); D=diag(diag(A)); %令A(yù)=D-L-U,計(jì)算矩陣D L=tril(-A)+D; %令A(yù)=D-L-U,計(jì)算矩陣L U=triu(-A)+D; %令A(yù)=D-L-U,計(jì)算矩陣U M=inv(D-ww*L)*((1-ww)*D+ww*U); %計(jì)算迭代矩陣 g=ww*inv(D-ww*L)*b; %計(jì)算迭代格式
16、中的常數(shù)項(xiàng)
%下面是迭代過程
while n<=nm
x=M*X+g; %用迭代格式進(jìn)行迭代
if norm(x-X,inf) 17、:
>> A=[0.78 -0.02 -0.12 -0.14;-0.02 0.86 -0.04 0.06;-0.12 -0.04 0.72 -0.08;-0.14 0.06 -0.08 0.74];
b=[0.76;0.08;1.12;0.68];
c=1000;
d=1e-6;
f=1.03;
k=[0;0;0;0];
g=sor(A,b,k,c,d,f)
迭代次數(shù)為
n =
7
方程組的解為
x =
1.5350
0.1220
1.9752
1.4130
g =
18、7
8、用共軛梯度法求解上題的線性方程組,
Eps=1.0*10^-6,
9、利用冪法求:的按模最大的特征值和對應(yīng)的特征向量,限定最大的迭代步驟n=500,Eps=1.0,=
程序:
function [k,lambda,Vk,Wc]=mifa(A,x0,eps,n)
lambda=0;k=1;Wc =1; state=1; V=x0;
while((k<=n)&(state==1))
Vk=A*V; [m j]=max(abs(Vk)); mk=m;
tzw=abs(lambda-mk); Vk=(1/mk)*Vk;
Txw=norm(V-Vk); Wc=ma 19、x(Txw,tzw); V=Vk;lambda=mk;state=0;
if(Wc>eps)
state=1;
end
k=k+1;Wc=Wc;
end
if(Wc<=eps)
disp(迭代次數(shù)k,主特征值的近似值lambda,主特征向量的近似向量Vk,相鄰兩次迭代的誤差Wc如下:)
else
disp(迭代次數(shù)k已經(jīng)達(dá)到最大迭代次數(shù)max1,主特征值的迭代值lambda,主特征向量的迭代向量Vk,相鄰兩次迭代的誤差Wc如下:)
end
Vk=V;k=k-1;Wc;
主程序:
>> A=[1 2 3;2 3 4;3 4 5];
x0=[1;1;1] 20、;
esp=1.0e-6;
n=500;
[k,lambda,xk,Wc]=mifa(A,x0,eps,n),
[k,lambda,xk,Wc]=mifa(A,x0,0.000001,500),
[x,D] = eig (A), Dzd=max(diag(D)), wuD= abs(Dzd- lambda), wux=x(:,2)./xk,
答案:
迭代次數(shù)k已經(jīng)達(dá)到最大迭代次數(shù)max1,主特征值的迭代值lambda,主特征向量的迭代向量Vk,相鄰兩次迭代的誤差Wc如下:
k =
500
lambda =
9.6235
xk = 21、
0.5247
0.7623
1.0000
Wc =
1.7764e-015
迭代次數(shù)k,主特征值的近似值lambda,主特征向量的近似向量Vk,相鄰兩次迭代的誤差Wc如下:
k =
8
lambda =
9.6235
xk =
0.5247
0.7623
1.0000
Wc =
1.5190e-007
x =
0.8277 0.4082 0.3851
0.1424 -0.81 22、65 0.5595
-0.5428 0.4082 0.7339
D =
-0.6235 0 0
0 -0.0000 0
0 0 9.6235
Dzd =
9.6235
wuD =
9.2421e-009
wux =
0.7781
-1.0710
0.4082
10、利用反冪法求A=的按模最小的特征值和對應(yīng)的特征向量,限定最大的迭代步驟n=5 23、00,Eps=1.0,=
程序:
function [k,lambdan,Vk,Wc]=ydwyfmf(A,V0,jlamb,jd,max1)
[n,n]=size(A); A1=A-jlamb*eye(n); jd= jd*0.1;RA1=det(A1);
if RA1==0
disp(請注意:因?yàn)锳-aE的n階行列式hl等于零,所以A-aE不能進(jìn)行LU分解.)
return
end
lambda=0;
if RA1~=0
for p=1:n
h(p)=det(A1(1:p, 1:p));
end
hl=h(1:n);
for i=1:n
i 24、f h(1,i)==0
disp(請注意:因?yàn)锳-aE的r階主子式等于零,所以A-aE不能進(jìn)行LU分解.)
return
end
end
if h(1,i)~=0
disp(請注意:因?yàn)锳-aE的各階主子式都不等于零,所以A-aE能進(jìn)行LU分解.)
k=1;Wc =1;state=1; Vk=V0;
while((k<=max1)&(state==1))
[L U]=lu(A1); Yk=L\Vk;Vk=U\Yk; [m j]=max(abs(Vk));
mk=m;Vk1=Vk/mk; Yk1=L\Vk1;Vk1=U\Yk1;
[m j]=max( 25、abs(Vk1)); mk1=m;Vk2=(1/mk1)*Vk1;tzw1=abs((mk-mk1)/mk1);
tzw2=abs(mk1-mk);Txw1=norm(Vk)-norm(Vk1);
Txw2=(norm(Vk)-norm(Vk1))/norm(Vk1);
Txw=min(Txw1,Txw2); tzw=min(tzw1,tzw2); Vk=Vk2;
mk=mk1; Wc=max(Txw,tzw); Vk=Vk2;mk=mk1;state=0;
if(Wc>jd)
state=1;
end
k=k+1;%Vk=Vk2,mk=mk1,
end
if(Wc<=jd 26、)
disp(A-aE的秩R(A-aE)和各階順序主子式值hl、迭代次數(shù)k,按模最小特征值的近似值lambda,特征向量的近似向量Vk,相鄰兩次迭代的誤差Wc如下:)
else
disp(A-aE的秩R(A-aE)和各階順序主子式值hl、迭代次數(shù)k已經(jīng)達(dá)到最大迭代次數(shù)max1,按模最小特征值的迭代值lambda,特征向量的迭代向量Vk,相鄰兩次迭代的誤差Wc如下:)
end
hl,RA1
end
end
[V,D]=eig(A,nobalance),Vk;k=k-1;Wc;lambdan=jlamb+1/mk1;
主程序:
A=[1 2 0;4 -3 2;5 27、1 4];
x0=[1;1;1];
[k,lambda,Vk,Wc]=ydwyfmf(A,x0,0.2,0.000001,500)
請注意:因?yàn)锳-aE的各階主子式都不等于零,所以A-aE能進(jìn)行LU分解.
A-aE的秩R(A-aE)和各階順序主子式值hl、迭代次數(shù)k,按模最小特征值的近似值lambda,特征向量的近似向量Vk,相鄰兩次迭代的誤差Wc如下:
hl =
0.8000 -10.5600 -21.7280
RA1 =
-21.7280
V =
-0.1577 -0.5531 0.3776
-0.3243 -0.0508 -1.0000
-1.0000 1.0000 -0.1070
D =
5.1127 0 0
0 1.1836 0
0 0 -4.2964
k =
7
lambda =
1.1836
Vk =
0.5531
0.0508
-1.0000
Wc =
5.3678e-009
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