2第二章 電力系統(tǒng)潮流計算

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1、第二章 電力系統(tǒng)潮流計算 2.1 概 述 電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析是研究電力系統(tǒng)運行和規(guī)劃方案最重要和最基本的手段，其任務是根據(jù)給定的發(fā)電運行方式及系統(tǒng)接線方式求解電力系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)運行狀況，包括各路線的電壓、各元件中通過的功率等等。在電力系統(tǒng)運行方式和規(guī)劃方案研究少，都需要進行穩(wěn)態(tài)分析以比較運行方式或規(guī)劃供電方案的可行性、可靠性和經(jīng)濟性。電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析得到的是一個系統(tǒng)的平衡運行狀態(tài)，不涉及系統(tǒng)元件的動態(tài)屬性和過渡過程。因此其數(shù)學模型不包含微分方程，是一組高階數(shù)的非線性方程。電力系統(tǒng)的動態(tài)分析(見第5章、第6章)的主要目的是研究系統(tǒng)在各種干擾下的穩(wěn)定性，屬于動態(tài)安全分析，在其數(shù)學模型中包含微分

2、方程，應該指出，電力系統(tǒng)的動態(tài)分析不僅在穩(wěn)定運行方式分析的基礎上進行，而且穩(wěn)態(tài)分析的算法也是動態(tài)分析算法的基礎。因此，熟悉穩(wěn)態(tài)分析的原理和算法是把握現(xiàn)代電力系統(tǒng)分析方法的關鍵。 電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析包括潮流汁算(或潮流分析)和靜態(tài)安全分析。潮流計算針對電力系統(tǒng)各正常運行方式，而靜態(tài)安全分析則要研究各種運行方式下個別系統(tǒng)元件退出運行后系統(tǒng)的狀況。其目的是校驗系統(tǒng)是否能安全運行，即是否有過負荷的元件或電壓過低的母線等。原則上講，靜態(tài)安全分析也可以用潮流計算來代替。但是—般靜態(tài)安全分析需要校驗的狀態(tài)數(shù)非常多，用嚴格的潮流計算來分析這些狀態(tài)往往計算量過大。因此不得不尋求一些特殊的算法以滿足要求。

3、本章的前半部分介紹潮流計算的模型和算法，后半部分討論與靜態(tài)安全分析有關的問題。 利用電子數(shù)字計算機進行電力系統(tǒng)潮流計算從20世紀50年代中期就已開始。此后，潮流計算曾采用了各種不同的方法，這些方法的發(fā)展主要是圍繞著對潮流計算的一些基本要求進行的。對潮流計算的要求可以歸納為下面幾點： (1)計算方法的可靠性或收斂性。 (2)對計算速度和內(nèi)存量的要求。 (3) 計算的方便件和靈活性。 電力系統(tǒng)潮流計算問題在數(shù)學上是一組多元非線性方程式的求解問題，其解法離不開迭代。因此，對潮流計算方法，首無要求它能可靠地收斂，并給出正確答案。隨著電力系統(tǒng)不斷擴大，潮

4、流問題的方程式階數(shù)越來越高(目前已達幾千階甚至超過1萬階)，對這樣規(guī)模的方程式并不是采用任何數(shù)學方法都能保證給出正確答案的。這種情況成為促使電力系統(tǒng)研究人員不斷尋求新的更可靠方法的重要動力。 在用數(shù)字計算機解電力系統(tǒng)潮流問題的開始階段，普遍采取以節(jié)點導納矩陣為基礎的高斯—賽德爾迭代法(以下簡稱導納法)[1，2]。這個方法的原理比較簡單，要求的數(shù)字計算機內(nèi)存且也比較小，適應當時電子數(shù)字計算機制造水平和當時電力系統(tǒng)理論水平，但它的收斂性較差．當系統(tǒng)規(guī)模變大時，迭代次數(shù)急劇上升，往往出現(xiàn)迭代不收斂的情況。這就迫使電力系統(tǒng)計算人員轉(zhuǎn)向以阻抗矩陣為基礎的逐次代入法(以下簡稱阻抗法)[2,3]。

5、 20世紀60年代初．數(shù)字計算機已發(fā)展到第二代，計算機的內(nèi)存和速度發(fā)生了很大的飛躍，從而為阻抗法的采用創(chuàng)造了條件。如第1章所述，阻抗矩陣是滿矩陣，阻抗法要求數(shù)字計算機儲存表征系統(tǒng)接線和參數(shù)的阻抗矩陣，這就需要較大的內(nèi)存量。而且阻抗法每迭代一次都要求順次取阻抗矩陣中的每—個元素進行運算，因此，每次迭代的運算量很大。 阻抗法改善了系統(tǒng)潮流計算問題的收斂性，解決了導納法無法求解的一些系統(tǒng)的潮流計算，當時獲得了廣泛的應用，曾為我國電力系統(tǒng)設計、運行和研究作出了很大的貢獻。 但是，阻抗法的主要缺點是占用計算機內(nèi)存大，每次迭代的計算量大。當系統(tǒng)不斷擴大時，這些缺點就更加突出。

6、為了克服阻抗法在內(nèi)存和速度方面的缺點，后來發(fā)展了以阻抗矩陣為基礎的分塊阻抗法[3,4]。這個方法把一個大系統(tǒng)分割為幾個小的地區(qū)系統(tǒng)，在計算機內(nèi)只需要存儲各個地區(qū)系統(tǒng)的阻抗矩陣及它們之間連絡線的阻抗，這樣不僅大幅度地節(jié)省了內(nèi)存容量，同時也提高了計算速度。 克服阻抗法缺點的另一途徑是采用牛頓—拉弗森法(以下簡稱牛頓法) [5,6]。牛頓法是數(shù)學中解決非線性方程式的典型方法，有較好的收斂性。解決電力系統(tǒng)潮流計算問題是以導納矩陣為基礎的，因此，只要在迭代過程中盡可能保持方程式系數(shù)矩陣的稀疏性，就可以大大提高牛頓法潮流程序的效率。自從20世紀60年代中期利用了最佳順序消去法[7]以后，牛頓法在

7、收斂性、內(nèi)存要求、速度方面都超過了阻抗法，成為直到目前仍在廣泛采用的優(yōu)秀方法。 20世紀70年代以來，潮流計算方法通過不同的途徑繼續(xù)向前發(fā)展，其中最成功的方法是P-Q分解法[8]。這個方法，根據(jù)電力系統(tǒng)的特點，抓住主要矛盾，對純數(shù)學的牛頓法進行了改造，在計算速度方面有明顯的提高，迅速得到了推廣。 近20多年來，潮流問題算法的研究仍非?；钴S，但是大多數(shù)研究是圍繞著改進牛頓法和P-Q分解法進行的[9~15]。此外，隨著入工智能理論的發(fā)展，遺傳算法、人工神經(jīng)網(wǎng)絡、模糊算法也逐漸引入潮流計算[16~19]。但是，到目前為止這些新模型和算法還不能取代牛頓法和P-Q分解法的地位。由于電

8、力系統(tǒng)的不斷擴大和對計算速度要求的不斷提高，計算機的并行計算技術(shù)也引起一些研究人員的興趣[20]，今后會成為重要的研究領域。 本章主要介紹當前通用的牛頓法和P-Q分解法。在本書后的附錄中給出了P-Q分解法潮流程序的詳細框圖，供編制程序時參考。 最后還應指出，潮流計算的靈活性和方便性的要求，對數(shù)字計算機的應用也是一個很重要的問題。潮流程序的編制必須盡可能使計算人員在計算機計算的過程中加強對計算過程的監(jiān)視和控制，并便于作各種修改和調(diào)整。電力系統(tǒng)潮流計算問題并不是單純的計算問題，把它當作一個運行方式的調(diào)整問題可能更為確切。為了得到一個合理的運行方式，往往需要不斷根據(jù)計算結(jié)果修改原始數(shù)據(jù)。

9、在這個意義上．我們在編制潮流計算程序時，對使用的方便性和靈活性必須予以足夠的重視。因此，除了要求計算方法盡可能適應各種修改、調(diào)整以外，還要注意輸入和輸出的方便性和靈活性，加強人機聯(lián)系，做好界面，使計算人員能及時監(jiān)視計算過程并方便地控制計算的進行。 2.2 潮流計算問題的數(shù)學問題 2.2.1 潮流計算問題的節(jié)點類型 電力系統(tǒng)由發(fā)電機、變壓器、輸電線路及負荷等構(gòu)成。圖2-1表示了一個簡單電力系統(tǒng)的接線圖。在進行電氣計算時，系統(tǒng)中靜止元件如變壓器、輸電線、并聯(lián)電容器、電抗器等可以用R、L、C所組成的等值電路來模擬。因此這些靜止元件所連成的電力網(wǎng)在潮流計算中可以看作是線性網(wǎng)絡，并用相應

10、的導納矩陣或阻抗矩陣來描述。在潮流計算中發(fā)電機和負荷都作為非線性元件來處理，不能包括在線性網(wǎng)絡部分，如圖2-1(b)所示。聯(lián)絡節(jié)點作為注入零功率的節(jié)點引出網(wǎng)絡之外。 圖2-1 簡單電力系統(tǒng)接線圖 在圖2-1(b)中虛線所包括的線性網(wǎng)絡部分，其節(jié)點電流與電壓之間的關系可以通過節(jié)點方程式來描述： 上式也可以寫成展開的形式； 式個：和，分別為節(jié)點i的注入電流及節(jié)點j的電壓；為導納矩陣元素；n為系統(tǒng)節(jié)點數(shù)。 為了求解潮流問題，我們必須利用節(jié)點功率與電流之間的關系： 式中；、分別為節(jié)點i向線性網(wǎng)絡注入的有功功率和無功功率，當i點為負荷節(jié)點時，、本身應帶負號；為節(jié)點i電壓向量

11、的共扼值。 將式(2-3)代入式(2-2)，可得到 或 上式含有n個非線性復數(shù)方程式，是潮流計算問題的基本方程式，對這個方程式的不同應用和處理．就形成了不同的潮流程序， 電力系統(tǒng)潮流汁算中，表征各個節(jié)點運行狀態(tài)的參數(shù)是該點的電壓向量及復功率，也就是說，每個節(jié)點都有4個表征節(jié)點運行狀態(tài)的量：、、、因此，在n個節(jié)點的電力系統(tǒng)中共有4n個運行參數(shù)。 如上所述，電力潮流基本方程式(2-4)共有n個復數(shù)方程式，相當于2n個實數(shù)方程式，因此只能解出2n個運行參數(shù)，其余2n個應作為原始數(shù)據(jù)事先給定。 在一般電力系統(tǒng)潮流計算時，對每個節(jié)點往往給出兩個運行參數(shù)作為已知條件，而另外兩個則作為

12、待求量。根據(jù)原始數(shù)據(jù)給出的方式，電力系統(tǒng)中的節(jié)點一般分為以下3種類型： (1)PQ節(jié)點。 這類節(jié)點給出的參數(shù)是該點的有功功率及無功功率(P、Q)，待求量為該點的電壓向量〔)。通常將變電所母線作為PQ節(jié)點。當某些發(fā)電廠的山力P、Q給定時，也作為PQ節(jié)點。在潮流計算中，系統(tǒng)中大部分節(jié)點部屬于這類節(jié)點。 (2)PV節(jié)點。 這類節(jié)點給出的運行參數(shù)為該點的有功功率P及電壓幅值V，待求量是該點的無功功率Q及電壓向量的角度。這種節(jié)點在運行中往往要有一定可調(diào)節(jié)的無功電源，用以維持給定的電壓值。因此，這種節(jié)點是系統(tǒng)中可以調(diào)節(jié)電壓的母線。通常選擇有一定無功功率貯備的發(fā)電廠母線作為PV節(jié)點。當變電所有無功補

13、償設備時，也可以作為PV節(jié)點處理。 (3)平衡節(jié)點。 在潮流計算中，這類節(jié)點一般在系統(tǒng)中只設一個。對這個節(jié)點，我們給定該點的電壓幅值，井在計算中取該點電壓向量的方向作為參考軸，相當于給定該點電壓向量的角度為零度。因此，對這個節(jié)點給定的運行參數(shù)V和，故也可以稱為節(jié)點。對平衡節(jié)點來說，待求量是該點的有功功率P及無功功率Q，整個系統(tǒng)的功率平衡由這一節(jié)點來完成。平衡節(jié)點一般選擇在調(diào)頻發(fā)電廠母線比較合理，但在計算時也可能按其他原則來選擇。例如，為了提高導納法潮流程序的收斂性。有時選擇出線最多的發(fā)電廠母線作為平衡節(jié)點。 以上3種節(jié)點的給定量和待求量不同，在潮流計算中處理的方法也

14、不一樣。 2.2.2 節(jié)點功率方程式 如前所述，電力系統(tǒng)潮流計算可以概略地歸結(jié)為由系統(tǒng)各節(jié)點給定的復功率求解各節(jié)點電壓向量的問題，因此如果能把復功率表示為各節(jié)點電壓向量的方程式，就可以利用求解非線性方程式的牛頓法解出系統(tǒng)各節(jié)點的電壓向量。這一節(jié)我們首先推導節(jié)點功率的方程式。 節(jié)點電壓向量可以表示為極坐標的形式，也可以表示為直角坐標的形式。與此相應，在潮流計算中節(jié)點功率方程式也有兩種形式。 由式(2-4)可知，節(jié)點功率可表示為 由于導納矩陣是稀疏矩陣，上式號后一般并沒有n項，也就是說，其中j并不取從1到n的全部下標。式中表示號后的節(jié)點j都必須直接與i節(jié)點相連，并包括的

15、情況。如果把上式中電壓向量表示為極坐標的形式 式個：、為節(jié)點i電壓向量的幅值和角度。將導納短陣中元素表示為 將上式中指數(shù)項合并，并考慮到以下關系： 式中：，為i、j兩節(jié)點電壓的相角差。 將上式按實部和虛部展開，得到 這就是功率的極坐標方程式。這個方程組不僅在牛頓法潮流程序中非常重要，在2.4節(jié)P-Q分解法潮流程序中也將起重要作用。 把上式中各節(jié)點的電壓向量表示為直角坐標的形式： 式中： 則由式（2-5）就可以得到 令式中 式中：、實際上是節(jié)點i注入電流的實部和虛部。因此式(2-10)可以簡寫為 這就是功率的直角坐標方程式。

16、 無論式(2-9)或式(2-10)都是節(jié)點電壓向量的非線性方程組。在潮流問題中，往往把它們寫成以下的形式： 及 式(2-13)、式(2-14)中：、為節(jié)點i給定的有功功率及無功功率。由這兩個公式，我們可以把電力系統(tǒng)潮流問題概略地歸結(jié)為：對于給定的、尋求這樣一組電壓向量、或、 ，使按式(2-13)、式(2-14)所得到的功率誤差、在容許范圍以內(nèi)。 最后應該指出，在某些情況下用節(jié)點注入電流[見式(2-2)]代替節(jié)點注入功率構(gòu)成潮流模型可能開發(fā)出更有效的算法，見第2.3節(jié)。 2.3 潮流計算的牛頓法 2.3.1 牛頓法的基本概念 牛頓法(又稱牛頓—拉弗森法)是解非線

17、性方程式的有效方法。這個方法把非線性方程式的求解過程變成反復對相應的線性方程式的求解過程，通常稱為逐次線性化過程，這是牛頓法的核心。我們以如下非線性方程式的求解過程為例來說明： 設為該方程式的初值，而真正解x在它的近旁 式巾：為初值的修正量。如果求得，則由式(2-16)就可得到真正解x。為此， 將式 按泰勒級數(shù)展開： 式中：分別為函數(shù)在處的一次導數(shù)至n次導數(shù)。當我們選擇的初值比較好，即很小時，式(2-18)中包含的和更高階次項可以去不計。因此，式(2-18)可以簡化為 這是對于變量的線性方程式，以后稱為修正方程式，用它可以求出修正量。 由于式(2-19

18、)是式(2-18)簡化的結(jié)果，所以由式(2-19)解出后，還不能得到方程式(2-15)的真正解。實際上，用對修正以后得到的： 只是向真正解更逼近了一些?，F(xiàn)在如果再以作為初值，解式(2-19)， 就能得到更趨近于真正解的 這樣反復下去，就構(gòu)成了不斷求解線性修正方程式的逐步線性化過程。第t次迭代時的修正方程式為 或 上式左端可以看成是近似解引起的誤差，當時，就滿足了原方程式(2-15)， 因而就成為該方程式的解。式(2-22)中是函數(shù)在點的一次導數(shù)，也就 是曲線在點的斜率，如圖2-2所示， 修正運則由點的切線與橫軸的交點來決定，由圖2-2可以直觀地看

19、出牛頓法的求解過程。 圖2-2 牛頓法的幾何解釋 現(xiàn)在把牛頓法推廣到多變量非線性方程組的情況。設有變量的非線性聯(lián)立方程組： 給定各變量初值為其修正值，并使其滿足 對以上n個方程式分別按泰勒級數(shù)展開，當忽略包含所組成的二次項和高次項時，可以得到 式中：為函數(shù)對自變量xj的偏導數(shù)在點處的值。 把上式寫成短陣的形式： 這是變量的線性方程組，稱為牛頓法的修正方程式，通過它可以解出并可以進一步求得 式中向真正解逼近了一步，如果再以它們作為初值重復解式(2-28)型修正方程式，并按式(2-29)對變量進行修正，就構(gòu)成了牛頓法的迭代過程。 一般第t次迭代時

20、的修正方程式為 或者簡寫為 式中： 為第t次迭代時函數(shù)的誤差向量； 稱為第t次迭代時的雅可比矩陣； 為第t次迭代時的修正量向量。 同樣，也可以寫出類似于式(2-29)的算式 這樣，反復交替解式(2-31)及式(2-35)就可以使逐步趨近方程式的真正解。為了判斷收斂情況，可采用以下兩個不等式中的一個： 式中：及分別表示向量及的最大分量的絕對值；和為預先給出的很小正數(shù)。 2.3.2 修正方程式 在第2.3.1節(jié)中我們推導了兩種類型的功率方程式，它們在牛頓法潮流程序中都有應用[14]。雖然它們在迭代步驟上沒有差別，但其修正方程式則各有特點。

21、當采用極坐標的數(shù)學模型[式(2-l3)]時，待求量是各節(jié)點電壓的幅值和角度、。對節(jié)點來說，節(jié)點i電壓幅值是給定的，不再作為變量。同時，該點不能預先給定無功功率，這樣，方程式中，也就失去了約束作用。因此，在迭程中應該取消與節(jié)點有關的無功功率方程式。只有當這迭代結(jié)束后，即各節(jié)點電壓向量求得以后，才利用這些方程式來求各節(jié)點應維持的無功功率。同樣道理，由于平衡節(jié)點電壓幅值及相角都是給定量，因此與平衡節(jié)點有關的方程式也不參與這迭代過程。迭代結(jié)束后，我們利用平衡節(jié)點的功率方程式來確定其有功功率及無功功率。 設系統(tǒng)節(jié)點總數(shù)為n，節(jié)點共r個。為了敘述方便，我們把平衡節(jié)點排在最后，即設為第n節(jié)點，則潮流計算要

22、解的方程式應包括 此式中共包含n-1個方程式；及 此方程組共包括個方程式。以上方程式的待求量為各節(jié)點電壓的角度以及電壓幅值，其中共有個。由于中不包括節(jié)點的電壓幅值，所以共有個。這樣，未知量共有個，恰好可由以上個方程式求出。 將式(2-38)、式(2-39)按泰勒級數(shù)展開，略去高次項后，即可得到修正方程式 式中電壓幅值的修正量采用的形式并沒有什么特殊意義，只不過為了使雅可比矩陣中各元素具有比較相似的表達式。 利用簡單的微分運算對式(2- 3)或?qū)κ?2-38)、式(2-39)取偏導數(shù)，并注意式中、 均為常數(shù)，不難得到雅可比矩陣中各元素的表達式： 或 修

23、正方程式（2-40）還可以寫成更為簡單的形式 對照式(2—40＞不難看出式中各符號的意義。有時，為了程序上處理方便也可把修正方 程式排成下列形式： 上式與式(2-40)在本質(zhì)上并無任何不同。 當采用直角坐標時，潮流問題的待求量為各節(jié)點電壓的實部和虛部兩個分量。由于平衡節(jié)點電壓向量是給定的，因此待求量共2(n-1)個，需要2(n-1)個方程式。事實上，除平衡節(jié)點的功率方程式在迭代過程中沒有約束作用以外，其余每個節(jié)點都可列出兩個方程式。對PQ節(jié)點來說，、是給定的，因而可以寫出 對節(jié)點來說，給定量是、，因此可以列出 式(2-52)和式(2-53)共包括2(n-1)

24、個方程式。將它們按泰勒級數(shù)展開，略去高次項后，即 可得到修正方程式，寫成矩陣的形式如下： 根據(jù)式(2-52)、式(2-53)，利用簡單的微分運算不難求得上式雅可比矩陣中各元素的 以上為對角元素。當i=j時： 利用式（2-11）可以改寫為 同樣得到 以上得到的兩種坐標系統(tǒng)修止方程式，是牛頓法潮流程序中需要反復求解的基本方程式。研究以上公式，不難看出這兩種修正方程式有以下持點： (1)修正方程式(2-54)顯然是2(n-1)階的，修正方程式(2-40)的階數(shù)為2(n-1)-r。由于系統(tǒng)中節(jié)點數(shù)(r)一般較少，所以也是接近2(n-1)階的方程組。 (2)由兩種坐標

25、系統(tǒng)雅可比短陣非對角元素的表示式(2-41)、式(2-44)、式(2-46)、式(2-48)以及式(2-55)可以看出，它們只與導納矩陣中某一個元素有關。因此，當導納矩陣中元素為零時，修正方程式系數(shù)矩陣中相應元素也為零，即修正方程式系數(shù)矩陣與導納矩陣具有相同的結(jié)構(gòu)，因此修正方程式系數(shù)矩陣也是稀疏矩陣。 (3)由雅可比矩陣各元素的表達式可以看出，兩種坐標系統(tǒng)修正方程式的系數(shù)矩陣都是不對稱的，例如很容易驗證 以及 等等。 (4)兩種修正方程式的系數(shù)矩陣——雅可比矩陣中諸元素都是節(jié)點電壓向量的函 數(shù)，因此在迭代過程中，它們將隨著各節(jié)點電壓向量的變化而不斷變化。這一點是影響午

26、頓法潮流程序計算效率最重要的因素，因為不僅每次迭代都要重新計算雅可比矩陣元素，而且還需重新進行三角分解。因此，對牛頓法潮流程序的改進，大多是針對這一問題。例如，文獻[12]提出當采用直角坐標時，如果以注入電流[見式(2-4)]構(gòu)成潮流方程，則其修正方程式的雅可比矩陣中非對角元素將為常數(shù)，從而提高求解效率。文獻[13]則建議采用部分更新雅可比矩陣元素以減少運算量。限于篇幅，不再詳述。 兩種坐標系統(tǒng)的修正方程式給牛頓法潮流程序也帶來一些差異。當采用極坐標表示式時，程序中對節(jié)點處理比較方便。當采用直角坐標時，在迭代過程中避免了三角函數(shù)的運算，因而每次迭代速度略快一些。—般說來，這些差異并不十分顯著

27、。在牛頓法潮流程序中，兩種坐標系統(tǒng)都有應用。關于對兩種坐標系統(tǒng)的修正方程式的比較，可參考文獻[14]。 日前廣泛采用的P-Q分解法是從極坐標系統(tǒng)牛頓法潮流程序演化而來的，將在第2.4節(jié)中詳細討論。因此，下一節(jié)將主要根據(jù)直角坐標表示式(2-54)型的修正方程式討論牛頓法潮流程序。 2.3.3牛頓法的求解過程 以下討論用直角坐標形式的牛頓法潮流的求解過程。在牛頓法潮流程序中，電力網(wǎng)絡是用導納矩陣來描述的。由式(2-52)、式(2-53)、式(2-55)、式(2-56)可知，其中的運算都以導納矩陣為基礎，因此在程序中應首先形成導納矩陣。牛頓法潮流求解過程大致分為以下幾個步驟： (1)給定各節(jié)

28、點電壓初值、。 (2)將電壓初值、代入式(2-52)、式(2-53)，求修正方程式的常數(shù)項、、。 (3)將電壓初值代入式(2-55)、式(2-56)中求修正方程式系數(shù)矩陣(雅可比矩陣)各元素。 (4)解修正方程式(2-54)，求修正量、。 (5)修正各節(jié)點電壓向量： (6)以、代入式(2-52)、式(2-53)個求、、。 (7)校驗是否收斂，如收斂，則進而求各支路潮流并打印輸出計算結(jié)果，否則再以、為初值，返回第(3)步驟進行下—次迭代。 牛頓法潮流程序的原理框圖如圖2-3所示。圖2-3以及上述求解步驟只是從原理上簡要地介紹了牛頓法的計算過程，它們和實際的應用程序還有一些差別。

29、如前所述，牛頓法求解潮流問題的過程，實際上是不斷形成并求解修正方程式的過程。如何處理修正方程式對于內(nèi)存要求和計算速度有著決定性的影響，因此，在下一節(jié)具體討論修正方程式的構(gòu)成及解法以后，才能進一步給出牛頓法潮流程序的實用框圖。 圖2-3 牛頓法潮流程序原理框圖 現(xiàn)在我們僅就與修正方程式處理無關的問題作簡單的介紹。 牛頓法的收斂性比較好，一般潮流計算通常迭代6~7次就能收斂到非常精確的解，而且迭代次數(shù)與電力系統(tǒng)規(guī)模關系不大。從理論上講，牛頓法具有平方收斂的特性，但它對初始值要求比較高。當初始值選擇得不恰當時，可能出現(xiàn)不收斂，或者收斂到實際電力系統(tǒng)無法運行的解。這種情況是牛頓法本身引起的

30、。如前所述，牛頓法的實質(zhì)是把非線性方程的求解轉(zhuǎn)化為反復求解修正方程式的過程，這種“逐次線性化”是建立在、非常小，因而其高次項可以忽略不計的假定之上的。當初值和真正解相差較大時，高次項就不能忽略，從而牛頓法就失去了迭代的基礎。 一般電力系統(tǒng)在正常運行情況下，各節(jié)點運行在額定電壓附近，各節(jié)點電壓相角差不會很大。在這時，初值采用“平啟動”方式，即 牛頓法都能給出比較滿意的結(jié)果。在圖2-3中，我們采用的收斂條件是 式中：表示向量中最大分量的絕對值。這個收斂條件比較直觀，用它可以直接控制最終結(jié)果的功率誤差。當采用標么值進行計算時，可以取或，如果以100MVA作為基值，這就相當于有名值0.0

31、1MVA或0.1MVA，這實際電力系統(tǒng)計算來說已經(jīng)相當精確。 由圖2-3可知，在利用牛頓法計算系統(tǒng)潮流時，每次迭代都要重新形成雅可比矩陣并且對它進行消去運算，因此，每迭代一次要求的運算量相當大，降低了牛頓法潮流程序的計算速度。由前面雅可比矩陣元素的表達式可知，在迭代過程中特別是趨于收斂時，由于電壓變化而引起雅可比矩陣元素的變化不會很大(參看2.3.4節(jié)例2-1)，因此，為了提高牛頓法潮流程序的計算速度，可以在形成雅可比矩陣后，用同一雅可比矩陣連續(xù)進行幾次迭代。 2.3.4 修正方程式的求解 牛頓法在20世紀50年代末期就已用于解決電力系統(tǒng)潮流問題，并采用了高斯消去法求解

32、修正方程式。這時出現(xiàn)的矛盾是其內(nèi)存量及運算量隨著系統(tǒng)的擴大而急劇地增長。如前所述，牛頓法修正方程式的階數(shù)為2(n-1)，因此需要個內(nèi)存單元貯存整個系數(shù)矩陣，而且求解線性方程式的運算量在某些情況下達到乘加運算，這樣就限制了牛頓法的應用和推廣。 20世紀60年代中期，人們對牛頓法修正方程式的稀疏性進行了深入研究，在求解線性方程式的過程中充分利用了稀疏線性方程的特點，避免了對雅可比矩陣中大量零元素的貯存和運算，這樣就大大節(jié)約了內(nèi)存單元并且顯著地減少了運算量，從而提高了計算速度。當采用節(jié)點編號優(yōu)化時，還可以保證修正方程式系數(shù)矩陣在消去過程中增加的非零元素最少，使求解修正方程式所需要的內(nèi)存量及

33、運算量可減少到幾乎與系統(tǒng)節(jié)點數(shù)目成線性關系，從而使牛頓法成為求解電力系統(tǒng)潮流問題時應用最廣泛的方法之一[7]。 下面我們以圖2-4所示的簡單系統(tǒng)為例，說明牛頓法潮流程序在求解修正方程式過程中的一些算法特點。圖中節(jié)點3及節(jié)點6為發(fā)電機節(jié)點，其中節(jié)點3為節(jié)點，節(jié)點6為平衡節(jié)點，其余節(jié)點均為節(jié)點。該系統(tǒng)的導納矩陣結(jié)構(gòu)如下： 圖2-4 簡單電力系統(tǒng) 修正方程式中不包括與平衡節(jié)點有關的方程，因此修正方程的形狀應為 式中：常數(shù)項可按式（29-52）求得： 或者寫成 由式（2-56）可知修正方程式中對角元素為 式(2-61)和式(2-62)中都含有節(jié)點i注入電流的分量

34、，為了求及雅可比矩陣中對角元素，主要運算集中在求及上。節(jié)點i注入電流分量只與i行導納矩陣及相應節(jié)點的電壓分量有關[見式(2-1I)]，因此，我們只要順序取導納矩陣中的第i行各元素及相應節(jié)點的電壓分量作簡單的乘加運算，即可積累求和得到。 當求出后，與節(jié)點i的電壓分量按式(2-61)作乘加運算再與節(jié)點i給定的功率，就可得到。 式(2-60)中雅可比矩陣非對角元素的表示式為 顯然，非對角線元素只與導納矩陣中相應的元素及該節(jié)點的電壓分量有關。從對角元素的達式(2-62)也可以看出，其中除了節(jié)點i注入電流分量以外，也只有導納矩陣中對角元素，與該點電壓分量乘加運算而得到的結(jié)果。 綜上分析，

35、使我們在程序的處理上能把形成修正方程式的過程變成逐行取導納矩陣中元素并與相應節(jié)點電壓分量作簡單乘加運算的過程。 當節(jié)點i為PV節(jié)點時，的方程式要用的方程式來代替，其左端的常數(shù)項及雅可比矩陣元素由式(2-53)、式(2-56)中有關公式不難求得 形成修正方程式是牛法潮流程序中很重要的一步，它對整個牛頓法程序的效率有很大的影響。因此，在編制程序時，必須對以上公式進行深入細致的分析，從中找出規(guī)律性的東西，盡量減少重復性的運算。 在利用高斯消去法求解修正方程時，通常是按行消去的。與式(2-60)對應的增廣矩陣是 消去與節(jié)點l及節(jié)點2有關的方程以后，增廣矩陣演化如下所示：

36、 可以看出，當消去與節(jié)點2有關的方程式(第三行及第四行)時，所有運算與節(jié)點3及以后的方程式完全無關。因此，在按行消去過程中，可以采取形成一行立即消去一行的方式。式中等帶上標“”元素為消去過程中新增加的非零元素。為了使消去過程中新增加的非零元素最少，在正式計算之前，應對節(jié)點編號進行優(yōu)化(見第1.3.5節(jié))。帶上標“”的元素表示該元素已參與了運算。由于在程序上采用邊形成邊消去邊貯存的方式，因而對于新注入的非零元素不需要預留位置，從而使程序簡化。 消去結(jié)束時，修正方程式的增廣矩陣演化為 最后利用一般回代方法即可將等演化為。由以上的討論可以得到圖2-5所示的程序框圖，它比圖2-4更能反映

37、實際程序。圖中R表示平衡節(jié)點的點號?？驁D中的修正方程式的求解過程可以利用一般高斯消去法。在程序中對修正方程式采取了按節(jié)點邊形成邊消去的過程，在形成雅可比矩陣元素的同時積累數(shù)項，顯著地減少了迭代過程的運算量。 【2-1】利用牛頓法計算圖2-6所示系統(tǒng)的潮流分布 圖2-5 牛頓法潮流程序原理圖 圖2-6 簡單模型系統(tǒng) 【解】按照圖2-5所示牛頓法潮流程序原理框圖進行汁算。迭代計算以前的準備工作包括形成導納矩陣和送電壓初值。 由例[1-1]可知，該系統(tǒng)的導納矩陣為 各節(jié)點的電壓初值如表2-1所示 根據(jù)式(2-52)、式(2-53)可建立修正方程式常數(shù)項(誤差項)的

38、算式： 根據(jù)式(2-55)、式(2-56)可以得到雅可比矩陣各元素的算式： 這樣，按照式（2-60），就可以得到第一次迭代時的修正方程式： 式中：黑體數(shù)字為雅可比矩陣中各行絕對值最大的元素。顯然，按這種排列，各行最大元素都不在對角元素的位置上。 必須指出，這種情況的出現(xiàn)并非偶然。由上式可以看出，各行最大元素實際是和。這對高壓電力系統(tǒng)來說是一種普遍現(xiàn)象，因為電力系統(tǒng)中有功功率主要和電壓的橫分量有關，無功功率主要和電壓的縱分量有關。 為了減少計算過程的舍入誤差，應該吧最大元素排列在對角元素的位置上。為此，可以采用兩種排列方法：一種是把各節(jié)點的方程式與方程式對調(diào)，即對調(diào)上式

39、中奇數(shù)行和偶數(shù)行的位置；另一種方法是把各節(jié)點待求量對調(diào)，即對調(diào)上式中雅可比矩陣的奇數(shù)列和偶數(shù)列。 以下我們介紹對調(diào)方程式的方法，在這種情況下，上式可以重新排列為 這樣，除第8行外各行最大元素都占據(jù)了對角元素的位置。 如本節(jié)所述，牛頓法潮流程序中，迭代過程就是修正方程式邊形成邊消去的過程（見圖2-5）。因此，當形成第一個節(jié)點有關的方程式以后，我們得到相應的增廣矩陣部分為 立即對它進行消去運算，得到上三角矩陣的第一行與第二行： 然后形成與第二節(jié)點相關的方程式，并得到相應的增廣矩陣部分： 對它進行消去運算，得到上三角矩陣的第三行與第四行： 這樣繼續(xù)下去，消去過程結(jié)束

40、后，可以得到整個上三角矩陣： 進行回代運算后，就可以得到各節(jié)點電壓的修正量： 修正各節(jié)點電壓后，就求出第一次迭代后各節(jié)點的電壓： 按以上計算步驟迭代下去，當收斂條件取時，需要進行5次迭代。迭代過程中各節(jié)點電壓及功率誤差的變化情況如表2-2及表2-3所示。 將表2-3中各次迭代過程中最大功率誤差(即表中附“#”號的數(shù)字)繪成曲線，可以顯示出牛頓法的收斂特性，如圖2-7所示。 在迭代過程中，持別是迭代趨近于收斂時，雅可比矩陣各元素變化不太顯著。為了說明這個問題，我們存在2-4中列出了雅可比矩陣對角元素在迭代過程中的變化情況。 各節(jié)點電壓向量的計算結(jié)果見表2-

41、5。 圖2-7 牛頓法迭代收斂特性 2.4 潮流計算的P-Q分解法 2.4.1 P-Q分解法的基本原理 P-Q分解法的基本思想是：把節(jié)點功率表示為電壓向量的極坐標方程式，抓住主要矛盾，以有功功率誤差作為修正電壓向量角度的依據(jù)，以無功功率誤差作為修正電壓幅值的依據(jù)，把有功功率和無功功率迭代分開來進行[8]。以下我們討論P-Q分解法是怎樣從牛頓法的基礎上演化出來的。 如前所述，牛頓法潮流程序的核心是求解修正方程式。當節(jié)點功率方程式采取極坐標表達式時，修正方程式為[見式(2-50)] 或展開為 以上方程式是從數(shù)學上嚴格推導出來的，并沒有考慮電力系統(tǒng)這個具體對象

42、的持點。 我們知道，在高壓電力系統(tǒng)中有功功率潮流主要與各節(jié)點電壓向量的角度有關，無功功率潮流則主要受各節(jié)點電壓幅值的影響。大量運算經(jīng)驗也告訴我們，式(2-66)中矩陣N以及J中各元素的數(shù)值相對是很小的，因此對牛頓法的第一步簡化是把有功功率和無功功率分解開來進行迭代，即將式(2-66)簡化為 這樣，由于把2n階的線性方程組變成了兩個n階的線性方程組，因而計算量和內(nèi)存方面都有改善。但是，如第2.3.2節(jié)中指出的那樣，H、L在迭代過程中仍然不斷變化，而且又都是不對稱矩陣，因此，對牛頓法的第二個簡化，也是比較關鍵的一個簡化，就是式(2-67)中的系數(shù)矩陣簡化為在迭代過程中不變的對稱矩陣。眾所周

43、知，一般線路兩端電壓的相角差是不大的(通常不超過)，因此可以認為 此外，與系統(tǒng)各節(jié)點無功功率相應的導納必定遠遠小于該節(jié)點自導納的虛部，即 因此 考慮到以上關系后，式(2-67)中系數(shù)矩陣中的元素表示式可以從式(2-41)、式(2-42)、式(2-48)、式(2-49)簡化為 這樣，式（2-67）中系數(shù)矩陣可以表示為 將式（2-72）代入式（2-67）中，并利用矩陣乘法結(jié)合律，可以吧修正方程式變?yōu)? 及 將以上兩式的左右兩端用一下矩陣左乘： 就可得到 及 以上兩式就是P-Q分解法的修正方程式，其中系數(shù)矩陣只不過是系統(tǒng)導納矩陣的虛部，因而是對稱

44、矩陣．而且在迭代過程中維持不變。它們與功率誤差方程式(2-13)： 構(gòu)成了P-Q分解法迭代過程中基本計算公式，其迭代步驟大致是： (1)給定各節(jié)點電壓向量的電壓初值。 (2)根據(jù)式(2-77)計算各節(jié)點有功功率誤差，，并求出。 (3)解修止方程式(2-75)，并進而計算各節(jié)點電壓向量角度的修正量 (4)修正各節(jié)點電壓向量角度； (5)根據(jù)式(2-78)計算各節(jié)點無功功率誤差，并求出。 (6)解修正方程式(2-76)，求出各節(jié)點電壓幅值的修正量。 (7)修正各節(jié)點電壓幅值： (8)返回(2)進行迭代，直到各節(jié)點功率誤差及，都滿足收斂條件。

45、 2.4.2 P-Q分解法的修正方程式 P-Q分解法與牛頓法潮流程序的主要差別表現(xiàn)在它們的修正方程式上。P-Q分解法通過對電力系統(tǒng)具體特點的分析，對牛頓法修正方程式的雅可比矩陣進行了有效的簡化和改進，得到式(2-75)、式(2-76)所示的修正方程式。歸結(jié)起來，這兩組方程式和牛頓法修正方程式(2-40)或式(2-54)相比，有以下3個持點： (1)式(2-75)、式(2-76)用兩個n階線性方程組代替了一個2n階線性方程組。 (2)式(2-75)、式(2-76)中系數(shù)矩陣的所有元素在迭代過程中維持常數(shù)。 (3)式(2-75)、式(2-76)中系數(shù)矩陣是對稱矩陣。 特點(1)在提高計

46、算速度和減少內(nèi)存方面的作用是很明顯的，不再敘述。 特點(2)使我們得到以下好處：首先，因為修正方程式的系數(shù)矩陣是導納矩陣的虛部，因此在迭代過程中不必像牛頓法那樣每次都要重新計算雅可比矩陣，這樣不僅減少了運算量，而且也大大簡化了程序；其次由于系數(shù)矩陣在迭代過程中維持不變，因此在求解修正方程式時，不必每次都對系數(shù)矩陣進行消去運算，只需要在進入迭代過程以前．將系數(shù)矩陣用三角分解形成因子表，然后反復利用因子表對不同的常數(shù)項或進行消去和回代運算，就可以迅速求得修正量，從而顯著提高了迭代速度。 特點(3)可以使我們減少形成因子表時的運算量，而且由于對稱矩陣三角分解后，其上三角矩陣和下三角矩陣有非常簡單

47、的關系，所以在計算機中可以只貯存上三角矩陣或下三角矩陣，從而也進一步節(jié)約了內(nèi)存。 由于P-Q分解法大大提高了潮流計算的速度，所以不僅可用于離線計算，而且也可用于電力系統(tǒng)在線靜態(tài)安全監(jiān)視，從而得到了廣泛應用。 P-Q分解法所采取的一系列簡化假定只影響了修正方程式的結(jié)構(gòu)，也就是說只影響了迭代過程，但未影響最終結(jié)果。因為P-Q分解法和牛頓法都采用同樣的數(shù)學模型[式(2-13)]，最后計算功率誤差和判斷收斂條件都是嚴格按照精確公式進行的，所以P-Q分解法和牛頓法一樣都可以達到很高的精確度。 以上我們只是從P-Q分解法基本思路推導了它的修正方程式。表面看來，似乎式(2-75)和式(2-76)的系數(shù)

48、矩陣是一樣的，但在實際P-Q分解法程序中，兩個修正方程式的系數(shù)矩陣并不相同。一般可以簡寫為 式中：V為以節(jié)點電壓幅值為對角元素的對角矩陣。 為了改善P-Q分解法的收斂特性，與—般并不簡單地是電力系統(tǒng)導納矩陣的虛部。在實踐中，對與的不同處理，就形成了不同的P-Q分解法。以下就討論與的構(gòu)成。 首先應該指山，與的階數(shù)是不同的，為n-1階，低于n-1階。因為式(2-82)不包含與PV節(jié)點有關的方程式，因此，如果系統(tǒng)有r個PV節(jié)點，則應為n-r-1階。 如前所述，式(2-81)和式(2-82)是經(jīng)過一系列簡化之后得到的修正方程式。式(2-81)以有功功率誤差為依據(jù)修正電壓向量的角度；式(2-

49、82)以無功功率誤差為依據(jù)修正電壓幅值。為了加速收斂，使它們能更有效地進行修正，可以考慮在中盡量去掉那些與有功功率及電壓向量角度無關或影響較小的因素。為此，我們以電力系統(tǒng)導納矩陣的虛部作為，但是去掉了充電電容和變壓器非標準變比的影響。具體地說，的非對角元素和對角元素分別按下式計算： 式中和分別為支路ij的電阻和感抗. 從概念上講．應該在中去掉那些對無功功率及電壓幅值影響較小的因素，例如，應去掉輸電線路電阻對啪影響。因此，的非對角元素和對角元素分別按下式計算： 式中：為節(jié)點i的接地支路的電納。 按式(2-83)及式(2-84)形成與的P-Q分解法通常又叫BX法，與該方法相對應的另

50、一種方法是XB法。在XB法中，與迭代用的按式(2-84)計算；與迭代用的按式(2-83)計算。雖然這兩種方法的修正方程式不同，但是都具有良好的收斂特性。對IEEE的幾個標準測試電力系統(tǒng)計算的收斂情況如表2-6所示，表中給出的是收斂迭代次數(shù)。 大量計算表明，BX法與XB法在收斂性方面沒有顯著差別。這兩種算法均有很好的收斂性，凡是牛頓法可以收斂的潮流問題，它們也可以收斂。文獻[9，10]對P-Q分解法簡化的實質(zhì)作了一些解釋；文獻[19]針對較高時可能出現(xiàn)的收斂性問題，提出了魯棒快速分解潮流；文獻[29]利用稀疏向量技術(shù)提高了P-Q分解法的求解速度。有興趣的讀者可以參考。 如前所述，

51、P-Q分解法改變了牛頓法迭代公式的結(jié)構(gòu)，因此就改變了迭代過程的收斂特性。事實上，依一個不變的系數(shù)矩陣進行非線性方程組的求解迭代，在數(shù)學上屬于“等斜率法”，其迭代過程是按幾何級數(shù)收斂的，如畫在對數(shù)坐標上，這種收斂特性基本上接近一條直線。而牛頓法是按平方收斂的，在對數(shù)坐標紙上基本上是一條拋物線。圖2-8表示了兩種方法的典型收斂特性。 圖2-8 牛頓法與P-Q分解法的收斂性 由圖2-8可以看出，牛頓法在開始時收斂得比較慢，當收斂到一定程度后，它的收斂速度就非常之快，而P-Q分解法幾乎是按同一速度收斂的。我們給出的收斂條件如果小于圖中A點相應的誤差，那么P-Q分解法所需要的迭代次數(shù)要比牛頓法

52、多幾次?？梢源致缘卣J為P-Q分解法的迭代次數(shù)與精確度的要求之間存在著線性關系。 雖然P-Q分解法比牛頓法所需的迭代次數(shù)多，但是每次迭代計算量卻很小．因此P-Q分解法的計算速度比牛頓法有明顯提高。例如，對IEEE的118節(jié)點電力系統(tǒng)而言，用P-Q分解法計算一次潮流需CPU時間大約0.01s，而用牛頓法則需0.1s。 2.3.4 P-Q分解法潮流程序原理框圖 在圖2-9中表示了P-Q分解法潮流程序的基本原理框圖，從中可以看出計算的大致過程和程序的邏輯結(jié)構(gòu)(關于P-Q分解法潮流程序的細節(jié)問題，可以參看附錄)。 首先對圖中有關的符號加以說明： ：退迭代次數(shù)計數(shù)單元。

53、 ：是一個特征記數(shù)單元，只有“0”和“1”兩種狀態(tài)。當?shù)泄β蕰r，為0；當?shù)鸁o功功率時為1。在迭代過程中，順次迭代一次有功功率和一次無功功率才算進行了一次迭代，這時變化一個周期，計數(shù)單元加1。 ：是功率誤差的數(shù)值．其中包括有功功率誤差及無功功率誤差。當 時，（）為有功功率誤差；當時，（）為無功功率誤差。 ：為電壓向量數(shù)組，包括各節(jié)點電壓的幅值及角度。當時（）表示電壓的角度；當時，（）表示電壓的幅值。 ERM：寄存每次迭代過程中最大的功率誤差，包括最大有功功率誤差及最大無功功率誤差。當時，ERM()表示最大有功功率誤差；當時，ERM〔)表示最大無功

54、功率誤差。 ：收斂條件，標么值取。 由圖中可以看出、當輸入信息及原始數(shù)據(jù)并對原始數(shù)據(jù)進行加工處理后，就可形成導納矩陣。然后，根據(jù)式(2-83)求出，并對進行三角分解，形成第一個因子表(圖2-9中框③)，這就為P-Q迭代時求解修正方程式(2-81)作好了準備。 根據(jù)式(2-84)，考慮輸電線路的充電電容及非標準變比變壓器的接地支路后，求出 ，并對它進行三角分解，形成第二個因子表(圖2-9中框④)，這就為Q-V迭代時求解修正方程式(2-82)作好了準備。 應該指出，和的形成可在形成導納矩陣過程中同時進行。同時，在框②中導納矩 陣形成以后，應該把它貯存起來

55、，以便在迭代時利用它按式(2-77)、式(2-78)計算功率誤差。 圖中框⑤-⑩屬于迭代過程。迭代過程從送電壓初值開始。 框⑤的任務是向各節(jié)點送電壓初值。電壓初值應按PQ節(jié)點及PV節(jié)點分別進行。一般對PQ節(jié)點來說其電壓幅值可送系統(tǒng)平均電壓；對PV節(jié)點來說，其電壓幅值應送該節(jié)點要維持的電壓值。各節(jié)點電壓向量的角度初值可一律取零度。 框⑥建立了這代的初始狀態(tài)，迭代是由迭代開始的，因此應置“0”。 圖2-9所示的計算程序是按，方式進行迭代的，也就是說，首先進行一次迭 代，然后進行一次Q-V迭代，之后再進行一次迭代……這樣反復下去。 框⑦按照式(2-77)或

56、式(2-78)計算各節(jié)點功率誤差．并記錄最大的功率誤差ERM()，以便校驗是否收斂。 框⑧求解修正方程式，求出相應的修正量，并修正電壓向量的角度或幅值。 框⑨的作用是建立下次迭代的狀態(tài)并對迭代過程計數(shù)。 框⑩的作用是校驗整個潮流計算是否收斂。當框中兩個條件都滿足時，就說明迭代及Q-V迭代均已收斂，因而可以轉(zhuǎn)出迭代過程，輸出潮流計算結(jié)果，否則應轉(zhuǎn)入以下迭代過程。 圖2-9 P-Q分解法潮流程序的基本原理框圖 【例2-2】 用P-Q分解法計算圖2-6所示系統(tǒng)的潮流分布。 【解】 計算過程按照圖2-9所示的程序進行。 迭代計算前的準備工作包括形成導納矩

57、陣、兩個因子表和送入電壓初值。導納矩陣見例1-1。 迭代過程中用以求解修正方程式的因子表為 應該指出，在形成這個因子表時所用的應按式(2-83)求出。 Q-V迭代過程中所用的因子表為 形成這個因子表所用的應按式(2-84)求出。但是由于PV節(jié)點及平衡節(jié)點不參與Q-V迭代過程，因此在中不包括與這些節(jié)點有關的元素，只留下如下三階矩陣： 對它進行消去運算，不難得到上面的因子表。 各節(jié)點電壓初值和前面例2-1類似，只是在現(xiàn)在的情況下，電壓向量采用極坐標表示法。系統(tǒng)平均運行電壓取 這樣，各節(jié)點電壓向量的初值為 根據(jù)式(2-77)、式(2-78)，各節(jié)點功率誤差的計算式

58、為 現(xiàn)在，我們進行第一次這代計算。首先，根據(jù)上面功率誤差計算式求出第一次迭代時各節(jié)點有功功率的誤差 這樣就可以得到修正方程式的常數(shù)項 用第一因子表對它進行消去回代運算以后，就得到各節(jié)點的修正量 必須注意，在迭代過程中，利用第一因子表對常數(shù)項進行消去回代運算后應得到見式[(2-81)]，但本例題采用標全值進行計算，且，因此 對各節(jié)點電壓向量角度進行修正以后，得到第一次迭代后的 然后進行Q-V迭代。各節(jié)點無功功率誤差為 修正方程式的常數(shù)項： 利用第二因子表對它進行消去回代運算，就得到各PQ節(jié)點電壓修正量 根據(jù)式(2-80)修正各節(jié)點電壓：

59、 這樣就完成了第一次迭代計算。 按照以上的計算步驟繼續(xù)迭代下去，當收斂條件取時，迭代10次收斂。迭代過程中各節(jié)點電壓的變化情況列于表2-7中。 迭代過程中最大功率誤差和電壓誤差的變化情況列于表2-8 P-Q分解法在計算本例題時的收斂特性如圖2-10所示。由土中可以看出P-Q分解法收斂特性在對數(shù)坐標上是接近直線的，在迭代的開始階段它的收斂速度比牛頓法快一些。 圖2-10 P-Q分解法的收斂特性 潮流計算結(jié)果表示在圖2-11中，各支路潮流的計算方法可參看附錄。 圖2-11 潮流計算結(jié)果 （圖中各節(jié)點電壓向量的角度均為度） 2.5 靜態(tài)安全分析及

60、補償法 2.5.1 靜態(tài)安全分析概述 靜態(tài)安全分析是電力系統(tǒng)規(guī)劃和調(diào)度的常用手段，用以校驗輸變電設備強迫退出運行后系統(tǒng)的運行狀態(tài)，回答諸如“假如電網(wǎng)中某一條500kv輸電線路開斷后，系統(tǒng)運行狀態(tài)發(fā)生什么變化”之類的問題[21,22]。對這個問題的回答可能是系統(tǒng)的潮流和電壓都在容許的范圍之內(nèi)，或者出現(xiàn)某些輸變電設備過負荷或某些母線電壓越界的情況。前者的系統(tǒng)是安全的，后者則是不安全的。因此，靜態(tài)安全分析是電力系統(tǒng)安全分析的一個重要組成部分，它不涉及電力系統(tǒng)的動態(tài)過程的分析，故稱為靜態(tài)安全分析，是以下各節(jié)介紹的主要內(nèi)容。動態(tài)安全分析問題的討論詳見第5章及第6章。 利用靜態(tài)安全

61、分析可以進行事故預想，對一個輸電系統(tǒng)規(guī)劃方案而言，可以校驗其承受事故的能力；對運行中的電力系統(tǒng)而言，可以檢驗其運行方式及接線方式的安全性，進而給出事故前后應采用的防范措施或校正措施。靜態(tài)安全分析中需要校驗的典型事故包括發(fā)電機組或輸變電設備的強迫停運，也包括短路引起的保護動作致使多個設備同時退出運行的情況。 系統(tǒng)規(guī)劃設計人員在進行發(fā)電系統(tǒng)和輸電系統(tǒng)規(guī)劃時，應利用靜態(tài)安全分析考慮各種可能的設備開斷情況，并評估其后果是否滿足安全性的要求。為此，規(guī)劃設計人員一般需要增加一些冗余的設備或調(diào)整計劃以減少中斷供電的可能性。 在電力系統(tǒng)的運行中，為了避免過負荷和電壓越界引起的設備損壞，或由于過負荷

62、設備在系統(tǒng)保護作用下退出運行而導致大面積連鎖反應性的停電，在線或?qū)崟r地進行系統(tǒng)靜態(tài)安全分析非常重要[23,24]。特別是隨著電力市場的進展，電力系統(tǒng)的發(fā)輸配電各環(huán)節(jié)由統(tǒng)一管理、統(tǒng)一調(diào)度逐步轉(zhuǎn)向雙邊合同交易和發(fā)電廠商的競價上網(wǎng)，使系統(tǒng)運行出現(xiàn)了諸多不確定因素，對電力系統(tǒng)運行的安全監(jiān)視和控制提出了更高的要求。 由于不涉及元件動態(tài)特性和電力系統(tǒng)的動態(tài)過程，靜態(tài)安全分析實質(zhì)上是電力系統(tǒng)運行的穩(wěn)態(tài)分析問題，即潮流問題。也就是說，可以根據(jù)預想的事故，設想各種可能的設備開斷情況，完成相應的潮流計算，即可得出系統(tǒng)是否安全的結(jié)論。但是，靜態(tài)安全分析要求檢驗的預想事故數(shù)量非常大，而在線分析或?qū)崟r分析又要在

63、短時間內(nèi)完成這些計算、因此，開發(fā)研究了許多專門用于靜態(tài)安全分析的方法，如補償法、直流潮流法及靈敏度分析法等，以下將分別介紹這些基本的方法。 2.5.2 補償法 電力系統(tǒng)基本運行方式計算完畢以后，往往還要求系統(tǒng)運行人員或規(guī)劃設計人員進行一些特殊運行方式的計算，以分析系統(tǒng)中某些支路開斷以后系統(tǒng)的運行狀態(tài)，以下簡稱斷線運行方式。這對于確保電力系統(tǒng)可靠運行，合理安排檢修計劃都是非常必要的。 發(fā)電廠運行狀態(tài)的變化，如發(fā)電廠之間出力的調(diào)整和某些發(fā)電廠退出運行等情況，在程序中都是比較容易模擬的。因為這時網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)和網(wǎng)絡參數(shù)均未發(fā)生變化，所以網(wǎng)絡的阻抗矩陣、導納短陣以及P-Q分解法中的因

64、子表都應和基本運行方式一樣。因此，我們只要按照新的運行方式給定各發(fā)電廠的出力，就可以直接轉(zhuǎn)入迭代程序。應該指出，在這種情況下不必重新送電壓初值，利用基本運行方式求得的節(jié)點電壓作為電壓初值可能更有利于收斂。 當系統(tǒng)因故障或檢修而開斷線路或變壓器時，要引起電網(wǎng)參數(shù)或局部系統(tǒng)結(jié)構(gòu)發(fā)生變化，因此在這種情況下進行潮流計算時，要修改網(wǎng)絡的阻抗矩陣或?qū)Ъ{矩陣。 對于牛頓法潮流程序來說，修正導納矩陣以后，即可轉(zhuǎn)入迭代程序(見圖2-5)。 對于P-Q分解法來說，修改導納矩陣以后，應該先轉(zhuǎn)入形成因子表程序，然后再進行迭代計算(見圖2-9)。在程序編制上這樣處理比較簡單，只需要增加修改

65、導納矩陣的程序，但是，由于需要重新形成因子表，因此計算速度較慢。 為了進一步發(fā)揮P-Q分解法的優(yōu)點，提高計算速度，可以采用補償法的原理[7]，在原有基本運行方式的因子表的基礎上進行開斷運行方式的計算。當潮流程序用作在線靜態(tài)安全監(jiān)視時，利用補償法以加速順序開斷方式的檢驗就顯得特別重要。 應該指出，補償法的概念不僅應用于P-Q分解法潮流程序中，也廣泛應用在短路電流、復雜故障以及動態(tài)穩(wěn)定計算程序的網(wǎng)絡處理上。以下首先介紹補償法的基本原理，然后討論如何利用補償法進行開斷運行方式的計算。 如圖2-12所示，設網(wǎng)絡N的導納矩陣已經(jīng)形成，并對它進行三角分解而得到因子表?，F(xiàn)在的問題是，當

66、向網(wǎng)絡節(jié)點i、j之間追加阻抗時．如何根據(jù)已知的節(jié)點注入電流 利用原電力網(wǎng)絡N的因子表，求得新條件下的電壓 如果我們能夠求得流入原網(wǎng)絡N的注入電流向量 圖2-14 求電流的等效電路 那么利用原網(wǎng)絡因子表對此進行消去回代運算就可以得到節(jié)點電壓向量。但是在各節(jié)點電壓求出以前，追加支路上通過的電流并不知道，因而也就不能直接利用求節(jié)點電壓。 根據(jù)迭加原理，可以把圖2-12所示網(wǎng)絡拆為兩個等值網(wǎng)絡，如圖2-13(a)及(b)所示。節(jié)點電壓向量可以表示為 式中：相當子沒有追加支路，或追加支路開路的情況下各節(jié)點的電壓向量，見圖2-13(a)。由于這種情況下各節(jié)點的注入電流已知，因此利用原網(wǎng)絡N的因子表不難求得 現(xiàn)在討論如何求得圖2-13(b)中各節(jié)點電壓。在這個圖中，向原網(wǎng)絡注入的電流向量為 圖2-13 補償法原理示意圖 其中現(xiàn)在暫時還是未知量。但如果假定，則利用原網(wǎng)絡因子表就可以求得當為單位電流時，網(wǎng)絡各節(jié)點的電壓 這樣，如果能求出那么由于網(wǎng)絡是線性的，就可以按下式求得最終的電壓向量： 因此，現(xiàn)在的關鍵問題就在于如何求