2017-2018學年度高中數(shù)學 第一章 常用邏輯用語 1.4.1 全稱量詞 1.4.2 存在量詞課后提升訓練【含解析】新人教A版選修1-1

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1、 全稱量詞　存在量詞 (30分鐘　60分) 一、選擇題(每小題5分,共40分) 1.下列語句不是全稱命題的是　(　　) A.任何一個實數(shù)乘以零都等于零 B.自然數(shù)都是正整數(shù) C.高二(一)班絕大多數(shù)同學是團員 D.每一個向量都有大小 【解析】選C.“高二(一)班絕大多數(shù)同學是團員”,即“高二(一)班有的同學不是團員”,是特稱命題. 2.下列命題為特稱命題的是　(　　) A.偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱 B.正四棱柱都是平行六面體 C.不相交的兩條直線是平行直線 D.存在實數(shù)大于等于3 【解析】選D.A,B,C三個選項都含有“所有”這個全稱量詞,只有D選項中有存在量詞“

2、存在”. 3.以下四個命題既是特稱命題又是真命題的是　(　　) A.銳角三角形的內角是銳角或鈍角 B.至少有一個實數(shù)x0,使x02≤0 C.兩個無理數(shù)的和必是無理數(shù) D.存在一個負數(shù)x0,使1x0>2 【解析】選B.A中銳角三角形的內角是銳角或鈍角是全稱命題; B中x=0時,x2=0,所以B既是特稱命題又是真命題;C中因為3+(-3)=0,所以C是假命題;D中對于任意一個負數(shù)x,都有1x<0,所以D是假命題. 4.下列全稱命題中假命題的個數(shù)是　(　　) ①2x+1是整數(shù)(x∈R); ②對所有的x∈R,x>3; ③對任意一個x∈Z,2x2+1為奇數(shù). A.0 B.1

3、 C.2 D.3 【解析】選C.①②均為假命題,①中,x=2,22+1不是整數(shù),②中,x=0不成立. 5.下列命題為真命題的是　(　　) A.對任意x∈R,都有cosx<2成立 B.存在x∈Z,使log2(3x-1)<0成立 C.對任意x>0,都有3x>3成立 D.存在x∈Q,使方程2x-2=0有解 【解析】選A.A中,由于函數(shù)y=cosx的最大值是1, 又1<2,所以A是真命題; B中,log2(3x-1)<0?0<3x-1<1?13

4、6.給出以下命題: ①?x∈R,有x4>x2; ②?α0∈R,使得sin3α0=3sinα0; ③?a∈R,對?x∈R,使得x2+2x+a<0. 其中真命題的個數(shù)為　(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】選B.①中,當x=0時,x4=x2,故為假命題; ②中,當α0=kπ(k∈Z)時,sin3α0=3sinα0成立; ③中,由于拋物線開口向上,一定存在x0∈R,使x02+2x0+a≥0,原命題顯然為假命題. 7.(2017泰安高二檢測)若命題“?x0∈R,x02+(a-1)x0+1<0”是真命題,則實數(shù)a的取值范圍是　(　　) A.[-1,3] B

5、.(-1,3) C.(-∞,-1]∪[3,+∞) D.(-∞,-1)∪(3,+∞) 【解析】選D.依題意,關于x的不等式x2+(a-1)x+1<0有解,因此Δ=(a-1)2-4>0,即a2-2a-3>0,解得a<-1或a>3. 8.(2017杭州高二檢測)若存在x0∈R,使ax02+2x0+a<0,則實數(shù)a的取值范圍是 　(　　) A.a<1 B.a≤1 C.-10時,由Δ=4-4a2>0, 解得-1

6、是a<1. 二、填空題(每小題5分,共10分) 9.下列命題中,是全稱命題的是________;是特稱命題的是________.(填序號) ①正方形的四條邊相等; ②有兩個角相等的三角形是等腰三角形; ③正數(shù)的平方根不等于0; ④至少有一個正整數(shù)是偶數(shù). 【解析】①可表達為“每一個正方形的四條邊都相等”,是全稱命題;②是全稱命題,即“凡是有兩個角相等的三角形都是等腰三角形”;③可表述為“所有正數(shù)的平方根不等于0”是全稱命題;④是特稱命題. 答案:①②③?、? 10.(2017蘇州高二檢測)已知命題p:“?x∈[0,1],a≥ex”,命題q:“?x0∈R,x02+4x0+a=0”

7、,若命題“p∧q”是真命題,則實數(shù)a的取值范圍是____________. 【解析】由命題“p∧q”是真命題得命題p,q都是真命題. 因為x∈[0,1],所以ex∈[1,e], 所以a≥e;?x0∈R,x02+4x0+a=0, 即方程x2+4x+a=0有實數(shù)解, 所以Δ=42-4a≥0, 解得a≤4,取交集得a∈[e,4]. 答案:[e,4] 【延伸探究】本題條件“若命題p∧q是真命題”改為“若命題p∧q是假命題”,其他條件不變,則實數(shù)a的取值范圍是________. 【解析】若命題p∧q是假命題,則有三種情形:p真q假,p假q真,p假q假,直接求解比較復雜,可求原題結果的補

8、集即得,[e,4]的補集是(-∞,e)∪(4,+∞). 答案:(-∞,e)∪(4,+∞) 三、解答題 11.(10分)用符號“?”與“?”表示下面含有量詞的命題并判斷其真假: (1)自然數(shù)的平方大于零. (2)圓x2+y2=r2上任一點到圓心的距離是r. (3)存在一對整數(shù)x0,y0,使2x0+4y0=3. (4)存在一個無理數(shù),它的立方是有理數(shù). 【解析】(1)?x∈N,x2>0,因為0也是自然數(shù),0的平方是0.所以,全稱命題“自然數(shù)的平方大于零”是假命題. (2)設圓x2+y2=r2的圓心為O,P(x,y)為圓上的點,?P,有|OP|=r是真命題. (3)?x0,y0∈

9、Z,2x0+4y0=3.由2x0+4y0=3,得x0+2y0=32,若x0,y0∈Z,則x0+2y0也是整數(shù),不可能等于32,所以,特稱命題“存在一對整數(shù)x0,y0,使2x0+4y0=3”是假命題. (4)?x0∈{無理數(shù)},x03∈Q,33是有理數(shù),(33)3=3是有理數(shù). 所以,特稱命題“存在一個無理數(shù),它的立方是有理數(shù)”是真命題. 【能力挑戰(zhàn)題】 已知函數(shù)f(x)=lgx+ax-2,若對任意x∈[2,+∞)恒有f(x)>0,試確定a的取值范圍. 【解析】根據(jù)f(x)>0得lgx+ax-2>lg1, 即x+ax-2>1在x∈[2,+∞)上恒成立, 分離參數(shù),得a>-x2+3x在x∈[2,+∞)上恒成立, 設g(x)=-x2+3x, 則g(x)=-x-322+94, 當x∈[2,+∞)時,g(x)max=f(2)=2,所以a>2, 故a的取值范圍是(2,+∞). 5