大學(xué)物理 矢量分析

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1、會(huì)計(jì)學(xué)1大學(xué)物理大學(xué)物理 矢量分析矢量分析2本章內(nèi)容1.1 矢量代數(shù)1.2 三種常用的正交曲線坐標(biāo)系1.3 標(biāo)量場(chǎng)的梯度1.4 矢量場(chǎng)的通量與散度1.5 矢量場(chǎng)的環(huán)流和旋度1.6 無旋場(chǎng)與無散場(chǎng)1.7 拉普拉斯運(yùn)算與格林定理1.8 亥姆霍茲定理第1頁/共60頁31.標(biāo)量和矢量矢量的單位矢量：標(biāo)量：一個(gè)只用大小描述的物理量。1 1.1 .1 矢量代數(shù)矢量代數(shù)矢量代數(shù)矢量代數(shù)矢量：一個(gè)既有大小又有方向特性的物理量，常用黑體字 母或帶箭頭的字母表示。矢量的幾何表示：一個(gè)矢量可用一條有方向的線段來表示 注意：單位矢量不一定是常矢量。矢量的幾何表示常矢量：大小和方向均不變的矢量。第2頁/共60頁4矢量用

2、坐標(biāo)分量表示zxy第3頁/共60頁5（1）矢量的加減法 兩矢量的加減在幾何上是以這兩矢量為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線,如圖所示。矢量的加減符合交換律和結(jié)合律2.矢量的代數(shù)運(yùn)算 在直角坐標(biāo)系中兩矢量的加法和減法：第4頁/共60頁6（2）標(biāo)量乘矢量（3）矢量的標(biāo)積（點(diǎn)積）兩矢量的標(biāo)量積也稱為點(diǎn)積(本書稱為標(biāo)積)。定義一個(gè)矢量在另一矢量上的投影與另一矢量模的乘積，結(jié)果為標(biāo)量。AB第5頁/共60頁7（4）矢量的矢積（叉積）寫成行列式形式為 亦稱叉積，結(jié)果仍為一個(gè)矢量，用矢量C表示，C的大小為A和B組成的平行四邊形的面積，方向垂直與矢量A和B構(gòu)成的平面且A、B和C三者符合右手螺旋法則。第6頁/共60頁8（

3、5）矢量的混合運(yùn)算第7頁/共60頁9 三維空間任意一點(diǎn)的位置可通過三條相互正交曲線的交點(diǎn)來確定。1 1.2.2 三種常用的正交曲線坐標(biāo)系三種常用的正交曲線坐標(biāo)系三種常用的正交曲線坐標(biāo)系三種常用的正交曲線坐標(biāo)系 在電磁場(chǎng)與波理論中，三種常用的正交曲線坐標(biāo)系為：直角坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系。三條正交曲線組成的確定三維空間任意點(diǎn)位置的體系，稱為正交曲線坐標(biāo)系；三條正交曲線稱為坐標(biāo)軸；描述坐標(biāo)軸的量稱為坐標(biāo)變量。第8頁/共60頁10第9頁/共60頁11n n 直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系xyzdxdydxezdzeydxdydzdydzexdLo第10頁/共60頁12第11頁/共60頁13n n圓柱坐標(biāo)系

4、圓柱坐標(biāo)系xyzpddrezdzerdydzdzdzdzedrpdpdpdodL第12頁/共60頁14第13頁/共60頁15n n 球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系xyzrderedreddrrsindrsindrsindrdrrddrrsindodL第14頁/共60頁16n4.坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系 第15頁/共60頁171.3 1.3 標(biāo)量場(chǎng)的梯度標(biāo)量場(chǎng)的梯度標(biāo)量場(chǎng)的梯度標(biāo)量場(chǎng)的梯度q如果物理量是標(biāo)量，稱該場(chǎng)為標(biāo)量場(chǎng)。例如：溫度場(chǎng)、電位場(chǎng)、高度場(chǎng)等。q如果物理量是矢量，稱該場(chǎng)為矢量場(chǎng)。例如：流速場(chǎng)、重力場(chǎng)、電場(chǎng)、磁場(chǎng)等。q如果場(chǎng)與時(shí)間無關(guān)，稱為靜態(tài)場(chǎng)，反之為時(shí)變場(chǎng)。確

5、定空間區(qū)域上的每一點(diǎn)都有確定物理量與之對(duì)應(yīng)，稱在該區(qū)域上定義了一個(gè)場(chǎng)。從數(shù)學(xué)上看，場(chǎng)是定義在空間區(qū)域上的函數(shù)：標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)第16頁/共60頁181.標(biāo)量場(chǎng)的等值面等值面:標(biāo)量場(chǎng)取得同一數(shù)值的點(diǎn)在空 間形成的曲面。常數(shù)C 取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；標(biāo)量場(chǎng)的等值面充滿場(chǎng)所在的整個(gè)空間；標(biāo)量場(chǎng)的等值面互不相交。等值面的特點(diǎn)：意義:形象直觀地描述了物理量在空間 的分布狀態(tài)。第17頁/共60頁19n方向?qū)?shù)表示場(chǎng)沿某方向的空間變化率。方向?qū)?shù)表示場(chǎng)沿某方向的空間變化率。第18頁/共60頁20第19頁/共60頁212.方向?qū)?shù)意義：方向?qū)?shù)表示場(chǎng)沿某方向的空間變化率。問題

6、：在什么方向上變化率最大、其最大的變化率為多少？第20頁/共60頁22梯度的表達(dá)式：意義：描述標(biāo)量場(chǎng)在某點(diǎn)的最大變化率及其變化最大的方向第21頁/共60頁23標(biāo)量場(chǎng)的梯度是矢量場(chǎng)，它在空間某點(diǎn)的方向表示該點(diǎn)場(chǎng)變化最大（增大）的方向，其數(shù)值表示變化最大方向上場(chǎng)的空間變化率。標(biāo)量場(chǎng)在某個(gè)方向上的方向?qū)?shù)，是梯度在該方向上的投影。梯度的性質(zhì)：梯度運(yùn)算的基本公式：標(biāo)量場(chǎng)的梯度垂直于通過該點(diǎn)的等值面（或切平面）第22頁/共60頁24 解 (1)由梯度計(jì)算公式，可求得P點(diǎn)的梯度為 例 1.3.1 設(shè) 一 標(biāo) 量 函 數(shù)(x,y,z)=x2 y2 z 描述了空間標(biāo)量場(chǎng)。試求：(1)該函數(shù) 在點(diǎn) P(1,1,

7、1)處的梯度，以及表示該梯度方向的單位矢量。(2)求該函數(shù) 沿單位矢量方向的方向?qū)?shù)，并以點(diǎn) P(1,1,1)處的方向?qū)?shù)值與該點(diǎn)的梯度值作以比較，得出相應(yīng)結(jié)論。第23頁/共60頁25表征其方向的單位矢量 (2)由 方 向 導(dǎo) 數(shù) 與 梯 度 之 間 的 關(guān) 系 式 可 知，沿 el方向的方向?qū)?shù)為對(duì)于給定的P點(diǎn)，上述方向?qū)?shù)在該點(diǎn)取值為第24頁/共60頁26而該點(diǎn)的梯度值為 第25頁/共60頁271.4 1.4 矢量場(chǎng)的通量與散度矢量場(chǎng)的通量與散度矢量場(chǎng)的通量與散度矢量場(chǎng)的通量與散度 1.矢量線 意義：形象直觀地描述了矢量場(chǎng)的空間分 布狀態(tài)。矢量線方程：概念：矢量線是這樣的曲線，其上每一 點(diǎn)

8、的切線方向代表了該點(diǎn)矢量場(chǎng) 的方向。第26頁/共60頁282.矢量場(chǎng)的通量 問題：如何定量描述矢量場(chǎng)的大??？引入通量的概念。通量的概念 如果曲面 S 是閉合的，則規(guī)定曲面的法向矢量由閉合曲面內(nèi)指向外，矢量場(chǎng)對(duì)閉合曲面的通量是第27頁/共60頁29通過閉合曲面有凈的矢量線穿出有凈的矢量線進(jìn)入進(jìn)入與穿出閉合曲面的矢量線相等矢量場(chǎng)通過閉合曲面通量的三種可能結(jié)果 閉合曲面的通量從宏觀上建立了矢量場(chǎng)通過閉合曲面的通量與曲面內(nèi)產(chǎn)生矢量場(chǎng)的源的關(guān)系。通量的物理意義第28頁/共60頁30 為了定量研究場(chǎng)與源之間的關(guān)系，需建立場(chǎng)空間任意點(diǎn)（小體積元）的通量源與矢量場(chǎng)（小體積元曲面的通量）的關(guān)系。利用極限方法得到

9、這一關(guān)系：稱為矢量場(chǎng)的散度。散度是矢量通過包含該點(diǎn)的任意閉合小曲面的通量與曲面元體積之比的極限。第29頁/共60頁31第30頁/共60頁32直角坐標(biāo)系下散度表達(dá)式的推導(dǎo) 由此可知，穿出前、后兩側(cè)面的凈通量值為 不失一般性，令包圍P點(diǎn)的微體積V 為一直平行六面體，如圖所示。則第31頁/共60頁33根據(jù)定義，則得到直角坐標(biāo)系中的散度 表達(dá)式為 同理，分析穿出另兩組側(cè)面的凈通量，并合成之，即得由點(diǎn)P 穿出該六面體的凈通量為第32頁/共60頁34圓柱坐標(biāo)系球坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系散度的表達(dá)式：散度的有關(guān)公式：第33頁/共60頁354.散度定理 從散度的定義出發(fā)，可以得到矢量場(chǎng)在空間任意閉合曲面的通量等于該閉

10、合曲面所包含體積中矢量場(chǎng)的散度的體積分，即 散度定理是閉合曲面積分與體積分之間的一個(gè)變換關(guān)系，在電磁理論中有著廣泛的應(yīng)用。第34頁/共60頁361.5 1.5 矢量場(chǎng)的環(huán)流和旋度矢量場(chǎng)的環(huán)流和旋度矢量場(chǎng)的環(huán)流和旋度矢量場(chǎng)的環(huán)流和旋度 1.矢量場(chǎng)的環(huán)流與旋渦源 不是所有的矢量場(chǎng)都由通量源激發(fā)。存在另一類不同于通量源的矢量源，它所激發(fā)的矢量場(chǎng)的力線是閉合的，它對(duì)于任何閉合曲面的通量為零。但在場(chǎng)所定義的空間中閉合路徑的積分不為零。第35頁/共60頁37環(huán)流的概念 矢量場(chǎng)對(duì)于閉合曲線C 的環(huán)流定義為該矢量對(duì)閉合曲線C 的線積分，即 例如：流速場(chǎng)。第36頁/共60頁38 如磁場(chǎng)沿任意閉合曲線的積分與通過

11、閉合曲線所圍曲面的電流成正比，即上式建立了磁場(chǎng)的環(huán)流與電流的關(guān)系。特點(diǎn)：其值與點(diǎn)M 處的方向 有關(guān)。磁感應(yīng)線要么穿過曲面磁感應(yīng)線要么同時(shí)穿入和穿出曲面磁感應(yīng)線第37頁/共60頁39（2）環(huán)流面密度稱為矢量場(chǎng)在點(diǎn)M 處沿方向 的環(huán)流面密度。過點(diǎn)M 作一微小曲面S，它的邊界曲線記為C，曲面的法線方向 與曲線的繞向成右手螺旋法則。當(dāng)S0時(shí)，極限第38頁/共60頁40 矢量場(chǎng)的環(huán)流給出了矢量場(chǎng)與積分回路所圍曲面內(nèi)旋渦源宏觀聯(lián)系。為了給出空間任意點(diǎn)矢量場(chǎng)與旋渦源的關(guān)系，引入矢量場(chǎng)的旋度。矢量場(chǎng)在M點(diǎn)處的旋度為一矢量，其數(shù)值為M點(diǎn)的環(huán)面密度的最大值，其方向?yàn)槿〉铆h(huán)量密度最大值時(shí)面積元的法線方向即：第39頁

12、/共60頁41任一取向面元的環(huán)流面密度，是該點(diǎn)最大環(huán)流面密度的投影：計(jì)算矢量場(chǎng)的旋度第40頁/共60頁42而 推導(dǎo) 的示意圖如圖所示。oyz yCMzx1234計(jì)算 的示意圖 直角坐標(biāo)系中 、的表達(dá)式第41頁/共60頁43于是 同理可得故得物理意義：旋渦源密度矢量。性質(zhì)：第42頁/共60頁44旋度的計(jì)算公式:直角坐標(biāo)系 圓柱坐標(biāo)系 球坐標(biāo)系第43頁/共60頁45q如果矢量場(chǎng)的任意閉合回路的環(huán)流恒為零，稱該矢量場(chǎng)為無旋場(chǎng)，又稱為保守場(chǎng)。q如果矢量場(chǎng)對(duì)于任何閉合曲線的環(huán)流不為零，稱該矢量場(chǎng)為有旋矢量場(chǎng)，能夠激發(fā)有旋矢量場(chǎng)的源稱為旋渦源。電流是磁場(chǎng)的旋渦源。第44頁/共60頁46旋度的有關(guān)公式：矢量

13、場(chǎng)的旋度的散度恒為零標(biāo)量場(chǎng)的梯度的旋度恒為零第45頁/共60頁473.斯托克斯定理 斯托克斯定理是閉合曲線積分與曲面積分之間的一個(gè)變換關(guān)系式，也在電磁理論中有廣泛的應(yīng)用。曲面的剖分方向相反大小相等結(jié)果抵消 從旋度的定義出發(fā)，可以得到矢量場(chǎng)沿任意閉合曲線的環(huán)流等于矢量場(chǎng)的旋度在該閉合曲線所圍的曲面的通量，即第46頁/共60頁484.散度和旋度的區(qū)別 第47頁/共60頁491.矢量場(chǎng)的源散度源：是標(biāo)量，產(chǎn)生的矢量場(chǎng)在包圍源的封閉面上的通量 等于（或正比于）該封閉面內(nèi)所包圍的源的總和，源在一給定點(diǎn)的（體）密度等于（或正比于）矢量 場(chǎng)在該點(diǎn)的散度；旋度源：是矢量，產(chǎn)生的矢量場(chǎng)具有渦旋性質(zhì)，穿過一曲面

14、的旋度源等于（或正比于）沿此曲面邊界的閉合回 路的環(huán)量，在給定點(diǎn)上，這種源的（面）密度等于 （或正比于）矢量場(chǎng)在該點(diǎn)的旋度。1.6 1.6 無旋場(chǎng)與無散場(chǎng)無旋場(chǎng)與無散場(chǎng)無旋場(chǎng)與無散場(chǎng)無旋場(chǎng)與無散場(chǎng)第48頁/共60頁502.矢量場(chǎng)按源的分類（1）無旋場(chǎng)僅有散度源而無旋度源的矢量場(chǎng)，梯度的性質(zhì):梯度的旋度恒為零證明：第49頁/共60頁51性質(zhì)：，線積分與路徑無關(guān)，是保守場(chǎng)。無旋場(chǎng)可以用標(biāo)量場(chǎng)的梯度表示為例如：靜電場(chǎng)第50頁/共60頁52（2）無散場(chǎng) 僅有旋度源而無散度源的矢量場(chǎng)，即旋度的性質(zhì)旋度的性質(zhì)旋度的性質(zhì)旋度的性質(zhì):任意矢量的旋度的散度恒為零任意矢量的旋度的散度恒為零任意矢量的旋度的散度恒為

15、零任意矢量的旋度的散度恒為零 由此可知：對(duì)于任何一個(gè)散度為零的矢量場(chǎng)B，必然可以表示為某個(gè)矢量場(chǎng)的旋度。即：磁場(chǎng)的散度為零，則磁場(chǎng)強(qiáng)度可表為某一矢量的旋度.性質(zhì)：第51頁/共60頁53（3）無旋、無散場(chǎng)（源在所討論的區(qū)域之外）（4）有散、有旋場(chǎng)這樣的場(chǎng)可分解為兩部分：無旋場(chǎng)部分和無散場(chǎng)部分第52頁/共60頁541.7 1.7 拉普拉斯運(yùn)算與格林定理拉普拉斯運(yùn)算與格林定理拉普拉斯運(yùn)算與格林定理拉普拉斯運(yùn)算與格林定理 1.拉普拉斯運(yùn)算直角坐標(biāo)系計(jì)算公式：圓柱坐標(biāo)系球坐標(biāo)系第53頁/共60頁55概念：即注意：對(duì)于非直角分量，直角坐標(biāo)系中：如：第54頁/共60頁562.格林定理 設(shè)任意兩個(gè)標(biāo)量場(chǎng) 及，

16、若在區(qū)域 V 中具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，那么，可以證明該兩個(gè)標(biāo)量場(chǎng) 及 滿足下列等式：根據(jù)方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系，上式又可寫成以上兩式稱為標(biāo)量第一格林定理。第55頁/共60頁57基于上式還可獲得下列兩式：上兩式稱為標(biāo)量第二格林定理。格林定理說明了區(qū)域 V 中的場(chǎng)與邊界 S 上的場(chǎng)之間的關(guān)系。因此，利用格林定理可以將區(qū)域中場(chǎng)的求解問題轉(zhuǎn)變?yōu)檫吔缟蠄?chǎng)的求解問題。此外，格林定理反映了兩種標(biāo)量場(chǎng)之間滿足的關(guān)系。因此，如果已知其中一種場(chǎng)的分布，即可利用格林定理求解另一種場(chǎng)的分布。格林定理廣泛地用于電磁理論。第56頁/共60頁58亥姆霍茲定理:若矢量場(chǎng)在無限空間中處處單值，且其導(dǎo)數(shù)連續(xù)有界，源分布在有限區(qū)域中，則當(dāng)矢量場(chǎng)的散度及旋度給定后，該矢量場(chǎng)可表示為 式中：亥姆霍茲定理表明：在無界空間區(qū)域，矢量場(chǎng)可由其散度、旋度及邊界條件唯一確定。1.8 1.8 亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理第57頁/共60頁59 在有界區(qū)域，矢量場(chǎng)不但與該區(qū)域中的散度和旋度有關(guān)，還與區(qū)域邊界上矢量場(chǎng)的切向分量和法向分量有關(guān)。第58頁/共60頁60n n 前面討論的均為矢量分析中前面討論的均為矢量分析中的基本概念及方法，概括起來的基本概念及方法，概括起來包括：包括：第59頁/共60頁