2021年體育單招數(shù)學(xué)試題及答案

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1、2021年體育單招數(shù)學(xué)試題及答案 2021年全國普通高等學(xué)校運動訓(xùn)練、民族傳統(tǒng)體育專業(yè) 單招統(tǒng)一招生考試 數(shù) 學(xué) 一、選擇題：本大題共10小題，每小題6分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將所選答案的字母在答題卡上涂黑 1、若集合7 {|0,}2 A x x x N =∈，則A 的元素共有 （ ） A. 2個 B . 3個 C. 4個 D. 無窮多個 2、圓07222=-++y y x 的半徑是 （ ） A. 9 B. 8 C . 22 D. 6 3、下列函數(shù)中的減函數(shù)是 （ ） A.||x y = B . 3 x y -= C. x x x y s

2、in 22 += D. 2 x x e e y -+= 4、函數(shù)22)(x x x f -=的值域是 （ ） A. )1,(-∞ B. ),1(+∞ C. [0,2] D . [0,1] 5、函數(shù)x x y 4cos 34sin 3-=的最小正周期和最小值分別是 （ ） A. π和3- B. π和32- C. 2π和3- D . 2 π 和32- 6.已知ABC ?是鈍角三角形， 30=A ，4=BC ，34=AC ，則=B （ ） A. 135 B . 120 C. 60 D. 30 7.設(shè)直線l ，m ，平面α，β，有下列4個命題： ①若α⊥l ，α⊥m ，則m

3、l // ②若β//l ，β//m ，則m l // ③若α⊥l ，β⊥l ，則βα// ④若α//m ，β//m ，則βα// 其中，真命題是 （ ） A . ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 8.從5名新隊員中選出2人，6名老隊員中選出1人，組成訓(xùn)練小組，則不同的組成方案共有（ ） 165種 B. 120種 C. 75種 D . 60種 9、雙曲線122 22=-b y a x 的一條漸近線的斜率為3，則此雙曲線的離心率為 （ ） A. 3 3 2 B. 3 C . 2 D. 4 10、已知)(x f 是奇函數(shù)，當(dāng)0>x 時，)1ln()(22x x x x

4、f +++=，則當(dāng)0二、填空題:本大題共6 小題，每小題6 分，共36 分．把答案填在題中橫線上。 11、不等式 03 21>+-x x 的解集是 。 12、若橢圓的焦點為)0,3(-，)0,3(，離心率為5 3 ，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 。 13、已知3)tan(=+βα，5)tan(=-βα，則=α2tan 。 14、若向量→ a ，→ b 滿足，1||=→a ，2||=→b ，3 2 -=?→ →b a ，則>=15、4)12(-x 的展開式中3 x 的系數(shù)是 。 16、若10三、解答題:本大題共3小題，共54分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟． 1

5、7、某校組織跳遠(yuǎn)達(dá)標(biāo)測驗，已知甲同學(xué)每次達(dá)標(biāo)的概率是4 3 .他測驗時跳了4次，設(shè)各次是否達(dá)標(biāo)相互獨立. （Ⅰ）求甲恰有3次達(dá)標(biāo)的概率；（Ⅱ）求甲至少有1次不達(dá)標(biāo)的概率。（用分?jǐn)?shù)作答） 18、已知拋物線C ：y x 42 =，直線l ：0=-+m y x 。 （1）證明：C 與l 有兩個交點的充分必要條件是1->m ； （2）設(shè)119、如圖，四棱錐ABCD P -中，底面ABCD 為梯形，CD AB //，且CD AB 2 1 = ， 90=∠ADC . ABCD PA 平面⊥，M 是PD 的中點。 （1）證明：PBC AM 平面//； （2）設(shè)AB AD PA 2==，求

6、PC 與平面ABCD 所成角的正弦值 P A C D M B 絕密★ 啟用前 2021 年全國普通高等學(xué)校運動訓(xùn)練、民族傳統(tǒng)體育專業(yè)單獨統(tǒng)一招生考試 數(shù)學(xué)試題參考答案和評分參考 評分說明： 1．本解答指出了每題要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考．如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評分標(biāo)準(zhǔn)制訂相應(yīng)的評分細(xì)則， 2．對計算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應(yīng)得分效的一半：如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯誤，就不再給分． 3．解答

7、右端所注分?jǐn)?shù)．表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)． 4．只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分． 選擇題：本題考查基本知識和基本運算．每小題6分，滿分60分． ( 1 ) B ( 2 ) C ( 3 ) B （4）D （5）D( 6 ) B ( 7 ) A ( 8 ) D ( 9 ) C （10）A 1、考點：自然數(shù)概念，集合元素個數(shù)求法，集合的表示法－－描述法和列舉法 解：∵集合7 {|0,}={1,2,3}2 A x x x N =B 2、考點：圓半徑求法 解：將圓方程07222=-++y y x 變形為22 +18x y +=（），所以半徑是22，選C. 說明：圓方程2

8、22()()x a y b r -+-=的圓心為（a ，b ），半徑為r 3、考點：函數(shù)的單調(diào)性 解：A. 0 ||0 x x y x x x ≥?==? -B. 3y x =-是減函數(shù)符合題意；所以選B 說明：用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷：∵3 y x =-的定義域是x R ∈，∴設(shè)12,x x 是任意兩個實數(shù)，且12x x y x =-在定義域內(nèi)是減函數(shù)。 4、考點：根式函數(shù)的定義域和值域的求法，一元二次不等式的解法，二次函數(shù)最大值求法。 解：由平方根的定義知2 20x x -≥，即(20x x -≥），解得02x ≤≤，當(dāng)0x =，2x =時，0y =，當(dāng) 02x ≤≤時2(1

9、)1y x =--+的最大值為1， 所以函數(shù)22()2(1)1f x x x x = -=--+的值域是]1,0[ 選D. 5、考點：三角函數(shù)最小正周期和最小值，三角函數(shù)加法公式 解：用輔助角公式： 222222 22 sin cos ( sin cos )sin()a b a x b x a b x x a b x a b a b +=++ =++++?（tan b a = ?） 因為333sin 43cos 423( sin 4cos 4)2323 y x x x x =-=- =1 3 23(sin 4cos 4)22 x x - =23sin(4)3x

10、π-，2242T = ==πππω 所以函數(shù)3sin 43cos4y x x =-的最小正周期是2 π 、最小值是 32- 。故選D 6、考點：正弦定理和鈍角三角形的概念 解：∵已知ABC ?是鈍角三角形， 30=A ，4=BC ，34=AC ， ∴由正弦定理得 0443sin 30sin B =，3 sin 2 B = ， ∴0 120B =（0 60B =不符合題意，當(dāng)0 60B =時ABC ?變?yōu)橹苯侨切?，故舍去）選B 7.設(shè)直線l ，m ，平面α，β，有下列4個命題： ①若α⊥l ，α⊥m ，則m l // ②若β//l ，β//m ，則m l // ③若

11、α⊥l ，β⊥l ，則βα// ④若α//m ，β//m ，則βα// 其中，真命題是 （ ） A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 考點：直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系。 解：①若α⊥l ，α⊥m ，則m l //正確，垂直于同一平面的兩直線平行； ②若β//l ，β//m ，則m l //錯誤，l m 、可能平行、相交、異面，故結(jié)論錯誤， ③若α⊥l ，β⊥l ，則βα//正確，垂直于同一直線的兩平面平行； ④若α//m ，β//m ，則βα// 錯誤，平行于同一直線的兩平面可能平行、相交，故結(jié)論錯誤， 因此①③正確，故選A 8.從5名新隊員中選出2人，6名

12、老隊員中選出1人，組成訓(xùn)練小組，則不同的組成方案共有（ ） A.165種 B. 120種 C. 75種 D. 60種 考點：組合數(shù)，乘法原理 解：因為從5名新隊員中選出2人，6名老隊員中選出1人，組成訓(xùn)練小組，只有同時選出任務(wù)才算完成，故用乘法原理，2 1 5654 6602 C C ?= ?=（種），故選D 9.雙曲線122 22=-b y a x 的一條漸近線的斜率為3，則此雙曲線的離心率為 （ ） A. 3 3 2 B. 3 C. 2 D. 4 考點：雙曲線漸近線方程的斜率，雙曲線的離心率 解：雙曲線122 22=-b y a x 的一條漸近線方程為b

13、y x a =，其斜率為3，即3b a =，雙曲線的離心率為 2221()c a b b e a a a +===+=132+=，選C 10.已知)(x f 是奇函數(shù)，當(dāng)0>x 時，)1ln()(22x x x x f +++=，則當(dāng)0解：∵)(x f 是奇函數(shù)，當(dāng)0>x 時，)1ln()(22x x x x f +++=且當(dāng)0∴()()f x f x =--=22 [()ln(1())]x x x --+-++-=22[ln(1)]x x x -+-++ 222 2 (1)(1) ln( )1x x x x x x x -++++=--++22 1ln( )1x x

14、 x =--++ 221ln(1)x x x -=--++=)1ln(22x x x +++-，選A 二．填空題：本題考查基本知識和基本運算．每小題6分，滿分36分． 11、不等式 0321>+-x x 的解集是1 {|3}2 x x -解：原不等式等價于12030x x ->??+>?或12030 x x -{|3}2x x -12、若橢圓的焦點為)0,3(-，)0,3(，離心率為53，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 22 12516 x y += 。 考點：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的離心率 解：∵橢圓的焦點為)0,3(-，)0,3(，離心率為 5 3 ∴設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為22

15、 221(0)x y a b a b +=>>，由題知3c =，35c e a ==， ∴5a =，222 25916b a c =-=-=， ∴該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為22 12516 x y += 。 13、已知3)tan(=+βα，5)tan(=-βα，則=α2tan 4 7 -。 考點：正切函數(shù)加法公式 解：∵已知3)tan(=+βα，5)tan(=-βα ∴tan 2tan[()()]=++-ααβαβtan()tan()1tan()tan()++-= -+-αβαβαβαβ354135 7+==--? 14、若向量→ a ，→ b 滿足，1||=→a ，2|

16、|=→ b ，32-=?→ →b a ，則>=3 - 。 考點：向量夾角公式 解：∵向量→ a ，→ b 滿足，1||=→a ，2||=→b ，3 2- =?→ →b a ， ∴2 1 3cos ,12 3||||a b a b a b →→ →→→→- ?15、4)12(-x 的展開式中3 x 的系數(shù)是32- 。 考點：二項式展開式及通項公式 解：由通項公式得444144(2) (1)(1)2r r r r r r r r T C x C x ---+=-=- ∴當(dāng)1r =時，滿足題意，故4)12(-x 的展開式中3x 的系數(shù)是141 4(1)232

17、C --=- 16、若10(,)32 。 考點：對數(shù)函數(shù)的性質(zhì) 解：∵10∴()log a f x x =在定義域上是減函數(shù) ∵2 log (21)log (3)0log 1a a a a a +2131a a +>>，解得 1132x （不等式2 2131a a +>>等價于2213(1)31 (2)a a a ?+>?>?解（1）2 2310a a -+>，(21)(1)0a a -->解 得12a 或1a >，解（2）得13a >，所以a 的取值范圍是11 (,)32 ） 三．解答題： 17.考點：n 重貝努力實驗 解：（Ⅰ）甲恰有3次達(dá)標(biāo)的概率為3 3

18、43327 ()(1)4 464C -= ………………………………9分 （Ⅱ）甲至少有1次不達(dá)標(biāo)的概率為43175 1()4256 -= ………………………………18分 18.考點：直線與曲線有交點的判別法，根與系數(shù)的關(guān)系，中點坐標(biāo)的求法，兩點間距離公式，點到直線的距離公式，求直線方程，三角形面積的計算及取值范圍的確定。 解：（Ⅰ）C 與l 的交點（x ，y ）滿足240 x y x y m ?=?+-=? 由第二個方程得y m x =-，代入第一個方程得2 440x x m +-= ①……………………………4分 方程①的判別式△=244(4)161616(1)m m

19、m --=+=+ C 與l 有兩交點?△>01m ?>-，故命題得證?！?分 （Ⅱ）設(shè)C 與l 的交點11(,)A x y 22(,)B x y ，則12,x x 滿足方程① ，所以124x x +=-，124x x m =- 22121212()()416(1)x x x x x x m -=+-=+，221212()[()()]y y x m x m -=-+--+=212()x x - ∴222121212()()2()AB x x y y x x = -+-=-=42(1)m +，………………………………12分 1212()242y y x x m m

20、 +=-++=+ AB 中點1212 ( ,)22 x x y y Q ++，即()2,2Q m -+ 過Q 與AB 垂直的直線方程為40x y m -++=， 它與y 軸的交點(0,4)G m +到直線l 的距離 04222 m m d ++-= =， 所以GAB ?的面積Δ1 812 GAB S d AB m = =+ 因為11m -1 = ， 90=∠ADC . ABCD PA 平面⊥，M 是PD 的中點。 （1）證明：PBC AM 平面//； （2）設(shè)AB AD PA 2==，求PC 與平面ABCD 所成角的正弦值 19.考點：線面平行，線面所成的角

21、解：（Ⅰ）取PC 中點N ，連接BN 、MN 。因為1 //2 MN CD ， P A C M B 由已知AB ∥1 2 CD ，所以AB ∥MN ，故四邊形ABNM 為平行四邊形。 AM ∥BN ，BN ?平面PBC ，AM ?平面PBC ，所以AM ∥PBC ?！?0分 （Ⅱ）設(shè)PA AD a ==，則CD =2AB =a ，連接AC 。則AC 是PC 在平面ABCD 上的射影，PCA ∠為PC 與平面ABCD 所成的角。 ∵22222AC AD CD a a a = +=+= 222223PC PA AC a a a =+=+= 所以 3 sin 33PA a PCA PC a ∠= == ………18分 19題圖 C D A P B M N