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1、數(shù) 乘 向 量 復(fù) 習(xí) 1:向 量 的 加 法BA如 圖 ,已 知 向 量 a和 向 量 b,作 向 量 a+b.ba o. a+bbaA Ba+b1.向 量 加 法 三 角 形 法 則 : 2.向 量 加 法 平 行 四 邊 形 法 則 :特 點(diǎn) :首 尾 相 接 ， 首 尾 連 特 點(diǎn) :共 起 點(diǎn) 復(fù) 習(xí) 2:向 量 的 減 法 o. BA a-b如 圖 ,已 知 向 量 a和 向 量 b,作 向 量 a-b.a ba -bo.BA b特 點(diǎn) ： 共 起 點(diǎn) ， 連 終 點(diǎn) ， 方 向 指 向 被 減 數(shù) 實 際 背 景表 示 ， 試 畫 出 該 向 量 。用 秒 的 位 移 對 應(yīng) 的
2、 向 量那 么 在 同 方 向 上向 量 ， 一 秒 鐘 的 位 移 對 應(yīng)一 物 體 作 勻 速 直 線 運(yùn) 動aa3 3, aa3在 物 理 中 位 移 與 速 度 的 關(guān) 系 ： s=vt， 力 與加 速 度 的 關(guān) 系 ： f=ma. 其 中 位 移 、 速 度 ， 力 、 加 速 度 都 是 向 量 ，而 時 間 、 質(zhì) 量 都 是 數(shù) 量 講授新課思考題1:已知向量 如何作出 和 a, a a a ( a) ( a) ( a)? a O Aa Ba Ca N M Q Pa a aOC OA AB BC a a a 記: a a a 3a 即: OC 3a. 同理可得: PN ( a
3、) ( a) ( a) 3a 思考題2: 向量 與向量 有什么關(guān)系? 向量 與向量 有什么關(guān)系? 3aa a 3a (1)向量 的方向與 的方向相同, 向量 的長度是 的3倍,即3a aa 3a 3a 3 a . (2)向量 的方向與 的方向相反, 向量 的長度是 的3倍,即3a a3a a3a 3 a . 特 別 地 ， 當(dāng) =0 或 a = 0 時 , a = 0(2) 方 向 當(dāng) 0時 , a的 方 向 與 a方 向 相 同 ； 當(dāng) 0時 , a的 方 向 與 a方 向 相 反 ；(1) 長 度 | a|=| |a| 一 般 地 ， 實 數(shù) 與 向 量 a的 積 是 一 個 向 量 ，
4、這 種 運(yùn)算 叫 做 向 量 的 數(shù) 乘 運(yùn) 算 ， 記 作 a。它 的 長 度 和 方 向 規(guī) 定 如 下 ： 結(jié) 論 :2a+2b2b(2) 已 知 向 量 a,b， 求 作 向 量 2(a+b)和 2a+2b， 并 比 較 。ab結(jié) 論 : 2a+2b=2(a+b)a+b 6a3(2a)a2(a+b) 2a 3(2a)=6a(2+4)a=2a+4a(1) 根 據(jù) 定 義 ， 求 作 向 量 3(2a)和 (6a) (a0)， 并 比 較 。 ( a)=( ) a 運(yùn) 算 律 : 設(shè) a、 b為 任 意 向 量 ， 、 為 任 意 實 數(shù) ， 則 有 ： ( + ) a= a+ a (a+
5、b)= a+ b 數(shù) 乘 向 量 的 運(yùn) 算 律 ： aa 結(jié) 合 律 aaa 第 一 分 配 律 baba 第 二 分 配 律 練 習(xí) 3:解 : (1) 原 式 = (2) 原 式 =(3) 原 式 =計 算 ： (口 答 ) (1) (-3) 4 a (2) 3( a+b) 2( a-b)-a (3) (2a+3b-c) (3a-2b+c ) (3-2-1)a+(3+2)b = 5b (2-3)a+(3+2)b+(-1-1)c= -a+5b-2c -12a 向 量 的 加 、 減 、 數(shù) 乘 運(yùn) 算 統(tǒng) 稱 為 向 量 的 線 形 運(yùn) 算 。 對 于 任 意 的 向 量 a,b 以 及
6、任 意 實 數(shù) , ,恒 有 ( 1a 2b)= 1a 2b 思 考 :判 定 定 理 :當(dāng) a與 b同 方 向 時 ， 有 b= a;當(dāng) a與 b反 方 向 時 ， 有 b=- a，所 以 始 終 有 一 個 實 數(shù) ， 使 b= a。1、 如 果 b= a , 那 么 ， 向 量 a與 b是 否 共 線 ？2、 如 果 非 零 向 量 a與 b共 線 ， 那 么 是 否 有 ， 使 b= a ？ 對 于 向 量 a(a 0)、 b， 如 果 有 一 個 實 數(shù) ， 使 得b= a , 那 么 ， 由 數(shù) 乘 向 量 的 定 義 知 ： 向 量 a與 b共 線 。 若 向 量 a與 b共 線
7、 ， a 0， 且 向 量 b的 長 度 是 a的 長度 的 倍 ， 即 有 |b|= |a|,且 2) b 可以是零向量嗎?思考:1) a為什么要是非零向量?向 量 b與 非 零 向 量 a共 線 當(dāng) 且 僅 當(dāng) 有 唯 一 一 個 實數(shù) ， 使 得 b= a.a是 一 個 非 零 向 量 ， 若 存 在 一 個 實 數(shù) ， 使得 b=a ， 則 向 量 b與 非 零 向 量 a共 線 例 題 1: A EDCB解 ： =3 AC =3( AB+ BC ) AB+BC=AC =3 AB+3 BC又 AE=AD+DE AC與 AE 共 線如 圖 ， 已 知 AD=3AB、 DE=3BC， 試
8、判 斷 AC與 AE是 否 共 線 ?變 ： 若 B、 C分 別 是 AD、 AE的 三 等 分 點(diǎn) ， 證 明 ： BC DE。 例 題 2:解 ： 作 圖 如 右 O ABC依 圖 猜 想 :A、 B、 C三 點(diǎn) 共 線 A、 B、 C三 點(diǎn) 共 線 .ab b b已 知 任 意 兩 非 零 向 量 a、 b，試 作 OA=a+b, OB=a+2b, OC=a+3b。你 能 判 斷 A、 B、 C三 點(diǎn) 之 間 的 位 置 關(guān) 系 嗎 ？ 為 什 么 ？ba AB=OB-OA AC=2AB又 AC=OC-OA =a+3b-(a+b)=2b =a+2b-(a+b)=b又 AB與 AC有 公
9、共 點(diǎn) A， A P B Ca 例 3 ABC平 面 內(nèi) 的 三 點(diǎn) ， 切 A與 B不 重 合 ， P是平 面 內(nèi) 任 意 一 點(diǎn) ， 若 點(diǎn) C在 AB上 ， 則 存 在 實數(shù) ， 使 得 PC= PA+(1- )PB 小 結(jié) 回 顧 : 二 、 知 識 應(yīng) 用 ： 1.證 明 向 量 共 線 ； 2.證 明 三 點(diǎn) 共 線 : AB= BC A,B,C三 點(diǎn) 共 線 ； 3.證 明 兩 直 線 平 行 : AB= CD AB CD AB、 CD不 重 合 直 線 AB 直 線 CD一 、 概 念 與 定 理 a 的 定 義 及 運(yùn) 算 律 向 量 共 線 定 理 ( a 0 )b= a 向 量 a與 b共 線
《數(shù)乘向量》參考課件
