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1、3.5 MIMO信道及其容量 3.5.1 MIMO系統(tǒng)模型 3.5.2 MIMO無線信道的容量 3.5.3 用 SVD方法對 MIMO的進一步分析 3.5.1 MIMO Channel Model x1 x2 x3 y1 y2 y3 h11 h21 h31 h12 h22 h32 h13 h23 h33 1 11 1 1 1 2 1 , ( 0 , ) T R R R T T R M ij M M M M M M y h h x n h N y h h x n nI y H x n Model app
2、lies to any channel described by a matrix (e.g. ISI channels) MT TX antennas MR RX antennas 3.5.1 MIMO系統(tǒng)模型 發(fā)送信號 ：第 j根天線發(fā)送 xj為零均值 i.i.d高 斯變量，發(fā)送信號的協(xié)方差矩陣為： 總的發(fā)送功率約束為 若每根天線發(fā)送相等的信號功率 PT/MT， HxxR E x x ()T x xP tr R T T x x M T PRI M 信道矩陣： H為復矩陣， hij表示第 j根發(fā)送天 線至第 i根接收天線的信道衰落系數(shù)。 歸一化約束：每一根天線的接
3、收功率均等 于總的發(fā)送功率 2 1 , 1 , 2 , TM ij T R j h M i M 3.5.1 MIMO系統(tǒng)模型 接收端的 噪聲 ：各分量為獨立的零均值高 斯變量，具有獨立的和相等方差的實部和 虛部。 噪聲協(xié)方差矩陣 若 n的分量間不相關， 每根接收天線具有相等的噪聲功率 2。 每根接收天線輸出端的信號功率為 PT，故 接收功率信噪比為 3.5.1 MIMO系統(tǒng)模型 HnnR E nn 2 Rn n MRI 2 TP 3.5.2 MIMO無線信道的容量 定義 若由 x的實部和虛部構成 2n維實隨機向量
4、 是高斯隨機向量，則稱 x 為 n維 復高斯隨機向量 。 如存在非負定（特征值都小于零）的 Hermitian 矩陣 QCn n，使得 n維復高斯隨機向量 x所對應 的 2n維實隨機向量 的協(xié)方差滿足 則稱 x為 循環(huán)對稱復高斯隨機向量 。 R e ( ) I m ( ) T T Tx x x )()( )()( 2 1) ) (( QRQI QIQR xExxExE em meH x 定理 1 設 x Cn為零均值 n維循環(huán)高斯復隨機向量， 且滿足 ，即 則 x的熵滿足 當且僅當 x為循環(huán)對稱
5、復高斯分布時等式成立。 3.5.2 MIMO無線信道的容量 HE x x Q * , ( 1 , ) i j ijE x x Q i j n ( ) l og de t( )H x e Q 循環(huán)對稱復高斯向量的性質(zhì) ： 若 x Cn為零均值 n維循環(huán)對稱復向量，則 對任意的 A Cn n ， y=Ax也服從循環(huán)對稱 高斯分布，且 若 x,y Cn為 n維循環(huán)對稱復高斯向量，且 相互獨立， ， ， 則 z=x+y也服從循環(huán)對稱復高斯分布，且 3.5.2 MIMO無線信道的容量 HHE y y A Q A HE x x A HE y
6、y B HE z z A B 假設接收信號 x與 n相互獨立 3.5.2 MIMO無線信道的容量 ( ) ( ) HH yy H H H H nn R E y y E H x n H x n E H x x H E n n H Q H R 1 ( ; ) ( ) ( / ) ( ) ( ) lo g det ( ) lo g det( ) lo g det ( ) R H n n n n H M n n I x y H y H y x H y H n e HQ H R e R I HQ
7、 H R ( ) l o g d e t ( )nnH n e R 其中 遍歷容量 (ergodic capacity)：輸入與輸出間 最大互信息的期望 等功率發(fā)送 每根天線的接收噪聲 n為互不相關的零均值 復高斯變量， 3.5.2 MIMO無線信道的容量 ( ) : ( ) m a x ( ; ) T H P x tr Q PC E I x y T T x x M T PR Q I M 2 R H n n MR E n n I 2 l og de t ( ) l og de t ( ) R R HT HM T H HM T P
8、C E I HH M E I HH M 中斷容量 ：指信道瞬時容量值小于某個指 定容量值的概率等于某一給定中斷概率 Poutage時，該給定的信道容量稱為對應于該 中斷概率的中斷容量 Coutage，即 3.5.2 MIMO無線信道的容量 ()ins t outage outageP C C P 根據(jù) 奇異值分解 （ SVD-Singular Value Decomposition）定理，任意矩陣 H可表示為 U和 V分別為 MR MR和 MT MT酉矩陣， D為 MR MT非負對角陣，對角線元素為矩陣特征值 的非負平方根 。 滿足 z為關于特征值 的
9、MR 1特征向量。 U的列是 HHH的 特征向量， V的列是 HHH的特征向量。 3.5.3 用 SVD方法對 MIMO的進一步分析 HH U D V , 0HH H z z z R H MU U I T H MV V I i 3.5.3 用 SVD方法對 MIMO的進一步分析 H H H y U y x V x n U n y Dx n Hy U D V x n 令 則 3.5.3 用 SVD方法對 MIMO的進一步分析 矩陣 HHH的非零特征值數(shù)目 m等于矩陣 H的秩 r。 對于 MR MT矩陣 H，其秩最大為 即 H的非零奇異值最多有 m個。 用
10、 表示 H的奇異值，則 從第 1個到第 r個接收分量，子信道增益為 ， 而從第 r+1接收分量起，子信道的增益為 0，相應 的接收分量不再依賴發(fā)送分量 。 m i n ( , )RTm M M ( 1 , 2 , )i ir (i=1,2, r ) (i=r +1,r +2, ) i i i i i i R y x n y n M i ix 3.5.3 用 SVD方法對 MIMO的進一步分析 等效的 MIMO信道可看成由 r個相分離的并 行子信道組成，每個子信道指配一個 H矩陣 的奇異值（或 HHH的特征值），該奇異值 相當
11、于該子信道的幅度增益，而子信道的 功率增益相當于 HHH的特征值 i。 i i , 1 , ,i i i iy x n i r , 1 , ,i i Ry n i r M 即 y、 x 和 n的協(xié)方差矩陣與變換前 y， x， n的協(xié)方差陣具有相同的跡（對角線元素 之和）或功率。 3.5.3 用 SVD方法對 MIMO的進一步分析 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) H y y y y y y y y H x x x x x x x x H n n n n n n n n R U R U tr R tr R R V R V tr R tr
12、 R R U R U tr R tr R 各子信道是分開的，因而它們的容量相加。 假定在等效 MIMO信道模型中每根天線發(fā)送 的功率為 ，總的信道容量可利用 Shannon公式求出： 式中 F為每個子信道的帶寬， Pi為第 i個子信 道的接收信號功率： 3.5.3 用 SVD方法對 MIMO的進一步分析 T T P M 2 1 l o g ( 1 ) r i i PCF iT i T PP M 22 1 1 l o g ( 1 ) l o g ( 1 ) rr i T i T i iTT PPC F F MM 3.5.3
13、用 SVD方法對 MIMO的進一步分析 m i n ( , )RTm M M 2 2 2 l og de t ( ) l og de t ( ) l og de t ( ) T m T HT m T HT m T P C F I G M P F I HH M P F I H H M 或 TR H TR H MMHH MMHH G , , 若信道系數(shù)是隨機變量，上式表示瞬時容 量。遍歷容量可通過對信道系數(shù)求統(tǒng)計得出。 例 1：自適應發(fā)送功率情況下的 MIMO信道容量 在系統(tǒng)呈 閉環(huán) 情況下，發(fā)送端可知信道 的狀態(tài)信息（ CSI），可根據(jù)注水法則，將
14、發(fā)送功率分配給各發(fā)送天線，即將較大的發(fā) 送功率分配給狀態(tài)較好的信道，則可以增大 容量。 (a)+表示 max(a,0) 3.5.3 用 SVD方法對 MIMO的進一步分析 2 ( ) 1 , 2 ,i i P i r 3.5.3 用 SVD方法對 MIMO的進一步分析 2() y i iP 2 1 l o g ( 1 ) r yi i P CF 2 2 1 1l o g ( 1 ( ) )r i i CF 例 2 正交傳送的 MIMO信道 令發(fā)送天線數(shù)和接收天線數(shù)相等，發(fā)送 機與相應的接收機之間通過正交、并行的子 信道相連接
15、，因而各個子信道之間無干擾。 3.5.3 用 SVD方法對 MIMO的進一步分析 2 1 | | , ( 1 , 2 , ) TM ij T R j h M i M H MHH MI 22 22 l og de t ( ) l og de t ( ( 1 ) ) l og( 1 ) l og( 1 ) TT MM MTT M P P C F I I F di ag M PP F M F 當 MR= MT=M=8 ， SNR=20dB， 歸一化容量 各子信道不相關聯(lián)地給出了 M倍增益。 3.5.3 用 SVD方法對 MIMO的進一步分析 53.
16、264 / se c /C bi t H z F MIMO系統(tǒng)的信道容量主要由 H的奇異值決定，即 HHH的特征值。反映各支路的相關程度。 發(fā)送端未知 CSI，采用功率均分 發(fā)送端已知 CSI：采用 water-filling，增加容量 發(fā)送端未知 CSI時的信道容量小于或等于已知 CSI 時的信道容量，是因為發(fā)送端可利用 CSI對發(fā)送 模塊進行優(yōu)化處理。 3.5 MIMO信道及其容量（總結） 2 2 1 1l og( 1 ( ) )r i i CF 2 1 l o g ( 1 ) r iT i T PCF M 采用空間分集技術的 MIMO系統(tǒng)是對抗無線衰落、 提高傳輸信道容量的一種行之有效的方法。 在相同發(fā)射功率和傳輸帶寬下， MIMO系統(tǒng)較單天 線系統(tǒng)的信道容量大大提高，有時甚至高達幾十倍。 這些增加的信道容量既可用來提高信息傳輸速率， 也可不提高信息速率而通過增加信息冗余度提高通 信系統(tǒng)的性能，或者在兩者之間取得折中。 3.5 MIMO信道及其容量（總結）
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