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1、空間“角”問題,例1如圖，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的 底面ABCD為平行四邊形，其中AB= ，BD=BC=1， =2，E為DC的中點，F(xiàn)是棱DD1上的動點. (1)求異面直線AD1與BE所 成角的正切值； (2)當DF為何值時,EF與BC1 所成的角為90?,題型一 異面直線所成的角的求法,分析:依異面直線所成角的定義或推理尋 找或平行移動作出異面直線所成角對應 平面角.,方法1 （1）連接EC1.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD1BC1， 則EBC1為異面直線 AD1與BE所成的角.,又底面ABCD側(cè)面DCC1D1 BD=BC E為CD的中點 BE側(cè)面DCC1D1
2、BEEC1. 在RtBEC1中，BE= = ， EC1= = ， 所以tanEBC1= =3.,,BECD,,(2)當DF= 時,EF與BC1所成的角為90. 由（1）知，BE側(cè)面DCC1D1 BEEF. 又DE=EC= ，CC1=AA1=2. 當DF= 時， 因為 = = ， = = ，,所以DEFCC1E， 所以DEF+CEC1=90， 所以FEC1=90，即FEEC1. 又EBBC1=E，所以EF平面BEC1，所以EFBC1, 即EF與BC1所成的角等于90.,例2如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2， E為CD的中點，將ADE沿AE折起，
3、使平 面ADE平面ABCE，得到幾何體D-ABCE。 (1)求證：BE平面ADE，并求AB與 平面ADE所成的角的大??； (2)求BD與平面CDE所成角的正弦值.,題型二 直線和平面所成的角,解析：(1)在矩形ABCD中，連接BE， 因為AB=2AD，E為CD的中點， 所以AD=DE，EAB=45， 從而EBA=45，故AEEB. 過D作DOAE于O. 因為平面ADE平面 ABCE， 所以DO平面ABCE，所以DOBE. 又AEDO=O，所以BE平面ADE. 可知AE為AB在平面ADE上的射影， 從而BAE為AB與平面ADE所成的角,大小為45.,題型三 二面角,2找直線和平面所成的角常用
4、方法是過線上一點作面的垂線或找線上一點到面的垂 線，或找(作)垂面，將其轉(zhuǎn)化為平面角，或解直角三角形 二面角的求解方法一般有作垂面法、三垂線定理法、面積射影法、向量法等，特別是對“無”棱(圖中沒有棱)的二面角，應先找出棱求解,1角的計算與度量總要進行轉(zhuǎn)化， 這體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想，主要將空間角轉(zhuǎn)化為平面角,空 間 距 離,點到平面的距離,直線到與它平行平面的距離,兩個平行平面的距離,兩條異面直線的距離,,點到平面的距離,,,A,,B,一點到它在一個平面內(nèi)的正射影的距離叫做這一個點到這個平面的距離。,可見，連結(jié)平面 外一點P與 內(nèi)一點所得的線段中，垂線段PA最短,直線到與它平行平面的距離,,,
5、,一條直線上的任一點到與它平行的平面的距離，叫做這條直線到平面的距離。,如果一條直線 平行于平面 ，,則直線 上的各點到平面的垂線段相等，,即 上各個點到 的距離相等。,在棱長為a的正方體AC1中找出表示下列距離的垂線段: （1）點A到面BCC1B1的距離 ； （2）B1D1到面ABCD的距離 ； （3）點A到面BB1D1D的距離 ,,a,,,,a,,,,例4.如圖,已知正三角形ABC的邊長為6cm，點O到ABC各頂點的距離都是4cm，求點O到這個三角形所在平面的距離。,,,,,,,,,,,A,B,C,O,H,E,設H為點O在平面ABC內(nèi)的射影， 延長AH，交BC于E，連結(jié)BH、
6、CH,即H是ABC的中心，AE是邊BC上的垂直平分線,在RtBHE中，,即點O到平面ABC的距離是2cm,解:,例5已知四面體ABCD，ABACAD6，BC3，CD4，BD5，求點A到平面BCD的距離。,兩個平行平面的距離,,,,,A,B,A,B,和兩個平行平面同時垂直的直線，叫做這兩個平面的公垂線。,公垂線夾在平行平面間的部分，叫做這兩個平面的公垂線段。,直線AA、BB都是它們的公垂線段,兩個平行平面的公垂線段的長度，叫做兩個平行平面的距離。,1.與已知平面的距離等于3cm的所有點的集合是什么圖形？,2.已知兩平面平行，且兩平面距離為4cm，與兩平面距離相等的所有點集合是什么圖形？,,,,,
7、,,,,在已知平 面兩側(cè)且 距離為 3 的兩個平 行平面.,在已知平 面之間且 距離為2, 平行于已 知平面的 一個平面.,例6.,解:,,例7.,解:,,連結(jié)CD,,異面直線的距離,,,在正方體中，棱AA和BC所在直線是異面直線，,直線AB和它們都垂直相交。,和兩條異面直線都垂直相交的直線叫做兩條異面直線的公垂線。,,任意兩條異面直線有幾條公垂線？,思考：,直線AB就是兩異面直 線AA和BC的公垂線,任意兩條異面直線有且只有一條公垂線,證：設a、b是兩條異面直線,在b上任取一點P，過P引a//a，,設b、a確定平面 ，則a//,在a上任取一點Q，過Q引QM ，垂足為M，,設a和QM確定的平
8、面 與平面 相交于直線c，,c與b相交于點B。,在 內(nèi)作BA // MQ，交a于點A，則,,,A,B,可見，直線AB就是異面直線a、b的公垂線,兩條異面直線的公垂線夾在異面直線間的部分，叫做這兩條異面直線的公垂線段。,（即線段AB就是異面直線a、b的公垂線段）,兩條異面直線的公垂線段長是分別連結(jié)兩條異面直線上兩點的線段中最短的一條。,思考：,兩條異面直線的公垂線段的長度，叫做兩條異面直線的距離。,,例8. 在1200二面角的棱長，有兩個點A、B，AC、BD分別是在這個二面角的兩個面內(nèi)垂直于AB的線段，已知AB4cm，AC6cm，BD8cm，求CD的長。,,,,,,,,,,,C,A,B,D,,能力思維方法,1.平面四邊形ABCD中，AB=BC=CD=a，B=90，DCB=135，沿對角線AC將四邊形折成直二面角. 證：(1)AB面BCD； (2)求面ABD與面ACD所成的角.,2.在直角梯形P1DCB中，P1DCB，CDP1D，P1D= 6，BC=3，DC=3，A是P1D的中點. 沿AB把平面P1AB折起到平面PAB的位置，使二面角P-CD-B成45，設E、F分別為AB、PD的中點. (1)求證：AF平面PEC； (2)求二面角P-BC-A的大??；,解折疊題時，一定要分清折前與折后的變與不變的量，有時在折后的立體圖中不好計算的量要回到折前圖中去計算.,
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