1-3 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)

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1、第三章 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng) §3-1剛體運(yùn)動(dòng) 一、剛體 定義：物體內(nèi)任意二點(diǎn)距離不變的物體稱(chēng)為剛體。 說(shuō)明：⑴剛體是理想模型 ⑵剛體模型是為簡(jiǎn)化問(wèn)題引進(jìn)的。 二、剛體運(yùn)動(dòng) 剛體運(yùn)動(dòng)：（1）平動(dòng)：剛體內(nèi)任一直線方位不變。 特點(diǎn)：各點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)一樣，如：、等都相同，故可用一個(gè)點(diǎn)來(lái)代表剛體運(yùn)動(dòng)。 （2）轉(zhuǎn)動(dòng)：1）繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng) 2）繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)：剛體中所有點(diǎn)都繞一直線作圓周運(yùn)動(dòng) 說(shuō)明：剛體的任何運(yùn)動(dòng)都可看作平動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)的合成。（如：乒乓球飛行等） 三、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)（本章僅討論此情況） 定義：

2、轉(zhuǎn)軸固定時(shí)稱(chēng)為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。 轉(zhuǎn)動(dòng)特點(diǎn)：⑴剛體上各點(diǎn)的角位移相同（如：皮帶輪），各點(diǎn)的、相同。 ⑵剛體上各點(diǎn)的、、一般情況下不同。 說(shuō)明：⑴是矢量，方向可由右手螺旋法則 確定。 ⑵ §3-2 力矩 轉(zhuǎn)動(dòng)定律 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 一、力矩 1、外力在垂直于軸的平面內(nèi) 定義： ⑴力矩： （3-1） ⑵力矩 ：大小：（，稱(chēng)為力臂）；方向：沿（）方向，它垂直于、構(gòu)成的平面即與軸平行。 注意：是、間夾角。 2、外力不在垂直于軸的平面內(nèi) ∵ 對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)無(wú)貢獻(xiàn) ∴ 對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)有貢獻(xiàn)的僅是。 產(chǎn)生的力

3、矩即的力矩， 故上面的結(jié)果仍適用。 說(shuō)明：平行軸或經(jīng)過(guò)軸時(shí) 。 二、轉(zhuǎn)動(dòng)定律 時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)改變，即，那么與的關(guān)系如何？這就是轉(zhuǎn)動(dòng)定律的內(nèi)容。 推導(dǎo)： 把剛體看成由許多質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)，這些質(zhì)點(diǎn)在垂直于軸的平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)。 考慮第個(gè)質(zhì)點(diǎn)： 質(zhì)量： 到軸的距離： 受力：外力：；內(nèi)力： （設(shè)、在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)） 在切線方向上由牛頓定律有： （3-2） 即 （3-3） （3-3）×: （3-4） 每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)都有一個(gè)這樣方程，

4、所有質(zhì)點(diǎn)對(duì)應(yīng)方程求和之后，有 （3-5） 可證明。 證明如下： 剛體內(nèi)力是各質(zhì)點(diǎn)間的相互作用力， 他們是一對(duì)一對(duì)的作用力和反作用力。對(duì)、兩質(zhì)點(diǎn)，相互作用力的力矩之和=？設(shè)為第個(gè)質(zhì)點(diǎn)對(duì)第個(gè)質(zhì)點(diǎn)作用力，為第個(gè)質(zhì)點(diǎn)對(duì)第個(gè)質(zhì)點(diǎn)作用力。 ∵與共線 ∴力臂相等 又 ∵與等值反向 ∴與產(chǎn)生力矩等值反向，故與力矩合=0 由此可知：剛體的所有內(nèi)力矩之和兩兩抵消，結(jié)果為0。 令 （3-6） 即：剛體角加速度與合外力矩成正比，與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量成反比，這稱(chēng)為轉(zhuǎn)動(dòng)定律。 說(shuō)明：⑴,與方向相同 ⑵為瞬

5、時(shí)關(guān)系 ⑶轉(zhuǎn)動(dòng)中與平動(dòng)中地位相同，是產(chǎn)生的原因，是產(chǎn)生的原因。 *比較 ⑷為合外力矩=各個(gè)外力力矩的矢量和。 三、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 1、： 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量=剛體中每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與它到轉(zhuǎn)軸距離平方乘積的和。 2、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的意義：轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的量度。 例3-1：在不計(jì)質(zhì)量的細(xì)桿組成的正三角形的頂角上，各固定一個(gè)質(zhì)量為的小球，三角形邊長(zhǎng)為。求： ⑴系統(tǒng)對(duì)過(guò)質(zhì)心且與三角形平面垂直軸C的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量； ⑵系統(tǒng)對(duì)過(guò)A點(diǎn)，且平行于軸C的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量； ⑶若A處質(zhì)點(diǎn)也固定在B處，⑵的結(jié)果如何？ 解：⑴ ⑵ ⑶ 討論：⑴與質(zhì)量有關(guān)（見(jiàn)⑴、⑵、⑶結(jié)果） ⑵與軸的位置有關(guān)（比較⑴、⑵結(jié)

6、果） ⑶與剛體質(zhì)量分布有關(guān)（比較⑵、⑶結(jié)果） ⑷平行軸定理：對(duì)平行于質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量=對(duì)質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量+剛體質(zhì)量×該軸與質(zhì)心軸之距離平方。如 §3-3 轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能 力矩的功 轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理 一、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能 剛體繞過(guò)O處軸（垂直圖面）轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度為，在轉(zhuǎn)動(dòng)中剛體各個(gè)質(zhì)點(diǎn)都具有動(dòng)能，剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能=各個(gè)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能之和。 設(shè)各質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為，，，…，與軸距離為，，，…，轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為： （3-6） *比較： 二、力矩的功 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)作用在剛體P點(diǎn)力（可以是內(nèi)力，或外力，也可以是合力或單個(gè)力），在作用下剛體有一角位移，力的作用點(diǎn)的位移為，則在該位移中作的功

7、為： （3-7） 即 ：力矩元功=力矩×角位移（力矩與角位移點(diǎn)積） 在力矩作用下，從過(guò)程中，力矩的功為 （3-8） 說(shuō)明：⑴常力矩功 ⑵力矩功是力矩的空間積累效應(yīng) ⑶內(nèi)力矩功之和=0（與質(zhì)點(diǎn)情況不同） ⑷力矩的功功率： 比較： 三、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理 即 做如下積分 可得

8、 （3-9） 即：合外力矩功等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能增量，稱(chēng)此為剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理。 §3-4 角動(dòng)量 角動(dòng)量定理 角動(dòng)量守恒定律 一、 角動(dòng)量（動(dòng)量矩） 1、角動(dòng)量 定義：，稱(chēng)為剛體角動(dòng)量（或動(dòng)量矩） 說(shuō)明：⑴ ⑵ 2、沖量矩 轉(zhuǎn)動(dòng)定律 （3-10） （3-11） 做如下積分： 定義：為在內(nèi)對(duì)剛體的沖量矩

9、 （3-12） 說(shuō)明：（1）沖量矩是矢量 （2）沖量矩是力矩的時(shí)間積累效應(yīng) * 比較： 二、角動(dòng)量定理 由上知 （3-13） 即：合外力矩對(duì)剛體的沖量矩等于剛體角動(dòng)量增量。稱(chēng)此為角動(dòng)量（或動(dòng)量矩）定理。 三、角動(dòng)量守恒定律 已知 當(dāng)時(shí)， 有 （3-14）

10、 即：當(dāng)合外力矩時(shí)，則此情況下剛體角動(dòng)量守恒，稱(chēng)此為角動(dòng)量守恒定律。 說(shuō)明：⑴角動(dòng)量守恒條件是某一過(guò)程中。 ⑵ ⑶角動(dòng)量守恒定律、動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律是自然界中的普遍規(guī)律，不僅適用于宏觀物體的機(jī)械運(yùn)動(dòng)，而且也適用于原子、原子核和基本粒子（如電子，中子，原子，光子，…）等微觀粒子的運(yùn)動(dòng)。 例3-2：長(zhǎng)為，質(zhì)量為的勻質(zhì)細(xì)桿，可繞上端的光滑水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，起初桿豎直靜止。一質(zhì)量為的小球在桿的轉(zhuǎn)動(dòng)面內(nèi)以速度垂直射向桿的A點(diǎn)，求下列情況下桿開(kāi)始運(yùn)動(dòng)的角速度及最大擺角。⑴子彈留在桿內(nèi)⑵子彈以射出。 解：⑴子彈留在桿內(nèi)分兩個(gè)過(guò)程： 1） 彈射入桿過(guò)程。、、為系統(tǒng)，角動(dòng)量守恒，即

11、 ① （強(qiáng)調(diào)：此過(guò)程動(dòng)量不守恒及原因） 2） 上擺過(guò)程。、、地為系統(tǒng)，系統(tǒng)機(jī)械能守恒，有 ② 初態(tài) 末態(tài) ①、②： ⑵子彈射出 a)子彈與桿作用過(guò)程。以桿、子彈為系統(tǒng)，其角動(dòng)量守恒 ① 射前 射后 b)桿上擺過(guò)程。以桿、地球?yàn)橄到y(tǒng)，其機(jī)械能守恒。 ② 初態(tài) 末態(tài) ①、②解得： *：若已知，求，方法完全一樣，只不過(guò)為未知數(shù)。 注意角動(dòng)量守恒，而不是動(dòng)量守恒。 7