專練04 空間幾何體的表面積與體積-新教材2019-2020學(xué)年下學(xué)期高一數(shù)學(xué)期末考點(diǎn)必殺題(人教A版必修第二冊(cè))（解析版）

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1、 專練04 空間幾何體的表面積與體積 一、基礎(chǔ)強(qiáng)化 1. 一個(gè)棱柱是正四棱柱的條件是(　　) A．底面是正方形,有兩個(gè)側(cè)面是矩形 B．底面是正方形,有兩個(gè)側(cè)面垂直于底面 C．底面是菱形,并有一個(gè)頂點(diǎn)處的三條棱兩兩垂直 D．每個(gè)側(cè)面都是全等矩形的四棱柱 【參考答案】D　 【解析】A．當(dāng)?shù)酌媸钦叫?有兩個(gè)側(cè)面是矩形且相對(duì),另一對(duì)不是矩形時(shí),不是正四棱柱；B．當(dāng)?shù)酌媸钦叫?有兩個(gè)側(cè)面垂直于底面且相對(duì),另一對(duì)不垂直于底面時(shí),不是正四棱柱；C．當(dāng)?shù)酌媸橇庑螘r(shí),不是正四棱柱；故選D． 2.一個(gè)正方體內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球,作正方體的對(duì)角面,所得截面圖形是下圖中的(　　) 【

2、參考答案】B　 【解析】由組合體的結(jié)構(gòu)特征知,球只與正方體的上、下底面相切,而與兩側(cè)棱相離. 故選B. 3.(2019·山東泰安階段測(cè)試)用斜二測(cè)畫法作出一個(gè)三角形的直觀圖,則原三角形面積是直觀圖面積的(　　) A．倍 B．2倍 C．2倍 D．倍 【參考答案】C　 【解析】設(shè)原三角形的底邊長(zhǎng)為a,高為h,則直觀圖中底邊長(zhǎng)仍為a,高為·sin 45°＝,所以原三角形面積與直觀圖面積的比值為＝＝2,即原三角形面積是直觀圖面積的2倍．故選C. 4. 已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1,O2,過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正

3、方形,則該圓柱的表面積為 (　　) A.12π B.12π C.8π D.10π 【參考答案】B　 【解析】因?yàn)閳A柱的軸截面是正方形,且面積為8,所以圓柱的高為2,底面直徑為2,所以圓柱的表面積S=2π××2+2×π×()2=12π.故選B. 5. 如圖,將裝有水的長(zhǎng)方體水槽固定底面一邊后傾斜一個(gè)小角度,則傾斜后水槽中的水形成的幾何體是(　　) A．棱柱 B．棱臺(tái) C．棱柱與棱錐的組合體 D．不能確定 【參考答案】A　 【解析】根據(jù)題圖,因?yàn)橛兴牟糠质冀K有兩

4、個(gè)平面平行,而其余各面都易證是平行四邊形,因此是棱柱．故選A. 6. 把球的表面積擴(kuò)大到原來的2倍,那么體積擴(kuò)大到原來的(　　) A．2倍　 B．2倍　 C．倍　 D．倍 【參考答案】B　 【解析】由題意知球的半徑擴(kuò)大到原來的倍,則體積V＝πR3,知體積擴(kuò)大到原來的2倍．故選B. 7. 在△ABC中,AB＝2,BC＝1.5,∠ABC＝120°(如圖所示),若將△ABC繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周,則形成的旋轉(zhuǎn)體的體積是(　　) A． B． C． D． 【參考答案】D 【解析】依題意可知,旋轉(zhuǎn)體是一個(gè)大

5、圓錐去掉一個(gè)小圓錐,如圖所示, OA＝AB·cos 30°＝2×＝,所以旋轉(zhuǎn)體的體積為π·()2·(OC－OB)＝.故選D. 8.(2019·山東東營(yíng)階段模擬)表面積為24的正方體的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上,則該球的表面積是(　　) A．12π B．8π C． D．4π 【參考答案】A　 【解析】 設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a,因?yàn)楸砻娣e為24,即6a2＝24,得a ＝ 2,正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)度為＝2, 所以正方體的外接球半徑為r＝＝, 所以球的表面積為S＝4πr2＝12π.故選A. 9. 一個(gè)球與一個(gè)正三棱柱的三個(gè)側(cè)面和兩個(gè)底面都相切,已知這個(gè)球的

6、體積為,那么這個(gè)正三棱柱的體積是(　　) A.12 B.2 C.6 D.48 【參考答案】C　 【解析】由πR3=π,得球的半徑R=1,∴正三棱柱的高等于球的直徑,即h=2R=2. 設(shè)三棱柱的底面邊長(zhǎng)為a,則×a=1,∴a=2,∴該正三棱柱的體積V=×(2)2×2=6,故選C. 10. 已知一個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為2,側(cè)面展開圖是半圓,則該圓錐的體積為　　　　. 【參考答案】π 【解析】一個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為2,它的側(cè)面展開圖為半圓,則半圓的弧長(zhǎng)為2π,即圓錐的底面周長(zhǎng)為2π.設(shè)圓錐的底面半徑是r,則2πr=2π,解得r=1,所以圓錐的高h(yuǎn)

7、==,所以圓錐的體積V=πr2h=π. 11. 如圖,在圓柱O1O2內(nèi)有一個(gè)球O,該球與圓柱的上、下底面及母線均相切,記圓柱O1O2的體積為V1,球O的體積為V2,則的值是________. 【參考答案】　 【解析】設(shè)球O的半徑為R, ∵球O與圓柱O1O2的上、下底面及母線均相切, ∴圓柱O1O2的高為2R,底面半徑為R.∴＝＝. 12.已知圓錐的頂點(diǎn)為S,母線SA,SB互相垂直,SA與圓錐底面所成角為30°.若△SAB的面積為8,則該圓錐的體積為________. 【參考答案】8π　 【解析】在Rt△SAB中,SA＝SB,S△SAB＝·SA2＝8,解得SA＝4. 設(shè)圓錐

8、的底面圓心為O,底面半徑為r,高為h, 在Rt△SAO中,∠SAO＝30°,所以r＝2,h＝2, 所以圓錐的體積為πr2·h＝π×(2)2×2＝8π. 二．能力提升 1. 給出下列命題: ①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn),則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線; ②有一個(gè)面是多邊形,其余各面都是三角形的幾何體是棱錐; ③直角三角形繞其任意一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐; ④棱臺(tái)的上、下底面可以不相似,但側(cè)棱長(zhǎng)一定相等; ⑤有兩個(gè)平面互相平行,其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱. 其中正確命題的個(gè)數(shù)是　　　　.? 【參考答案】0 【解析】①錯(cuò)誤,只有這兩點(diǎn)的連線平行

9、于旋轉(zhuǎn)軸時(shí)才是母線;②錯(cuò)誤,因?yàn)椤捌溆喔髅娑际侨切巍辈⒉坏葍r(jià)于“其余各面都是有一個(gè)大眾頂點(diǎn)的三角形”;③錯(cuò)誤,當(dāng)以斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸時(shí),其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體不是圓錐;④錯(cuò)誤,棱臺(tái)的上、下底面是相似且對(duì)應(yīng)邊平行的多邊形,各側(cè)棱延長(zhǎng)線交于一點(diǎn),但是側(cè)棱長(zhǎng)不一定相等;⑤錯(cuò)誤,滿足有兩個(gè)平面互相平行,其余各面都是平行四邊形,但這個(gè)多面體不是棱柱. 2.下面是關(guān)于四棱柱的四個(gè)命題： ①若有一個(gè)側(cè)面垂直于底面,則該四棱柱為直四棱柱； ②若過兩個(gè)相對(duì)側(cè)棱的截面都垂直于底面,則該四棱柱為直四棱柱； ③若四個(gè)側(cè)面兩兩全等,則該四棱柱為直四棱柱； ④若四棱柱的四條對(duì)角線兩兩相等,則該四

10、棱柱為直四棱柱． 其中,真命題的編號(hào)是________. 【參考答案】②④　 【解析】①顯然錯(cuò)；②正確,因兩個(gè)過相對(duì)側(cè)棱的截面都垂直于底面可得到側(cè)棱垂直于底面；③錯(cuò),可以是斜四棱柱；④正確,對(duì)角線兩兩相等,則此兩對(duì)角線所在的平行四邊形為矩形．故填②④. 3. (2019·山東濟(jì)寧階段檢測(cè))一個(gè)棱柱的底面是正六邊形,側(cè)面都是正方形,用至少過該棱柱三個(gè)頂點(diǎn)(不在同一側(cè)面或同一底面內(nèi))的平面去截這個(gè)棱柱,所得截面的形狀不可能是(　　) A．等腰三角形 B．等腰梯形 C．五邊形 D．正六邊形 【參考答案】D　 【解析】如圖1,由圖可知,截面ABC為等腰三角形,選項(xiàng)A可能．截面ABEF為

11、等腰梯形,選項(xiàng)B可能．如圖2,截面AMDEN為五邊形,選項(xiàng)C可能． 圖1　　　　　　圖2 因?yàn)閭?cè)面是正方形,只有平行于底面的截面才可能是正六邊形,故過兩底的頂點(diǎn)不可能得到正六邊形．選項(xiàng)D不可能． 4.已知圓柱的高為1,它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上,則該圓柱的體積為(　　) A．π B． C． D． 【參考答案】B　 【解析】設(shè)圓柱的底面半徑為r,球的半徑為R,且R＝1,由圓柱兩個(gè)底面的圓周在同一個(gè)球的球面上可知,r,R及圓柱的高的一半組成直角三角形． ∴r＝＝.∴圓柱的體積為V＝πr2h＝π×1＝. 5.(2

12、019·廣東茂名階段檢測(cè))如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD為菱形,∠ABC＝60°,PA＝AB＝2,過BD作平面BDE與直線PA平行,交PC于點(diǎn)E. (1)求證：E為PC的中點(diǎn)； (2)求三棱錐E-PAB的體積． 【解析】(1)證明　如圖,連接AC,設(shè)AC∩BD＝O,連接OE,則O為AC的中點(diǎn),且平面PAC∩平面BDE＝OE, ∵PA∥平面BDE,∴PA∥OE,∴E為PC的中點(diǎn)． (2)解　由(1)知,E為PC的中點(diǎn),∴V三棱錐P -ABC＝2V三棱錐E -ABC. 由底面ABCD為菱形,∠ABC＝60°,AB＝2,得S△ABC＝×22＝, ∴V三棱錐P -ABC＝S△ABC·PA＝××2＝. 又V三棱錐P -ABC＝V三棱錐E-ABC＋V三棱錐E -PAB, ∴V三棱錐E -PAB＝V三棱錐P -ABC＝. 科教興國(guó) 5