精修版高中數(shù)學(xué)人教A版選修41學(xué)案：第二講 一 圓周角定理 Word版含解析

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1、精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理 一圓周角定理 [對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P18] 1．圓周角定理 文字語言 圓上一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半 圖形語言 符號(hào)語言 在⊙O中，所對(duì)的圓周角和圓心角分別是∠BAC，∠BOC，則有∠BAC＝∠BOC 作用 確定圓中兩個(gè)角的大小關(guān)系 2．圓心角定理 文字語言 圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù) 圖形語言 符號(hào)語言 A，B是⊙O上兩點(diǎn)，則弧的度數(shù)等于∠AOB的度數(shù) 作用 確定圓弧或圓心角的度數(shù) 3．圓周角定理的推論 (1)推論1：同弧或等弧所

2、對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧也相等． (2)推論2：半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是直角；90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑． [說明]　(1)圓心角的度數(shù)和它所對(duì)的弧的度數(shù)相等，但并不是“圓心角等于它所對(duì)的弧”； (2)“相等的圓周角所對(duì)的弧也相等”的前提條件是“在同圓或等圓中”． [對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P18] 與圓周角定理相關(guān)的證明 [例1]　如圖，已知：△ABC內(nèi)接于⊙O，D、E在BC邊上，且BD＝CE，∠1＝∠2，求證：AB＝AC. [思路點(diǎn)撥]　證明此題可先添加輔助線構(gòu)造等弦、等弧的條件，再由圓周角定理及其推論證明． [證明]　如圖，延長AD、AE分

3、別交⊙O于F、G，連接BF、CG， ∵∠1＝∠2， ∴＝， ∴BF＝CG，＝， ∴∠FBD＝∠GCE. 又∵BD＝CE， ∴△BFD≌△CGE，∴∠F＝∠G， ∴＝，∴AB＝AC. (1)有關(guān)圓的題目中，圓周角與它所對(duì)的弧經(jīng)常相互轉(zhuǎn)化，即欲證圓周角相等，可轉(zhuǎn)化為證明它們所對(duì)的弧相等；要證線段相等可以轉(zhuǎn)化為證明它們所對(duì)的弧相等，這是證明圓中線段相等的常見策略． (2)若已知條件中出現(xiàn)直徑，則常用到“直徑所對(duì)的圓周角為直角”這一性質(zhì)解決問題． 1.如圖，OA是⊙O的半徑，以O(shè)A為直徑的⊙C與⊙O的弦AB相交于點(diǎn)D. 求證：D是AB的中點(diǎn)． 證明：連接OD、B

4、E. 因?yàn)椤螦DO＝∠ABE＝90°， 所以O(shè)D和BE平行． 又因?yàn)镺是AE的中點(diǎn)， 所以D是AB的中點(diǎn)． 2．已知AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圓的直徑． 求證：∠BAE＝∠DAC. 證明：連接BE， 因?yàn)锳E為直徑， 所以∠ABE＝90°. 因?yàn)锳D是△ABC的高， 所以∠ADC＝90°. 所以∠ADC＝∠ABE. 因?yàn)椤螮＝∠C， 所以∠BAE＝90°－∠E， ∠DAC＝90°－∠C. 所以∠BAE＝∠DAC. 3．已知⊙O中，AB＝AC，D是BC延長線上一點(diǎn)，AD交⊙O于E. 求證：AB2＝AD·AE. 證明：如圖， ∵AB＝AC，∴＝

5、. ∴∠ABD＝∠AEB. 在△ABE與△ADB中， ∠BAE＝∠DAB， ∠AEB＝∠ABD， ∴△ABE∽△ADB. ∴＝，即AB2＝AD·AE. 利用圓周角進(jìn)行計(jì)算 [例2]　如圖，已知BC為半⊙O的直徑，AD⊥BC，垂足為D，BF交AD于E，且AE＝BE. (1)求證：＝； (2)如果sin ∠FBC＝，AB＝4，求AD的長． [思路點(diǎn)撥]　BC為半⊙O的直徑，連接AC，構(gòu)造Rt△ABC. [解]　(1)證明：如圖， 連接AC. ∵BC是半⊙O的直徑， ∴∠BAC＝90°， 又AD⊥BC，垂足為D， ∴∠1＝∠3. 在△AEB中，AE＝BE，

6、 ∴∠1＝∠2. ∴∠2＝∠3，即A＝A. (2)設(shè)DE＝3x， ∵AD⊥BC，sin∠FBC＝， ∴BE＝5x，BD＝4x. ∵AE＝BE， ∴AE＝5x，AD＝8x. 在Rt△ADB中，∠ADB＝90°，AB＝4， ∴(8x)2＋(4x)2＝(4)2， 解得x＝1， ∴AD＝8. 與圓周角定理有關(guān)的線段的計(jì)算、角的計(jì)算，不僅可以通過計(jì)算弧、圓心角、圓周角的度數(shù)來求相關(guān)的角、線段，有時(shí)還可以通過三角形相似、解三角形等來計(jì)算． 4．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，OD⊥BC于D，∠A＝50°，則∠OCD的度數(shù)是(　　) A．40°　　　　　　　　　　　 B

7、．25° C．50° D．60° 解析：連接OB.因?yàn)椤螦＝50°，所以弦BC所對(duì)的圓心角∠BOC＝100°，∠COD＝∠BOC＝50°，∠OCD＝90°－∠COD＝40°. 答案：A 5.如圖，△ABC的角平分線AD的延長線交它的外接圓于點(diǎn)E. (1)證明：△ABE∽△ADC； (2)若△ABC的面積S＝AD·AE， 求∠BAC的大?。? 解：(1)證明：由已知條件可得∠BAE＝∠CAD. 因?yàn)椤螦EB與∠ACB是同弧上的圓周角， 所以∠AEB＝∠ACD. 故△ABE∽△ADC. (2)因?yàn)椤鰽BE∽△ADC， 所以＝，即AB·AC＝AD·AE. 又S＝AB·A

8、C·sin ∠BAC，且S＝AD·AE， 所以AB·AC·sin ∠BAC＝AD·AE. 則sin ∠BAC＝1. 又∠BAC為三角形內(nèi)角， 所以∠BAC＝90°. [對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P20] 一、選擇題 1．如圖，在⊙O中，∠BOC＝50°，則∠A的大小為(　　) A．25°　　　　　　　　 B．50° C．75° D．100° 解析：由圓周角定理得∠A＝∠BOC＝25°. 答案：A 2.如圖所示，若圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線相交于E，則圖中相似三角形有(　　) A．1對(duì) B．2對(duì) C．3對(duì) D．4對(duì) 解析：由推論1知： ∠ADB＝∠ACB，∠ABD＝∠

9、ACD， ∠BAC＝∠BDC，∠CAD＝∠CBD， ∴△AEB∽△DEC，△AED∽△BEC. 答案：B 3．Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝2，則此三角形外接圓半徑為(　　) A. B．2 C．2 D．4 解析：由推論2知AB為Rt△ABC的外接圓的直徑，又AB＝＝4，故外接圓半徑r＝AB＝2. 答案：B 4.如圖，已知AB是半圓O的直徑，弦AD，BC相交于P，若CD＝3，AB＝4，則tan ∠BPD等于(　　) A. B. C. D. 解析：連接BD，則∠BDP＝90°. ∵△CPD∽△APB，∴＝＝. 在Rt△BPD中，cos

10、 ∠BPD＝＝， ∴tan ∠BPD＝. 答案：D 二、填空題 5．在⊙O中，已知∠ACB＝∠CDB＝60°，AC＝3，則△ABC的周長是________． 解析：由圓周角定理， 得∠A＝∠D＝∠ACB＝60°. ∴AB＝BC. ∴△ABC為等邊三角形． ∴周長等于9. 答案：9 6．如圖，AB為半圓O的直徑，OC⊥AB，OD平分∠BOC，交半圓于點(diǎn)D，AD交OC于點(diǎn)E，則∠AEO的度數(shù)是________． 解析：因?yàn)镺D平分∠BOC， 且∠BOC＝90°， 所以∠BOD＝∠BOC＝45°， 所以∠OAD＝∠BOD＝22.5°. 在Rt△AEO中，∠AOE＝

11、90°， 則∠AEO＝90°－∠OAE＝67.5°. 答案：67.5° 7．如圖所示，已知⊙O為△ABC的外接圓，AB＝AC＝6，弦AE交BC于D，若AD＝4，則AE＝________. 解析：連接CE，則∠AEC＝∠ABC， 又△ABC中，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴∠AEC＝∠ACB， ∴△ADC∽△ACE， ∴＝， ∴AE＝＝9. 答案：9 三、解答題 8.(2012·江蘇高考)如圖，AB是圓O的直徑，D，E為圓O上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn)，連結(jié)BD并延長至點(diǎn)C，使BD＝DC，連結(jié)AC，AE，DE. 求證：∠E＝∠C. 解：連結(jié)OD，因?yàn)锽D＝DC，O

12、為AB的中點(diǎn)， 所以O(shè)D∥AC，于是∠ODB＝∠C. 因?yàn)镺B＝OD，所以∠ODB＝∠B.于是∠B＝∠C. 因?yàn)辄c(diǎn)A，E，B，D都在圓O上，且D，E為圓O上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn)，所以∠E和∠B為同弧所對(duì)的圓周角，故∠E＝∠B.所以∠E＝∠C. 9．如圖，已知△ABC內(nèi)接于圓，D為中點(diǎn)，連接AD交BC于E. 求證：(1)＝； (2)AB·AC＝AE2＋EB·EC. 證明：(1)連接CD. ∵∠1＝∠3，∠4＝∠5， ∴△ABE∽△CDE.∴＝. (2)連接BD. ∵＝， ∴AE·DE＝BE·EC. ∴AE2＋BE·EC＝AE2＋AE·DE ＝AE(AE＋DE)＝AE·A

13、D.① 在△ABD與△AEC中，∵D為的中點(diǎn)， ∴∠1＝∠2. 又∵∠ACE＝∠ACB＝∠ADB， ∴△ABD∽△AEC.∴＝， 即AB·AC＝AD·AE② 由①②知：AB·AC＝AE2＋EB·EC. 10．如圖，已知A，B，C，D，E均在⊙O上，且AC為⊙O的直徑． (1)求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的值； (2)若⊙O的半徑為，AD與EC交于點(diǎn)M，且E，D為弧AC的三等分點(diǎn)，求MD的長． 解：(1)連接OB，OD，OE，則∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E ＝(∠COD＋∠DOE＋∠EOA＋∠AOB＋∠BOC) ＝×360°＝180°. (2)連接OM和CD，因?yàn)锳C為⊙O的直徑， 所以∠ADC＝90°，又E，D為的三等分點(diǎn)， 所以∠A＝∠ECA＝∠EOA＝××180°＝30°， 所以O(shè)M⊥AC.因?yàn)椤袿的半徑為，即OA＝， 所以AM＝＝＝1. 在Rt△ADC中，AD＝AC·cos∠A＝2××＝. 則MD＝AD－AM＝. 最新精品資料