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1、考點24 等比數(shù)列及其前n項和
一、選擇題
1.（2012·新課標(biāo)全國高考理科·T5）已知為等比數(shù)列，，，則（ ）
A. 7 B. 5 C. -5 D. -7
【解題指南】利用等比數(shù)列的性質(zhì)將替換為，然后聯(lián)立方程組求得的值，最后將及公比的值整體代入求出其值.
【解析】選D 。為等比數(shù)列，，聯(lián)立可解得或，或，故.
2.（2012·安徽高考理科·Ｔ4）公比為2的等比數(shù)列的各項都是正數(shù)，且，則（ ）
【解題指南】由等比數(shù)列的性質(zhì)得到
2、，再結(jié)合等比數(shù)列中任意兩項的關(guān)系即可解得.
【解析】選..
3.（2012·安徽高考文科·Ｔ5）公比為2的等比數(shù)列{} 的各項都是正數(shù)，且 =16，則=（ ）
（A） 1 （B）2 （C） 4 （D）8
【解題指南】由等比數(shù)列的性質(zhì)得到，再結(jié)合等比數(shù)列中任意兩項的關(guān)系即可解得.
【解析】選..
4.（2012·北京高考文科·Ｔ6）已知{}為等比數(shù)列，下面結(jié)論中正確的是（ ）
（A）a1+a3≥2a2 （B）
（C）若a1=a3，則a1=a2 （D）若a3＞a1，則a4＞a2
3、
【解題指南】利用等比數(shù)列的基本量，均值不等式進(jìn)行計算.
【解析】選B.
選項
具體分析
結(jié)論
A
不一定都是正數(shù)，所以不能使用均值不等式
不正確
B
因為，所以由均值不等式可得
正確
C
由可得。當(dāng)時，；當(dāng)時，。
不正確
D
因為，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，。
不正確
5.（2012·湖北高考理科·Ｔ7）與（2012·湖北高考理科·Ｔ7）相同
定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函數(shù)f（x），如果對于任意給定的等比數(shù)列{an}，{f（an）}仍是等比數(shù)列，則稱f（x）為“保等比數(shù)列函數(shù)”?，F(xiàn)有定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的如下函數(shù)：
①f（x）=x2；②f
4、（x）=2x；③；④f（x）=ln|x |。
則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的f（x）的序號為（ ）
A.①② B.③④ C.①③ D.②④
【解題指南】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì),解答本題的關(guān)鍵是利用等比數(shù)列的定義解答.
【解析】選C. ,則對于A: ,可知A符合題意;對于B結(jié)果不能保證是定值;對于C,可知也符合題意.此時可知結(jié)果.
二、填空題
6.（2012·廣東高考文科·Ｔ12）若等比數(shù)列{an}滿足則 .
【解題指南】本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)：已知若則.
【解析】，.
【答案】.
7. （2012·浙江高考理科·
5、Ｔ13）設(shè)公比為q（q＞0）的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn。若S2=3a2+2，S4=3a4+2，則q=______________.
【解題指南】兩式作差可由前n項和間的關(guān)系得出項與項之間的關(guān)系，從而用等比數(shù)列的通項公式求出公比.
【解析】由S2=3a2+2，S4=3a4+2相減可得
，同除以可得
，解得
因為q＞0，所以．
【答案】.
8.（2012·遼寧高考文科·Ｔ14）已知等比數(shù)列｛｝為遞增數(shù)列.若,且 ,則數(shù)列｛｝的公比q = _____________________.
【解題指南】利用等比數(shù)列的通項公式，將已知條件用首項和公比表示，解方程即可.
【解析】由
6、于為等比數(shù)列，設(shè)其公比，
由得，解得或；由于等比數(shù)列為遞增數(shù)列且，所以.
【答案】2.
9.（2012·遼寧高考理科·Ｔ14）已知等比數(shù)列｛｝為遞增數(shù)列，且，則數(shù)列｛｝的通項公式=______________.
【解題指南】利用等比數(shù)列的通項公式，將已知條件用首項和公比表示，解方程即可
【解析】由于為等比數(shù)列，設(shè)其公比，
由得，解得或。
又由，則
由于等比數(shù)列為遞增數(shù)列且，所以，且
故.
【答案】.
10.（2012·新課標(biāo)全國高考文科·Ｔ14）等比數(shù)列{}的前n項和為，若+3=0，則公比q=_______
【解題指南】 將所給等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程，消去，解關(guān)于的方程，
7、求出q.
【解析】由可得，即
化簡整理得，解得.
【答案】-2.
11.（2012·江西高考文科·Ｔ13）等比數(shù)列{}的前n項和為，公比不為1.若=1，且對任意的都有an＋2＋an＋1-2an=0，則S5=______________.
【解題指南】通過求導(dǎo)得切線斜率，一點一斜率可確定切線方程，最后將方程化為一般式.
【解析】設(shè)公比為，則an＋2＋an＋1-2an＝，即，解得（舍去），所以.
【答案】11.
二、解答題
12.（2012·陜西高考文科·Ｔ16）已知等比數(shù)列的公比為.
（Ⅰ）若，求數(shù)列的前n項和；
（Ⅱ）證明：對任意，，，成等差數(shù)列.
【解題指南】（1）求
8、出等比數(shù)列的首項是關(guān)鍵；（2）用首項和公比表示，再根據(jù)等差數(shù)列的定義證明.
【解析】（Ⅰ）∵， ∴，解得，
所以數(shù)列的前n項和.
（Ⅱ）證明：對任意，，
∴（方法一），
∵，∴，即，
∴，
所以對任意，，，成等差數(shù)列.
（方法二），，
∵，∴，
，∴，
所以對任意，，，成等差數(shù)列.
13.（2012·陜西高考理科·Ｔ17）（本小題滿分12分）
設(shè)的公比不為1的等比數(shù)列，其前項和為，且成等差數(shù)列.
（Ⅰ）求數(shù)列的公比；
（Ⅱ）證明：對任意，成等差數(shù)列.
【解題指南】（1）由已知等比數(shù)列中的三項成等差數(shù)列，可以列出關(guān)于和的方程，消去，再解方程可得；（2）列出后，根據(jù)等差數(shù)列的定義進(jìn)行判斷即可.
【解析】（Ⅰ）設(shè)數(shù)列的公比為（），
由成等差數(shù)列，得，即，
由得，解得，（舍去），
所以.
（Ⅱ）（證法一） 對任意，
，
所以對任意，成等差數(shù)列
（證法二）對任意，，
，
∴
，
因此，對任意，成等差數(shù)列.
2012年高考數(shù)學(xué) 考點24 等比數(shù)列及其前n項和
