2012年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)9 函數(shù)與方程、函數(shù)模型及其應(yīng)用

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1、考點(diǎn)9 函數(shù)與方程、函數(shù)模型及其應(yīng)用 一、選擇題 1.（2012·湖北高考理科·Ｔ9）函數(shù)f（x）=xcosx2在區(qū)間[0,4]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 A.4 B.5 C.6 D.7 【解題指南】本題考查函數(shù)零點(diǎn)的定義,轉(zhuǎn)化成求方程根的個(gè)數(shù)問題。 本題考查基本不等式的應(yīng)用,解答本題的關(guān)鍵把條件的左邊通分利用基本不等式證明. 【解析】選C.由函數(shù)f（x）=xcosx2=0在區(qū)間[0,4]上的解有 ，共6個(gè)零點(diǎn)。 2.（2012·湖北高考文科·Ｔ3）函數(shù)f(x)=xcos2x在區(qū)間[0,2π]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ） A.2

2、 B.3 C.4 D.5 【解題指南】解答本題可先求導(dǎo)數(shù)，轉(zhuǎn)化成求方程根的個(gè)數(shù)問題，最后再利用方程與函數(shù)的思想求解. 【解析】選D. f(x)=xcos2x是由y＇=x與y″=cos2x,相乘構(gòu)成的函數(shù),當(dāng)x=0時(shí),y＇=0,此時(shí)f(x)=0,y″=1當(dāng)0

3、的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程解的個(gè)數(shù)問題，再轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)。 【解析】選B.函數(shù)f（x）＝的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，是方程的解的個(gè)數(shù)，是方程的解的個(gè)數(shù)，也就是函數(shù)與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)。在同一坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，可得交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1個(gè)。 4.（2012·天津高考理科·Ｔ4）函數(shù)在區(qū)間（0,1）內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是 （ ） (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 【解題指南】先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再確定零點(diǎn)。 【解析】選B。因?yàn)椋?，所以函數(shù)在（0,1）上遞增，且所以有1個(gè)零點(diǎn)。 二、填空題 5.（2012·福建高考理科·Ｔ15）對(duì)于實(shí)數(shù)和，定義運(yùn)算“﹡”：，設(shè)，且關(guān)于

4、的方程為，恰有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是_______． 【解題指南】根據(jù)新定義，得到一個(gè)分段的二次函數(shù)式，通過圖角找出三個(gè)實(shí)根的具體位置，同時(shí)結(jié)合運(yùn)用根與二次方程系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解 【解析】當(dāng)x≤0時(shí),(2x-1)≤x-1, 則f(x)=(2x-1)*(x-1)=(2x-1)2-(2x-1)(x-1)=2x2-x, 當(dāng)x>0時(shí),2x-1>x-1, 則f(x)=(2x-1)*(x-1)=(x-1)2-(2x-1)(x-1)=-x2+x. 畫圖, 可知當(dāng)m∈時(shí),f(x)=m(m∈R)恰有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根x1,x2,x3(x1

5、程-x2+x-m=0的根, x1是方程2x2-x-m=0的一個(gè)根, 則，， 所以 顯然，該式隨m的增大而減小，因此， 當(dāng)m=0時(shí)，；當(dāng)時(shí)， ． 【答案】. 三、解答題 6.（2012·上海高考理科·T21）海事救援船對(duì)一艘失事船進(jìn)行定位：以失事船的當(dāng)前位置為原點(diǎn)，以正北方向?yàn)檩S正方向建立平面直角坐標(biāo)系（以1海里為單位長(zhǎng)度），則救援船恰好在失事船正南方向12海里處，如圖．現(xiàn)假設(shè)：①失事船的移動(dòng)路徑可視為拋物線；②定位后救援船即刻沿 直線勻速前往救援；③救援船出發(fā)小時(shí)后，失事船所在位置的橫坐標(biāo)為． （1）當(dāng)時(shí)，寫出失事船所在位置的縱坐標(biāo)．若此時(shí)兩船恰好會(huì)合，求救援船速度的大小和

6、方向； （2）問救援船的時(shí)速至少是多少海里才能追上失事船？ 【解題指南】本題考察圓錐曲線中的拋物線知識(shí)，以及不等式中的均值不等式知識(shí)，更考察考生的識(shí)圖能力。 【解析】（1）時(shí)，P的橫坐標(biāo)xP=，代入拋物線方程中，得P的縱坐標(biāo)yP=3.由|AP|=，得救援船速度的大小為海里/時(shí).由tan∠OAP=，得∠OAP=arctan，故救援船速度的方向?yàn)楸逼珫|arctan弧度. （2）設(shè)救援船的時(shí)速為海里，經(jīng)過小時(shí)追上失事船，此時(shí)位置為.由，整理得.因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)=1時(shí)等號(hào)成立，所以，即.因此，救援船的時(shí)速至少是25海里

7、才能追上失事船. 7.（2012·湖南高考理科·Ｔ20）某企業(yè)接到生產(chǎn)3000臺(tái)某產(chǎn)品的A，B，Ｃ三種部件的訂單，每臺(tái)產(chǎn)品需要這三種部件的數(shù)量分別為２,２,１（單位：件）。已知每個(gè)工人每天可生產(chǎn)Ａ部件６件，或Ｂ部件３件，或Ｃ部件２件。該企業(yè)計(jì)劃安排２００名工人分成三組分別生產(chǎn)這三種部件，生產(chǎn)Ｂ部件的人數(shù)與生產(chǎn)Ａ部件的人數(shù)成正比，比例系數(shù)為Ｋ（Ｋ為正整數(shù)）。 （Ⅰ）設(shè)生產(chǎn)Ａ部件的人數(shù)為ｘ，分別寫出完成Ａ，Ｂ，Ｃ三種部件生產(chǎn)需要的時(shí)間； （Ⅱ）假設(shè)這三種部件的生產(chǎn)同時(shí)開工，試確定正整數(shù)Ｋ的值，使完成訂單任務(wù)的時(shí)間最短，并給出時(shí)間最短時(shí)具體的人數(shù)分組方案。 【解題指南】本題為函數(shù)的應(yīng)用題，考

8、查分段函數(shù)、函數(shù)單調(diào)性、最值等，考查運(yùn)算能力及用數(shù)學(xué)知識(shí)分析解決實(shí)際應(yīng)用問題的能力.第一問建立函數(shù)模型；第二問利用單調(diào)性與最值來解決，體現(xiàn)分類討論思想. 【解析】（Ⅰ）設(shè)完成A,B,C三種部件的生產(chǎn)任務(wù)需要的時(shí)間（單位：天）分別為由題設(shè)有 其中均為1到200之間的正整數(shù). （Ⅱ）完成訂單任務(wù)的時(shí)間為其定義域?yàn)? 易知，為減函數(shù)，為增函數(shù).注意到 于是 （1）當(dāng)k=2時(shí)， 此時(shí) ， 由函數(shù)的單調(diào)性知，當(dāng)時(shí)取得最小值，解得 .由于. 故當(dāng)時(shí)完成訂單任務(wù)的時(shí)間最短，且最短時(shí)間為. （2）當(dāng)k>2時(shí)，由于為正整數(shù)，故，此時(shí) ，記易知為增函數(shù)，則. 由函數(shù)的單調(diào)性知，當(dāng)時(shí)取得最小值，解得.由于 此時(shí)完成訂單任務(wù)的最短時(shí)間大于. （3）當(dāng)k<2時(shí)，由于為正整數(shù)，故，此時(shí)由函數(shù)的單調(diào)性知，當(dāng)時(shí)取得最小值，解得.類似（1）的討論.此時(shí)完成訂單任務(wù)的最短時(shí)間為，大于.綜上所述，當(dāng)k=2時(shí)完成訂單任務(wù)的時(shí)間最短，此時(shí)生產(chǎn)Ａ，Ｂ，Ｃ三種部件的人數(shù)分別為44,88,68.