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1、第70課 圓錐曲線綜合問題
1．（2012廣州調(diào)研）設橢圓的右焦點為，直線：與軸交于點，若（其中為坐標原點）．
（1）求橢圓的方程；
（2）設是橢圓上的任意一點，為圓：的任意一條直徑（、為直徑的兩個端點），求的最大值．
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【解析】（1）由題設知，，，
∵，∴
∴，解得．
∴橢圓的方程為．
（2）設圓：的圓心為，
則
．
從而求的最大值轉(zhuǎn)化為求的最大值．
∵是橢圓上的任意一點，設，
∴，即．
∵點，
2、
∴．
∵，
∴當時，取得最大值．
∴的最大值為．
2．（2012東城二模）已知橢圓的左焦點，長軸長與短軸長的比是．
（1）求橢圓的方程；
（2）過作兩直線，交橢圓于，，，四點，若，求證：為定值．
【解析】（1）由已知得，解得 ．
故所求橢圓方程為．
證明：（2）由（1）知，
當直線斜率不存在時，此時，．
當直線斜率存在時，設直線的方程為 ：．
由 ，得 ．
由于，設，則有
，，
．
同理．
∴．
綜上，為定值．
3、
3．（2012汕頭一模）如圖，已知橢圓（）的上頂點為，右焦點為，直線與圓：相切．
（1）求橢圓的方程；
（2）若不過點的動直線與橢圓相交于、兩點，且，
求證：直線過定點，并求出該定點的坐標．
【解析】（1）∵圓：
∴圓，
∴圓的圓心為，半徑為．
∴，，，
∴直線的方程為，
即，
∵直線與圓相切，
∴，∴，
∴橢圓的方程為．
（2）由，知，
∴直線與坐標軸不垂直，由，
可設直線的方程為，
則直線的方程為，
由，整理得：，
解得或，
∴的坐標為，
即．
將上式中的換成，得．
∴直線的方程為，
化簡得直線的方程為，
因此直線
4、過定點．
4．（2012廣東高考）在平面直角坐標系中，已知橢圓：的離心率，且橢圓上的點到的距離的最大值為．
（1）求橢圓的方程；
（2）在橢圓上，是否存在點使得直線：與圓：相交于不同的兩點，且的面積最大？若存在，求出點的坐標及相對應的的面積；若不存在，請說明理由．
【解答】（1）∵，∴，∴，
設是橢圓上任意一點，則，
∴，
∴
，
當時，當時，有最大值，
∴，∴，
當時，，不合題意，
∴橢圓的方程為．
（2）在中，，
∴，
當且僅當時，有最大值，
∵當時，點到直線的距離為，
∴，即，①
∵點在橢圓上
5、，∴，②
由①②解得，，此時點．
5．（2012韶關質(zhì)檢）已知橢圓的一個焦點與拋物線的焦點重合，且截拋物線的準線所得弦長為，傾斜角為的直線過點．
（1）求該橢圓的方程；
（2）設橢圓的另一個焦點為，問拋物線上是否存在一點，使得與關于直線對稱，若存在，求出點的坐標，若不存在，說明理由．
【解析】（1）拋物線的焦點為，
準線方程為，
∵ 橢圓的一個焦點與拋物線的焦點重合，
∴，．∴ ①
∵橢圓截拋物線的準線所得弦長為，
∴拋物線的準線與橢圓的交點為，∴ ， ②
由①、②解得或（舍去
6、），從而．
∴橢圓的方程為．
（2）∵ 傾斜角為的直線過點，
∴ 直線的方程為，
由（1）知橢圓的另一個焦點為，
設與關于直線對稱，
則得 ， 解得，即．
又滿足，故點在拋物線上．
∴拋物線上存在一點，使得與關于直線對稱．
6．（2012廣州二模）已知對稱中心為坐標原點的橢圓與拋物線：有一個相同的焦點，直線：與拋物線只有一個公共點．
(1)求直線的方程；
(2)若橢圓經(jīng)過直線上的點，當橢圓的長軸長取得最小值時，求橢圓的方程及點的坐標．
【解析】(1)由，得．
∵直線與拋物線只有一個公共點，
∴，解得．
∴直線的方程為．
(2)∵拋物線的焦點為，
∴橢圓的兩個焦點為．
設點關于直線的對稱點為，
則
解得 ∴點．
∴直線與直線：的交點為．
由橢圓的定義及平面幾何知識得：橢圓的長軸長
，
其中當點與點重合時，上面不等式取等號．
∴當時，橢圓的長軸長取得最小值，其值為4．
此時橢圓的方程為，
點的坐標為．
（廣東專用）2014高考數(shù)學第一輪復習用書 第70課 圓錐曲線綜合問題 文
