2023屆大一輪復(fù)習(xí) 第53講 雙曲線（Word版含解析）

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1、2023屆大一輪復(fù)習(xí) 第53講 雙曲線 一、選擇題（共11小題） 1. 已知雙曲線 C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0 的一條漸近線方程為 y=52x，且與橢圓 x212+y23=1 有公共焦點(diǎn)，則 C 的方程為 ?? A. x28?y210=1 B. x24?y25=1 C. x25?y24=1 D. x24?y23=1 2. 設(shè)雙曲線 C 的方程為 x2a2?y2b2=1a>0,b>0，過(guò)拋物線 y2=4x 的焦點(diǎn)和點(diǎn) 0,b 的直線為 l．若 C 的一條漸近線與 l 平行，另一條漸近線與 l 垂直，則雙曲線 C 的方程為 ?? A. x24?y24=1

2、 B. x2?y24=1 C. x24?y2=1 D. x2?y2=1 3. 設(shè) O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線 x=a 與雙曲線 C：x2a2?y2b2=1a>0,b>0 的兩條漸近線分別交于 D，E 兩點(diǎn)，若 △ODE 的面積為 8，則 C 的焦距的最小值為 ?? A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 4. 雙曲線 x23?y22=1 的焦距為 ?? A. 5 B. 5 C. 25 D. 1 5. 以橢圓 x24+y23=1 的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線方程為 ?? A. x2?y23=1 B. x23?y2=1 C. x2?y22=1 D. x2

3、4?y23=1 6. 設(shè) F1，F(xiàn)2 是雙曲線 C：x2a2?y2b2=1a>0,b>0 的左、右焦點(diǎn)，O 是坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò) F2 作 C 的一條漸近線的垂線，垂足為 P．若 PF1=6OP，則 C 的離心率為 ?? A. 5 B. 2 C. 3 D. 2 7. 設(shè) F1，F(xiàn)2 是雙曲線 x2?y224=1 的兩個(gè)焦點(diǎn)，P 是雙曲線上的一點(diǎn)，且 3∣PF1∣=4∣PF2∣，則 △PF1F2 的面積等于 ?? A. 42 B. 83 C. 24 D. 48 8. 已知雙曲線 C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0 的一個(gè)焦點(diǎn)為 F，點(diǎn) A，B 是 C 的一條

4、漸近線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，以 AB 為直徑的圓過(guò) F 且交 C 的左支于 M，N 兩點(diǎn)，若 ∣MN∣=2，△ABF 的面積為 8，則 C 的漸近線方程為 ?? A. y=±3x B. y=±33x C. y=±2x D. y=±12x 9. 設(shè)雙曲線 C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0 的左、右焦點(diǎn)分別為 F1，F(xiàn)2，離心率為 5．P 是 C 上一點(diǎn)，且 F1P⊥F2P．若 △PF1F2 的面積為 4，則 a= ?? A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 10. 已知雙曲線 x2a2?y2b2=1a>0,b>0 的離心率為 2，過(guò)右焦點(diǎn)且垂直于 x 軸的

5、直線與雙曲線交于 A，B 兩點(diǎn)．設(shè) A，B 到雙曲線同一條漸近線的距離分別為 d1 和 d2，且 d1+d2=6，則雙曲線的方程為 ?? A. x24?y212=1 B. x212?y24=1 C. x23?y29=1 D. x29?y23=1 11. 設(shè) F 為雙曲線 C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0 的右焦點(diǎn)，O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，以 OF 為直徑的圓與圓 x2+y2=a2 交于 P，Q 兩點(diǎn)．若 PQ=OF，則 C 的離心率為 ?? A. 2 B. 3 C. 2 D. 5 二、選擇題（共1小題） 12. 已知雙曲線 C 過(guò)點(diǎn) 3,2 且漸近線為 y=±

6、33x，則下列結(jié)論正確的是 ?? A. C 的方程為 x23?y2=1 B. C 的離心率為 3 C. 曲線 y=ex?2?1 經(jīng)過(guò) C 的一個(gè)焦點(diǎn) D. 直線 x?2y?1=0 與 C 有兩個(gè)公共點(diǎn) 三、填空題（共11小題） 13. 在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，若雙曲線 x2a2?y2b2=1a>0,b>0 的右焦點(diǎn) Fc,0 到一條漸近線的距離為 32c，則其離心率的值為 ?． 14. 已知雙曲線 x2a2?y2b2=1a>0,b>0 的左焦點(diǎn)為 F，離心率為 2．若經(jīng)過(guò) F 和 P0,4 兩點(diǎn)的直線平行于雙曲線的一條

7、漸近線，則雙曲線的方程為 ?． 15. 過(guò)雙曲線 x2a2?y2b2=1a>0,b>0 的兩焦點(diǎn)且與 x 軸垂直的直線與雙曲線的四個(gè)交點(diǎn)組成一個(gè)正方形，則該雙曲線的離心率為 ?． 16. （1）焦點(diǎn)在 x 軸上，焦距為 10，且與雙曲線 y24?x2=1 有相同漸近線的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是 ?． （2）過(guò)雙曲線 C:x2a2?y2b2=1a>b>0 的右頂點(diǎn)作 x 軸的垂線，與 C 的一條漸近線相交于點(diǎn) A．若以 C 的右焦點(diǎn) F 為圓心、半徑為 4 的圓經(jīng)過(guò) A，O 兩點(diǎn)（O 為坐標(biāo)原點(diǎn)

8、），則雙曲線 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ?． 17. 已知雙曲線 C：x2a2?y2b2=1a>0,b>0 的焦點(diǎn)為 F1，F(xiàn)2，且雙曲線 C 上的點(diǎn) P 滿足 PF1?PF2=0，PF1=3，PF2=4，則雙曲線 C 的離心率為 ?． 18. 已知 F1，F(xiàn)2 是雙曲線 x2a2?y2b2=1a>0,b>0 的兩個(gè)焦點(diǎn)，以線段 F1F2 為邊作正三角形 MF1F2，若邊 MF1 的中點(diǎn) P 在雙曲線上，則雙曲線的離心率是 ?． 19. （1）設(shè)雙曲線 x2a2?y2b2=1a>0,b>0

9、 的左、右焦點(diǎn)分別為 F1，F(xiàn)2，離心率為 e，過(guò) F2 的直線與雙曲線的右支交于 A，B 兩點(diǎn)，若 △F1AB 是以 B 為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則 e2= ?． （2）已知點(diǎn) P 為雙曲線 x216?y29=1 右支上一點(diǎn)，點(diǎn) F1，F(xiàn)2 分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，M 為 △PF1F2 的內(nèi)心（角平分線交于一點(diǎn)），若 S△PMF1=S△PMF2+8，則 △MF1F2 的面積為 ?． 20. 設(shè)雙曲線 x24?y22=1 的左、 右焦點(diǎn)分別為 F1，F(xiàn)2，過(guò) F1 的直線 l 交雙曲線左支于 A，B 兩點(diǎn)，則

10、∣BF2∣+∣AF2∣ 的最小值為 ?． 21. 已知 F 是雙曲線 C:x2?y28=1 的右焦點(diǎn)，P 是 C 左支上一點(diǎn)，A0,66，當(dāng) △APF 周長(zhǎng)最小時(shí)，該三角形的面積為 ?． 22. （1）已知雙曲線 x2a2?y2b2=1a>0,b>0 的左焦點(diǎn)為 F，離心率為 2．若經(jīng)過(guò) F 和 P0,4 兩點(diǎn)的直線平行于雙曲線的一條漸近線，則雙曲線的方程為 ?． （2）與雙曲線 x29?y216=1 有共同的漸近線，且經(jīng)過(guò)點(diǎn) ?3,23 的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

11、 ?． 23. 已知雙曲線 x2a2?y2b2=1a>0,b>0 的左、右焦點(diǎn)分別為 F1，F(xiàn)2，點(diǎn) P 在雙曲線的右支上，且 PF1=4PF2，則雙曲線的離心率 e 的最大值為 ?． 四、解答題（共3小題） 24. 根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程． （1）虛軸長(zhǎng)為 12，離心率為 54； （2）焦距為 26，且經(jīng)過(guò)點(diǎn) M0,12； （3）經(jīng)過(guò)兩點(diǎn) P?3,27 和 Q?62,?7． 25. 一條斜率為 1 的直線 l 與離心率為 3 的雙曲線 x2a2?y2b2=1a>0,b>0 交于 P，Q 兩點(diǎn)，直線 l 與 y 軸

12、交于點(diǎn) R，且 OP?OQ=?3，PR=3RQ，求直線和雙曲線的方程． 26. 若雙曲線 E:x2a2?y2=1a>0 的離心率等于 2，直線 y=kx?1 與雙曲線 E 的右支交于 A，B 兩點(diǎn)． （1）求 k 的取值范圍； （2）若 ∣AB∣=63，點(diǎn) C 是雙曲線上一點(diǎn)，且 OC=mOA+OB，求 k，m 的值． 答案 1. B 【解析】根據(jù)雙曲線的一條漸近線方程為 y=52x，可知 ba=52,???① 根據(jù)橢圓 x212+y23=1 可知其焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ±3,0， 則雙曲線 C 的焦點(diǎn)為 ±3,0， 所以 a2+b2=9,???② 根據(jù) ①②，

13、解得 a2=4，b2=5， 所以雙曲線 C 的方程為 x24?y25=1． 2. D 【解析】由題可知，拋物線的焦點(diǎn)為 1,0， 所以直線 l 的方程為 x+yb=1，即直線的斜率為 ?b， 又雙曲線的漸近線的方程為 y=±bax， 所以 ?b=?ba，?b×ba=?1， 因?yàn)?a>0，b>0，解得 a=1，b=1． 故選：D． 3. B 【解析】因?yàn)?C：x2a2?y2b2=1a>0,b>0， 所以雙曲線的漸近線方程是 y=±bax， 因?yàn)橹本€ x=a 與雙曲線 C：x2a2?y2b2=1a>0,b>0 的兩條漸近線分別交于 D，E 兩點(diǎn)， 不妨設(shè) D 為在第一

14、象限，E 在第四象限， 聯(lián)立 x=a,y=bax, 解得 x=a,y=b, 故 Da,b， 聯(lián)立 x=a,y=?bax, 解得 x=a,y=?b, 故 Ea,?b， 所以 ∣ED∣=2b， 所以 △ODE 的面積為：S△ODE=12a×2b=ab=8， 因?yàn)殡p曲線 C：x2a2?y2b2=1a>0,b>0， 所以其焦距為 2c=2a2+b2≥22ab=216=8， 當(dāng)且僅當(dāng) a=b=22 取等號(hào)， 所以 C 的焦距的最小值：8． 故選：B． 4. C 【解析】由題意得 c2=3+2=5，所以 c=5，所以雙曲線的焦距為 25． 5. A 【解析】設(shè)雙曲線的

15、方程為 x2a2?y2b2=1a>0,b>0． 由題意得雙曲線的頂點(diǎn)為 ±1,0，焦點(diǎn)為 ±2,0， 所以 a=1，c=2， 所以 b2=c2?a2=3， 所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x2?y23=1． 6. C 【解析】由題易知 PF2=b，OP=a．過(guò) P 向 x 軸作垂線，垂足為 E，可知 PE=abc，F(xiàn)2E=b2c，所以 PF12=abc2+2c?b2c2=6OP2=6a2，從而可得 e=3． 7. C 【解析】雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為 2，焦距為 ∣F1F2∣=10．根據(jù)題意和雙曲線的定義知 2=∣PF1∣?∣PF2∣=43∣PF2∣?∣PF2∣=13∣PF2∣，所以 ∣P

16、F2∣=6，∣PF1∣=8，所以 ∣PF1∣2+∣PF2∣2=∣F1F2∣2，所以 PF1⊥PF2．所以 S△PF1F2=12∣PF1∣?∣PF2∣=12×6×8=24． 8. B 【解析】設(shè)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)為 F?， 由雙曲線的對(duì)稱性，可得四邊形 AFBF? 是矩形， 所以 S△ABF=S△ABF?，即 bc=8， 由 x2+y2=c2,x2a2?y2b2=1 可得 y=±b2c， 則 ∣MN∣=2b2c=2，即 b2=c， 所以 b=2，c=4， 所以 a=c2?b2=23， 所以 C 的漸近線方程為 y=±33x． 故選B． 9. A 【解析】因?yàn)?ca=5

17、，所以 c=5a，根據(jù)雙曲線的定義可得 PF1?PF2=2a， S△PF1F2=12PF1?PF2=4，即 PF1?PF2=8， 因?yàn)?F1P⊥F2P，所以 PF12+PF22=2c2， 所以 PF1?PF22+2PF1?PF2=4c2， 即 a2?5a2+4=0，解得 a=1． 10. C 11. A 【解析】設(shè) PQ 與 x 軸交于點(diǎn) A，由對(duì)稱性可知 PQ⊥x 軸， 又因?yàn)?PQ=OF=c，所以 PA=c2， 所以 PA 為以 OF 為直徑的圓的半徑，所以 A 為圓心 OA=c2． 所以 Pc2,c2，又 P 點(diǎn)在圓 x2+y2=a2 上， 所以 c24+c24

18、=a2，即 c22=a2， 所以 e2=c2a2=2，所以 e=2． 12. A， C 【解析】設(shè)雙曲線 C 的方程為 x2a2?y2b2=1，根據(jù)條件可知 ba=33， 所以方程可化為 x23b2?y2b2=1，將點(diǎn) 3,2 代入得 b2=1， 所以 a2=3，所以雙曲線 C 的方程為 x23?y2=1，故A對(duì)； 離心率 e=ca=a2+b2a2=3+13=233，故B錯(cuò)； 雙曲線 C 的焦點(diǎn)為 2,0，?2,0，將 x=2 代入得 y=e0?1=0，所以C對(duì)； 聯(lián)立 x23?y2=1,x?2y?1=0, 整理得 y2?22y+2=0， 則 Δ=8?8=0，故

19、只有一個(gè)公共點(diǎn)，故D錯(cuò)． 13. 2 14. x28?y28=1 【解析】由離心率為 2，可知 a=b，c=2a，所以 F?2a,0， 由題意知 kPF=4?00??2a=42a=1， 所以 2a=4，解得 a=22， 所以雙曲線的方程為 x28?y28=1． 15. 5+12 【解析】將 x=±c 代入雙曲線的方程得 y2=b4a2?y=±b2a，則 2c=2b2a，即有 ac=b2=c2?a2， 由 e=ca，可得 e2?e?1=0， 解得 e=5+12 或 e=1?52（舍）． 16. x25?y220=1，x24?y212=1 【解析】（1）設(shè)所

20、求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 y24?x2=?λλ>0，即 x2λ?y24λ=1，則有 4λ+λ=25，解得 λ=5，所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x25?y220=1． （2）因?yàn)闈u近線 y=bax 與直線 x=a 交于點(diǎn) Aa,b，c=4 且 4?a2+b2=4，解得 a2=4，b2=12，因此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x24?y212=1． 17. 5 【解析】由雙曲線的定義可得 2a=PF2?PF1=1，所以 a=12． 因?yàn)?PF1?PF2=0，所以 PF1⊥PF2， 所以 2c2=PF12+PF22=25，解得 c=52， 所以雙曲線 C 的離心率為 e=ca=5． 18. 3+

21、1 【解析】因?yàn)?MF1 的中點(diǎn) P 在雙曲線上，所以 PF2?PF1=2a． 因?yàn)?△MF1F2 為正三角形，邊長(zhǎng)都是 2c，所以 3c?c=2a， 所以 e=ca=23?1=3+1． 19. 5?22，10 【解析】（1）如圖所示． 因?yàn)?AF1?AF2=2a，BF1?BF2=2a，BF1=AF2+BF2， 所以 AF2=2a，AF1=4a．所以 BF1=22a，所以 BF2=22a?2a． 因?yàn)?F1F22=BF12+BF22，所以 2c2=22a2+22a?2a2， 所以 e2=5?22． （2）設(shè)內(nèi)切圓的半徑為 R，a=4，b=3，c=5， 因?yàn)?S△PMF1

22、=S△PMF2+8，所以 12PF1?R=12PF2?R+8， 所以 12PF1?PF2R=8，即 aR=8，所以 R=2， 所以 S△MF1F2=12?2c?R=10． 20. 10 【解析】由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x24?y22=1，得 a=2，由雙曲線的定義可得 ∣AF2∣?∣AF1∣=4，∣BF2∣?∣BF1∣=4， 所以 ∣AF2∣?∣AF1∣+∣BF2∣?∣BF1∣=8． 因?yàn)?∣AF1∣+∣BF1∣=∣AB∣，當(dāng) ∣AB∣ 是雙曲線的通徑時(shí)，∣AB∣ 最小， 所以 ∣AF2∣+∣BF2∣min=∣AB∣min+8=2b2a+8=10． 21. 126 【解析】

23、設(shè)左焦點(diǎn)為 F1，PF?PF1=2a=2，所以 PF=2+PF1，△APF 的周長(zhǎng)為 AF+AP+PF=AF+AP+2+PF1，△APF 周長(zhǎng)最小即為 AP+PF1 最小，當(dāng) A，P，F(xiàn)1 在一條直線時(shí)最小，過(guò) AF1 的直線方程為 x?3+y66=1，與 x2?y28=1 聯(lián)立，解得 P 點(diǎn)坐標(biāo)為 ?2,26，此時(shí) S=S△AF1F?S△F1PF=126． 22. x28?y28=1，x294?y24=1 【解析】（1）由題意得 a=b，4?00??c=1， 所以 c=4，所以 a=b=22， 所以所求雙曲線的方程為 x28?y28=1． （2）（方法 1） 由題意可知所求雙曲

24、線的焦點(diǎn)在 x 軸上， 設(shè)雙曲線的方程為 x2a2?y2b2=1， 由題意，得 ba=43,?32a2?232b2=1, 解得 a2=94，b2=4． 所以雙曲線的方程為 4x29?y24=1． （方法 2） 設(shè)所求雙曲線方程 x29?y216=λλ≠0， 將點(diǎn) ?3,23 代入得 λ=14， 所以雙曲線方程為 4x29?y24=1． 23. 53 【解析】設(shè) ∠F1PF2=θ， 由 PF1?PF2=2a,PF1=4PF2, 得 PF1=83a,PF2=23a. 由余弦定理得 cosθ=17a2?9c28a2=178?98e2． 因?yàn)?θ∈0,π， 所以

25、cosθ∈?1,1，即 ?1≤178?98e2<1． 又 e>1， 所以 10,b>0． 由題意知 2b=12，e=ca=54， 所以 b=6，c=10，a=8． 所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x264?y236=1 或 y264?x236=1． ??????（2） 因?yàn)殡p曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn) M0,12，所以 M0,12 為雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)， 故焦點(diǎn)在 y 軸上，且 a=12．又 2c=26，所以 c=13， 所以 b2=c2?a2=25．

26、 所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 y2144?x225=1． ??????（3） 設(shè)雙曲線方程為 mx2?ny2=1mn>0，所以 9m?28n=1,72m?49n=1, 解得 m=?175,n=?125, 所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 y225?x275=1． 25. 因?yàn)?e=3，所以 b2=2a2，所以雙曲線方程可化為 2x2?y2=2a2． 設(shè)直線 l 的方程為 y=x+m， 由 y=x+m,2x2?y2=2a2 得 x2?2mx?m2?2a2=0， 所以 Δ=4m2+4m2+2a2>0，所以直線 l 一定與雙曲線相交． 設(shè) Px1,y1，Qx2,y2，則 x1+x2=2m，

27、x1x2=?m2?2a2． 因?yàn)?PR=3RQ，xR=x1+3x24=0， 所以 x1=?3x2，所以 x2=?m，?3x22=?m2?2a2， 消去 x2，得 m2=a2．又 OP?OQ=x1x2+y1y2=x1x2+x1+m?x2+m=2x1x2+mx1+x2+m2=m2?4a2=?3, 所以 m=±1，a2=1，b2=2． 直線 l 的方程為 y=x±1，雙曲線的方程為 x2?y22=1． 26. （1） 由 ca=2,a2=c2?1 得 a2=1,c2=2. 故雙曲線 E 的方程為 x2?y2=1． 設(shè) Ax1,y1，Bx2,y2， 由 y=kx?1,x2?y

28、2=1, 得 1?k2x2+2kx?2=0,???① 因?yàn)橹本€與雙曲線右支交于 A，B 兩點(diǎn)， 所以 x1+x2>0,x1?x2>0,Δ>0, 即 k>1,Δ=2k2?41?k2×?2>0, 即 k>1,?2