2023屆大一輪復(fù)習(xí) 第39講 平面的性質(zhì)與點(diǎn)線面的位置關(guān)系（Word版含解析）

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1、2023屆大一輪復(fù)習(xí) 第39講 平面的性質(zhì)與點(diǎn)線面的位置關(guān)系 一、選擇題（共12小題） 1. 下列命題中，真命題的個(gè)數(shù)為 ?? ①如果兩個(gè)平面有三個(gè)不在一條直線上的公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面重合； ②兩條直線可以確定一個(gè)平面； ③空間中，相交于同一點(diǎn)的三條直線在同一平面內(nèi)； ④若 M∈α，M∈β，α∩β＝l，則 M∈l． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 已知 l1，l2，l3 是空間中三條不同的直線，則下列命題正確的是 ?? A. 若 l1⊥l2，l2⊥l3，則 l1∥l3 B. 若 l1⊥l2，l2∥l3，則 l1⊥l3 C. 若

2、 l1∥l2∥l3，則 l1，l2，l3 共面 D. 若 l1，l2，l3 共點(diǎn)，則 l1，l2，l3 共面 3. 以下四個(gè)命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是 ?? ①不共面的四點(diǎn)中，任意三點(diǎn)不共線； ②若點(diǎn) A，B，C，D 共面，點(diǎn) A，B，C，E 共面，則 A，B，C，D，E 共面； ③若直線 a，b 共面，直線 a，c 共面，則直線 b，c 共面； ④依次首尾相接的四條線段必共面． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4. 若直線 l1 和 l2 是異面直線，l1 在平面 α 內(nèi)，l2 在平面 β 內(nèi)，l 是平面 α 與平面 β 的交線，則下列命題正確

3、的是 ?? A. l 與 l1，l2 都不相交 B. l 與 l1，l2 都相交 C. l 至多與 l1，l2 中的一條相交 D. l 至少與 l1，l2 中的一條相交 5. 如圖，在底面為正方形，側(cè)棱垂直于底面的四棱柱 ABCD-?A1B1C1D1 中，AA1=2AB=2，則異面直線 A1B 與 AD1 所成角的余弦值為 ?? A. 15 B. 25 C. 35 D. 45 6. 在正方體 ABCD?A1B1C1D1 中，E 為棱 CC1 的中點(diǎn)，則異面直線 AE 與 CD 所成角的正切值為 ?? A. 22 B. 32 C. 52 D. 72

4、 7. 若直線 l1 和 l2 是異面直線，l1 在平面 α 內(nèi)，l2 在平面 β 內(nèi)，l 是平面 α 與平面 β 的交線，則下列命題正確的是 ?? A. l 與 l1，l2 都不相交 B. l 與 l1，l2 都相交 C. l 至多與 l1，l2 中的一條相交 D. l 至少與 l1，l2 中的一條相交 8. 將圖（1）中的等腰直角三角形 ABC 沿斜邊 BC 的中線 AD 折起得到空間四面體 ABCD，如圖（2），則在空間四面體 ABCD 中，AD 與 BC 的位置關(guān)系是 ?? A. 相交且垂直 B. 相交但不垂直 C. 異面且垂直 D. 異面但不垂直

5、 9. 三棱錐 A?BCD 的所有棱長(zhǎng)都相等，M，N 分別是棱 AD，BC 的中點(diǎn)，則異面直線 BM 與 AN 所成角的余弦值為 ?? A. 13 B. 24 C. 33 D. 23 10. 如圖，點(diǎn) N 為正方形 ABCD 的中心，△ECD 為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M 是線段 ED 的中點(diǎn)，則 ?? A. BM=EN，且直線 BM，EN 是相交直線 B. BM≠EN，且直線 BM，EN 是相交直線 C. BM=EN，且直線 BM，EN 是異面直線 D. BM≠EN，且直線 BM，EN 是異面直線 11. 在長(zhǎng)方體 ABCD

6、?A1B1C1D1 中，AB=BC=1，AA1=3，則異面直線 AD1 與 DB1 所成角的余弦值為 ?? A. 15 B. 56 C. 55 D. 22 12. 已知直三棱柱 ABC?A1B1C1 中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，則異面直線 AB1 與 BC1 所成角的余弦值為 ?? A. 32 B. 155 C. 105 D. 33 二、選擇題（共1小題） 13. 如圖，在正四棱柱 ABCD?A1B1C1D1 中，AB=2AA1，E，F(xiàn) 分別為 AB，BC 的中點(diǎn)，異面直 AB1 與 C1F 所成角的余弦值為 m，則 ??

7、A. m=33 B. 直線 A1E 與直線 C1F 共面 C. m=23 D. 直線 A1E 與直線 C1F 異面 三、填空題（共7小題） 14. 設(shè) a，b，c 是空間中的三條直線，下面給出四個(gè)命題： ①若 a∥b，b∥c，則 a∥c； ②若 a⊥b，b⊥c，則 a∥c； ③若 a 與 b 相交，b 與 c 相交，則 a 與 c 相交； ④若 a?平面α，b?平面β，則 a，b 一定是異面直線． 上述命題中正確的命題是 ?（填序號(hào)）． 15. 四條線段順次首尾相連，它們最多可確定的平面?zhèn)€數(shù)為

8、 ?． 16. 如圖所示，在正方體 ABCD-?A1B1C1D1 中，E，F(xiàn) 分別是 AB，AD 的中點(diǎn)，則異面直線 B1C 與 EF 所成角的大小為 ?． 17. 如圖，在正方體 ABCD?-A1B1C1D1 中，M，N 分別為棱 C1D1，C1C 的中點(diǎn)，有以下四個(gè)結(jié)論： ①直線 AM 與 CC1 是相交直線； ②直線 AM 與 BN 是平行直線； ③直線 BN 與 MB1 是異面直線； ④直線 AM 與 DD1 是異面直線． 其中正確的結(jié)論為 ?（填序號(hào)）． 18.

9、如圖，在三棱錐 A?-BCD 中，E，F(xiàn)，G，H 分別是棱 AB，BC，CD，DA 的中點(diǎn)，則 （1）當(dāng) AC，BD 滿足條件 ?時(shí)，四邊形 EFGH 為菱形； （2）當(dāng) AC，BD 滿足條件 ?時(shí)，四邊形 EFGH 為正方形． 19. 如圖，在正方體 ABCDA1B1C1D1 中，M，N 分別是 BC1，CD1 的中點(diǎn)，則下列判斷中錯(cuò)誤的是 ?．（填序號(hào)） ① MN 與 CC1 垂直； ② MN 與 AC 垂直； ③ MN 與 BD 平行； ④ MN 與 A1B1

10、 平行． 20. a，b 為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形 ABC 的直角邊 AC 所在直線與 a，b 都垂直，斜邊 AB 以直線 AC 為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論： ①當(dāng)直線 AB 與 a 成 60° 角時(shí)，AB 與 b 成 30° 角； ②當(dāng)直線 AB 與 a 成 60° 角時(shí)，AB 與 b 成 60° 角； ③直線 AB 與 a 所成角的最小值為 45°； ④直線 AB 與 a 所成角的最大值為 60°． 其中正確的是 ?．（填寫(xiě)所有正確結(jié)論的編號(hào)） 四、解答題（共7小題） 21. 如圖所示，在正方體 AB

11、CD?A1B1C1D1 中，E，F(xiàn) 分別是 AB 和 AA1 的中點(diǎn)．求證： （1）E，C，D1，F(xiàn) 四點(diǎn)共面； （2）CE，D1F，DA 三線共點(diǎn)． 22. 如圖，在正方體 ABCD?A1B1C1D1 中，E，F(xiàn) 分別是 AB 和 AA1 的中點(diǎn)．求證： （1）E，C，D1，F(xiàn) 四點(diǎn)共面． （2）CE，D1F，DA 三線共點(diǎn)． 23. 已知空間四邊形 ABCD（如圖所示），E，F(xiàn) 分別是 AB，AD 的中點(diǎn)，G，H 分別是 BC，CD 上的點(diǎn)，且 CG=13BC，CH=13DC．求證： （1）E，F(xiàn)，G，H 四點(diǎn)共面； （2）三直線 FH，E

12、G，AC 共點(diǎn)． 24. 如圖，在正方體 ABCD?A1B1C1D1 中，點(diǎn) M，N 分別是 A1B1，B1C1 的中點(diǎn)．求證： （1）AM 和 CN 共面； （2）D1B 和 CC1 是異面直線． 25. 已知不共面的三條直線 a，b，c 相交于點(diǎn) P，A∈a，B∈a，C∈b，D∈c，求證：AD 與 BC 是異面直線． 26. 已知直三棱柱 ABC?A1B1C1 中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，求異面直線 AB1 與 BC1 所成角的余弦值． 27. 如圖所示，在正方體 ABCD?A1B1C1D1 中， （1）求

13、AC 與 A1D 所成角的大小； （2）若 E，F(xiàn) 分別為 AB，AD 的中點(diǎn)，求 A1C1 與 EF 所成角的大小． 答案 1. B 【解析】根據(jù)公理 2，可判斷①是真命題； 兩條異面直線不能確定一個(gè)平面，故②是假命題； 在空間中，相交于同一點(diǎn)的三條直線不一定共面（如墻角），故③是假命題； 根據(jù)平面的性質(zhì)可知④是真命題． 綜上所述，真命題的個(gè)數(shù)為 2． 2. B 【解析】在空間中，垂直于同一直線的兩條直線不一定平行，故A錯(cuò)誤；若兩條平行直線中的一條垂直于第三條直線，則另一條也垂直于第三條直線，故B正確；相互平行的三條直線不一定共面，如三棱柱的三條側(cè)棱，故C錯(cuò)誤

14、；共點(diǎn)的三條直線不一定共面，如三棱錐的三條側(cè)棱，故D錯(cuò)誤． 3. B 【解析】①顯然是正確的，可用反證法證明； ②若 A，B，C 三點(diǎn)共線，則 A，B，C，D，E 五點(diǎn)不一定共面； ③構(gòu)造長(zhǎng)方體或正方體，如圖，顯然 b，c 異面，故不正確； ④空間四邊形中四條線段不共面．故正確的個(gè)數(shù)為 1． 4. D 【解析】由直線 l1 和 l2 是異面直線可知 l1 與 l2 不平行，故 l1，l2 中至少有一條與 l 相交． 5. D 【解析】連接 BC1． 易證 BC1∥AD1，則 ∠A1BC1 或其補(bǔ)角為異面直線 A1B 與 AD1 所成的角． 連接 A1C1，由

15、 AB=1，AA1=2，易得 A1C1=2，A1B=BC1=5， 故 cos∠A1BC1=5+5?22×5×5=45， 即異面直線 A1B 與 AD1 所成角的余弦值為 45． 6. C 【解析】取 DD1 中點(diǎn) F，連 EF，AF，AE， 易知 EF∥DC， 所以 ∠AEF 為兩異面直線所成的角． 在 Rt△AEF 中，令正方體棱長(zhǎng)為 1，則 EF=1，AF=52， 所以 tan∠AEF=AFEF=52． 故選C． 7. D 【解析】由于 l 與直線 l1，l2 分別共面， 故直線 l 與 l1，l2 要么都不相交，要么至少與 l1，l2 中的一條相交． 若

16、 l∥l1，l∥l2，則 l1∥l2，這與 l1，l2 是異面直線矛盾． 故 l 至少與 l1，l2 中的一條相交． 8. C 【解析】折起前 AD⊥BC，折起后有 AD⊥BD，AD⊥DC， 所以 AD⊥平面BCD， 所以 AD⊥BC． 又 AD 與 BC 不相交，故 AD 與 BC 異面且垂直． 9. D 【解析】連接 DN，取 DN 的中點(diǎn) O，連接 MO，BO， 因?yàn)?M 是 AD 的中點(diǎn)， 所以 MO∥AN， 所以 ∠BMO（或其補(bǔ)角）是異面直線 BM 與 AN 所成的角， 設(shè)三棱錐 A?BCD 的所有棱長(zhǎng)為 2， 則 AN=BM=DN=22?12=3

17、， 則 MO=12AN=32=NO=12DN， 則 BO=BN2+NO2=1+34=72． 在 △BMO 中，由余弦定理得 cos∠BMO=BM2+MO2?BO22?BM?MO=3+34?742×3×32=23， 所以異面直線 BM 與 AN 所成角的余弦值為 23． 10. B 【解析】過(guò) E 作 EQ⊥CD 于 Q，連接 BD，QN，BE，易知點(diǎn) N 在 BD 上． 因?yàn)?平面ECD⊥平面ABCD，平面ECD∩平面ABCD=CD， 所以 EQ⊥平面ABCD， 所以 EQ⊥QN，同理可知 BC⊥CE， 設(shè) CD=2，易知 EQ=3，QN=1， 則 EN=EQ2+Q

18、N2=3+1=2，BE=BC2+CE2=4+4=22． 易知 BE=BD， 又因?yàn)?M 為 DE 的中點(diǎn)， 所以 BM⊥DE， 所以 BM=BE2?EM2=8?1=7， 所以 BM=7>2=EN． 所以 BM≠EN． 又因?yàn)辄c(diǎn) M，N，B，E 均在平面 BED 內(nèi)， 所以 BM，EN 在平面 BED 內(nèi)， 又 BM 與 EN 不平行， 所以 BM，EN 是相交直線． 11. C 【解析】以 D 為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1 所在直線分別為 x 軸，y 軸，z 軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示． 由條件可知 D0,0,0，A1,0,0，D10,0,3，B11,1,

19、3， 所以 AD1=?1,0,3，DB1=1,1,3． 則 cosAD1,DB1=AD1?DB1AD1?DB1=225=55， 即異面直線 AD1 與 DB1 所成角的余弦值為 55． 12. C 【解析】如圖所示，將直三棱柱 ABC?A1B1C1 補(bǔ)成直四棱柱 ABCD?A1B1C1D1， 連接 AD1，B1D1，則 AD1∥BC1， 所以 ∠B1AD1 或其補(bǔ)角為異面直線 AB1 與 BC1 所成的角． 因?yàn)?∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1， 所以 AB1=5，AD1=2． 在 △B1D1C1 中，∠B1C1D1=60°，B1C1=1，D1C1=2

20、， 所以 B1D1=12+22?2×1×2×cos60°=3， 所以 cos∠B1AD1=5+2?32×5×2=105． 13. B， C 【解析】如圖，連接 DC1，DF，則 DC1∥AB1， 所以 ∠DC1F 為異面直線 AB1 與 C1F 所成的角， 因?yàn)?AB=2AA1，ABCD?A1B1C1D1 為正四棱柱，E，F(xiàn) 分別為 AB，BC 的中點(diǎn)，設(shè) AA1=2，則 AB=2，C1D=6，C1F=3，DF=5， 所以在 △DFC1 中，根據(jù)余弦定理，cos∠DC1F=6+3?52×6×3=23； 所以 m=23； 連接 A1C1，AC，EF，則 A1C1∥

21、AC，EF∥AC， 所以 EF∥A1C1， 所以 A1E 與 C1F 共面． 14. ① 【解析】由公理 4 知①正確； 當(dāng) a⊥b，b⊥c 時(shí)，a 與 c 可以相交、平行或異面，故②錯(cuò)誤； 當(dāng) a 與 b 相交，b 與 c 相交時(shí)，a 與 c 可以相交、平行，也可以異面，故③錯(cuò)誤； a?α，b?β，并不能說(shuō)明 a 與 b“不同在任何一個(gè)平面內(nèi)”，故④錯(cuò)誤． 15. 4 【解析】首尾相連的四條線段每相鄰兩條確定一個(gè)平面，所以最多可以確定 4 個(gè)平面． 16. 60° 【解析】連接 B1D1，D1C，則 B1D1∥EF， 故 ∠D1B1C 即為所求的角．

22、 又 B1D1=B1C=D1C， 所以 △B1D1C 為等邊三角形， 所以 ∠D1B1C=60°． 17. ③④ 【解析】直線 AM 與 CC1 是異面直線，直線 AM 與 BN 也是異面直線，故①②錯(cuò)誤． 18. AC=BD，AC=BD 且 AC⊥BD 【解析】（1）因?yàn)樗倪呅?EFGH 為菱形， 所以 EF=EH， 故 AC=BD． （2）因?yàn)樗倪呅?EFGH 為正方形， 所以 EF=EH 且 EF⊥EH， 因?yàn)?EF 平行相等于 12AC，EH 平行相等于 12BD， 所以 AC=BD 且 AC⊥BD． 19. ④ 【解析】如圖所示，連接 B1C，B1D

23、1， 則 M 是 B1C 的中點(diǎn)，MN 是 △B1CD1 的中位線， 所以 MN∥B1D1， 又 BD∥B1D1， 所以 MN∥BD． 因?yàn)?CC1⊥B1D1，AC⊥B1D1， 所以 MN⊥CC1，MN⊥AC． 又因?yàn)?A1B1 與 B1D1 相交， 所以 MN 與 A1B1 不平行．故④錯(cuò)誤． 20. ②③ 【解析】由題意，AB 是以 AC 為軸，BC 為底面半徑的圓錐的母線，又 AC⊥a，AC⊥b，AC⊥ 圓錐底面， 所以在底面內(nèi)可以過(guò)點(diǎn) B，作 BD∥a，交底面圓 C 于點(diǎn) D， 如圖所示，連接 DE，則 DE⊥BD， 所以 DE∥b，連接 AD，設(shè)

24、BC=1，在等腰 △ABD 中，AB=AD=2，當(dāng)直線 AB 與 a 成 60° 角時(shí)，∠ABD=60°，故 BD=2， 又在 Rt△BDE 中，BE=2， 所以 DE=2，過(guò)點(diǎn) B 作 BF∥DE，交圓 C 于點(diǎn) F，連接 AF，EF， 所以 BF=DE=2， 所以 △ABF 為等邊三角形， 所以 ∠ABF=60°，即 AB 與 b 成 60° 角，故②正確，①錯(cuò)誤． 由最小角定理可知③正確； 很明顯，可以滿足 平面ABC⊥ 直線 a， 所以直線 AB 與 a 所成角的最大值為 90°，④錯(cuò)誤． 所以正確的說(shuō)法為②③． 21. （1） 連接 EF，CD1，A1B．

25、 因?yàn)?E，F(xiàn) 分別是 AB，AA1 的中點(diǎn)， 所以 EF∥BA1． 又 A1B∥D1C， 所以 EF∥CD1， 所以 E，C，D1，F(xiàn) 四點(diǎn)共面． ??????（2） 因?yàn)?EF∥CD1，EF

26、A1B 且 EF=12A1B． 又因?yàn)?A1D1∥BC 且 A1D1=BC， 所以四邊形 A1BCD1 是平行四邊形． 所以 A1B∥CD1， 所以 EF∥CD1， 所以 EF 與 CD1 確定一個(gè)平面 α． 所以 E,F,C,D1∈α， 即 E，C，D1，F(xiàn) 四點(diǎn)共面． ??????（2） 由（1）知，EF∥CD1，且 EF=12CD1， 所以四邊形 CD1FE 是梯形， 所以 CE 與 D1F 必相交． 設(shè)交點(diǎn)為 P，則 P∈CE?平面ABCD，且 P∈D1F?平面A1ADD1， 所以 P∈平面ABCD 且 P∈平面A1ADD1． 又因?yàn)槠矫?ABCD∩平面A1A

27、DD1=AD， 所以 P∈AD， 所以 CE，D1F，DA 三線共點(diǎn)． 23. （1） 如圖所示，連接 EF，GH． 因?yàn)?E，F(xiàn) 分別是 AB，AD 的中點(diǎn)， 所以 EF∥BD. 又因?yàn)?CG=13BC，CH=13DC， 所以 GH∥BD， 所以 EF∥GH， 所以 E，F(xiàn)，G，H 四點(diǎn)共面． ??????（2） 易知直線 FH 與直線 AC 不平行，但共面， 所以設(shè) FH∩AC=M， 所以 M∈平面EFHG，M∈平面ABC． 又因?yàn)?平面EFHG∩平面ABC=EG， 所以 M∈EG， 所以 FH，EG，AC 共點(diǎn)． 24. （1） 如圖，連接 MN，A1C

28、1，AC． 因?yàn)辄c(diǎn) M，N 分別是 A1B1，B1C1 的中點(diǎn)， 所以 MN∥A1C1． 因?yàn)?A1A∥C1C， 所以四邊形 A1ACC1 為平行四邊形， 所以 A1C1∥AC， 所以 MN∥AC， 所以 A，M，N，C 四點(diǎn)共面，即 AM 和 CN 共面． ??????（2） 因?yàn)?ABCD?A1B1C1D1 是正方體， 所以 B，C，C1，D1 不共面． 假設(shè) D1B 與 CC1 不是異面直線， 則存在平面 α，使 D1B?平面α，CC1?平面α， 所以 D1,B,C,C1∈α，這與 B，C，C1，D1 不共面矛盾． 所以假設(shè)不成立，即 D1B 與 CC1 是

29、異面直線． 25. （方法 1）（反證法）： 假設(shè) AD 和 BC 共面，所確定的平面為 α，那么點(diǎn) P，A，B，C，D 都在平面 α 內(nèi)， 所以直線 a，b，c 都在平面 α 內(nèi)，與已知條件 a，b，c 不共面矛盾，假設(shè)不成立， 所以 AD 和 BC 是異面直線． （方法 2）（直接證法）： 因?yàn)?a∩c=P， 所以它們確定一個(gè)平面，設(shè)為 α， 由已知 C?平面α，B∈平面α，BC?平面α，AD?平面α，B?AD， 所以 AD 和 BC 是異面直線． 26. 如圖所示，將直三棱柱 ABC?A1B1C1 補(bǔ)成直四棱柱 ABCD?A1B1C1D1， 連接 AD1，B

30、1D1，則 AD1∥BC1， 所以 ∠B1AD1 或其補(bǔ)角為異面直線 AB1 與 BC1 所成的角． 因?yàn)?∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1， 所以 AB1=5，AD1=2． 在 △B1D1C1 中，∠B1C1D1=60°，B1C1=1，D1C1=2， 所以 B1D1=12+22?2×1×2×cos60°=3， 所以 cos∠B1AD1=5+2?325×2=105． 27. （1） 連接 B1C，AB1，由 ABCD?A1B1C1D1 是正方體， 易知 A1D∥B1C，從而 B1C 與 AC 所成的角就是 AC 與 A1D 所成的角． 因?yàn)?AB1=AC=B1C， 所以 ∠B1CA=60°． 即 A1D 與 AC 所成的角為 60°． ??????（2） 連接 BD，在正方體 ABCD?A1B1C1D1 中，AC⊥BD，AC∥A1C1， 因?yàn)?E，F(xiàn) 分別為 AB，AD 的中點(diǎn)， 所以 EF∥BD， 所以 EF⊥AC． 所以 EF⊥A1C1． 即 A1C1 與 EF 所成的角為 90°． 第16頁(yè)（共16 頁(yè)）