2023屆大一輪復(fù)習(xí) 第30講 平面向量的基本定理與坐標(biāo)運(yùn)算（Word版含解析）

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1、2023屆大一輪復(fù)習(xí) 第30講 平面向量的基本定理與坐標(biāo)運(yùn)算 一、選擇題（共14小題） 1. 設(shè) e1，e2 是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下列四組向量中，不能作為基底的是 ?? A. e1+e2 和 e1?e2 B. 3e1?4e2 和 6e1?8e2 C. e1+2e2 和 2e1+e2 D. e1 和 e1+e2 2. 已知平面向量 a=2,?1，b=1,1，c=?5,1，若 a+kb∥c，則實(shí)數(shù) k 的值為 ?? A. ?114 B. 12 C. 2 D. 114 3. 設(shè) a，b 是兩個(gè)不共線的非零向量，若 8a+kb 與 ka+2b 共線

2、，則實(shí)數(shù) k= ?? A. 4 B. ?4 C. ±4 D. 0 4. 如圖，OC=2OP，AB=2AC，OM=mOB，ON=nOA，若 m=38，那么 n= ?? A. 34 B. 23 C. 45 D. 58 5. 設(shè) A0,1，B1,3，C?1,5，D0,?1，則 AB+AC 等于 ?? A. ?2AD B. 2AD C. ?3AD D. 3AD 6. 已知 M3,?2，N?5,?1，且 MP=12MN，則 P 點(diǎn)的坐標(biāo)為 ?? A. ?8,1 B. ?1,?32 C. 1,32 D. 8,?1 7. 已知向量 a=1,

3、1，b=?1,3，c=2,1，且 a?λb∥c，則 λ= ?? A. 3 B. ?3 C. 17 D. ?17 8. 已知向量 OA=3,?4，OB=6,?3，OC=2m,m+1．若 AB∥OC，則實(shí)數(shù) m 的值為 ?? A. 15 B. ?35 C. ?3 D. ?17 9. 已知向量 a=1,2，b=2,x，a+b 與 b 平行，則實(shí)數(shù) x 的值為 ?? A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 一直線 l 與平行四邊形 ABCD 中的兩邊 AB，AD 分別交于點(diǎn) E，F(xiàn)，且交其對角線 AC 于點(diǎn) M，若 AB=2AE，AD=3AF，AM=

4、λAB?μACλ,μ∈R，則 52μ?λ= ?? A. ?12 B. 1 C. 32 D. ?3 11. 已知 M3,?2，N?5,?1，且 MP=12MN，則 P 點(diǎn)的坐標(biāo)為 ?? A. ?8,1 B. ?1,?32 C. 1,32 D. 8,?1 12. 設(shè)向量 OA=1,?2，OB=2m,?1，OC=?2n,0，m,n∈R，O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，若 A，B，C 三點(diǎn)共線，則 m+n 的最大值為 ?? A. ?3 B. ?2 C. 2 D. 3 13. 如圖，已知 OA=OB=1，OC=3，OC⊥OB，OA,OC=30°，若 OC=xOA+yOB，x+

5、y= ?? A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 14. 在矩形 ABCD 中，AB=1，AD=2，動點(diǎn) P 在以點(diǎn) C 為圓心且與 BD 相切的圓上．若 AP=λAB+μAD，則 λ+μ 的最大值為 ?? A. 3 B. 22 C. 5 D. 2 二、填空題（共11小題） 15. 已知向量 a=1,2，b=2,?2，c=1,λ．若 c∥2a+b，則 λ= ?． 16. 已知 A1,?3 和 B8,?1，如果點(diǎn) C2a?1,a+2 在直線 AB 上，則 a= ?． 17

6、. 在平行四邊形 ABCD 中，對角線 AC 與 BD 交于點(diǎn) O，P 為 CO 的中點(diǎn)，AB+AD=λAP，則 λ= ?． 18. 如圖，在平行四邊形 ABCD 中，AC，BD 相交于點(diǎn) O，E 為線段 AO 的中點(diǎn)．若 BE=λBA+μBDλ,μ∈R，則 λ+μ= ?． 19. 若三點(diǎn) A1,?5，Ba,?2，C?2,?1 共線，則實(shí)數(shù) a 的值為 ?． 20. 已知向量 a=1,2，b=2,?2，c=1,λ．若 c∥2a+b，則 λ=

7、?． 21. 如圖，在 △ABC 中，BO 為邊 AC 上的中線，BG=2GO，設(shè) CD∥AG，若 AD=15AB+λACλ∈R，則 λ 的值為 ?． 22. 如圖，在 △ABC 中，點(diǎn) O 是 BC 的中點(diǎn)，過點(diǎn) O 的直線分別交直線 AB，AC 于不同的兩點(diǎn) M，N，若 AB=mAM，AC=nANm,n>0，則 1m+4n 的最小值為 ?． 23. 向量 a，b，c 在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若 c=λa+μbλ,μ∈R，則 λμ= ?． 24

8、. 已知點(diǎn) A4,0，B4,4，C2,6，則 AC 與 OB 的交點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 ?． 25. 已知向量 OA=k,12，OB=4,5，OC=?k,10，且 A，B，C 三點(diǎn)共線，則 k= ?． 三、解答題（共2小題） 26. 已知 a=1,0，b=2,1． （1）當(dāng) k 為何值時(shí)，ka?b 與 a+2b 共線? （2）若 AB=2a+3b，BC=a+mb 且 A，B，C 三點(diǎn)共線，求 m 的值． 27. 如圖，已知平行四邊形 ABCD 的邊 BC，CD 的中點(diǎn)分別是 K，L，且 AK=e1，A

9、L=e2，試用 e1，e2 表示 BC，CD． 答案 1. B 【解析】選項(xiàng)B中，6e1?8e2=23e1?4e2， 所以 6e1?8e2 與 3e1?4e2 共線， 所以不能作為基底，選項(xiàng)A，C，D中兩向量均不共線，可以作為基底．故選B． 2. B 【解析】因?yàn)?a=2,?1，b=1,1， 所以 a+kb=2+k,?1+k，又 c=?5,1， 由 a+kb∥c，得 2+k×1=?5×k?1，解得 k=12． 3. C 【解析】由題意知 8a+kb 與 ka+2b 為非零向量且共線， 故存在實(shí)數(shù) λ，使得 8a+kb=λka+2b， 則 8=λk，

10、k=2λ，得 λ=±2，k=±4． 故選C． 4. A 【解析】法一 由 OC=2OP，AB=2AC，知 C 是 AB 的中點(diǎn)，P 是 OC 的中點(diǎn)， 所以 OC=12OA+OB， 則 OP=14OA+OB， 又 OM=38OB，ON=nOA， 從而 MN=ON?OM=nOA?38OB，MP=OP?OM=14OA+OB?38OB=14OA?18OB， 又點(diǎn) M，P，N 共線， 所以存在實(shí)數(shù) λ，使 MN=λMP 成立， 即 nOA?38OB=λ14OA?18OB． 又因?yàn)?OA，OB 不共線， 所以有 n=14λ,?38=?18λ, 解得 n=34，故選A． 法二

11、 設(shè) MP=λMN， 因?yàn)?OM=38OB，ON=nOA， 所以 OP=OM+MP=38OB+λON?OM=38OB+λnOA?38OB=381?λOB+nλOA, 又知 OC=2OP， 所以 OP=12OC=14OA+14OB， 所以 381?λ=14,nλ=14, 解得 λ=13，n=34，故選A． 5. C 【解析】由題意得 AB=1,2，AC=?1,4，AD=0,?2，所以 AB+AC=0,6=?30,?2=?3AD． 6. B 【解析】設(shè) Px,y，則 MP=x?3,y+2， 而 12MN=12?8,1=?4,12， 所以 x?3=?4,y+2=1

12、2, 解得 x=?1,y=?32, 所以 P?1,?32． 7. C 【解析】由題意 a?λb=1+λ,1?3λ， 因?yàn)?a?λb∥c， 所以 21?3λ=1+λ，解得 λ=17． 8. C 【解析】因?yàn)?AB∥OC，所以 3,1∥2m,m+1，3×m+1=2m 所以 m=?3．選C． 9. D 【解析】由已知 a+b=3,2+x， 又 a+b∥b， 所以 3x=22+x，解得：a=4， 故選：D． 10. A 【解析】AM=λAB?μAC=λAB?μAB+AD=λ?μAB?μAD=2λ?μAE?3μAF. 因?yàn)?E，M，F(xiàn) 三點(diǎn)共線，所以 2λ?

13、μ+?3μ=1， 即 2λ?5μ=1， 所以 52μ?λ=?12． 11. B 【解析】設(shè) Px,y，則 MP=x?3,y+2， 而 12MN=12?8,1=?4,12， 所以 x?3=?4,y+2=12, 解得 x=?1,y=?32, 所以 P?1,?32． 12. A 【解析】由題意易知，AB∥AC，其中 AB=OB?OA=2m?1,1，AC=OC?OA=?2n?1,2， 所以 2m?1×2=1×?2n?1，得 2m+1+2n=1，2m+1+2n≥22m+n+1， 所以 2m+n+1≤2?2，即 m+n≤?3． 13. C 【解析】建立如圖所以坐標(biāo)系，

14、 根據(jù)條件不妨設(shè) A1,0，B?12,32，C32,32， 則 OC=32,32=x1,0+y?12,32， 所以 x?12y=32,32y=32, 解得 x=2，y=1， 所以 x+y=3， 故選：C． 14. A 【解析】如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系． 設(shè) A0,1，B0,0，C2,0，D2,1，Px,y， 易得圓的半徑 r=25，即圓 C 的方程是 x?22+y2=45， AP=x,y?1，AB=0,?1，AD=2,0， 若滿足 AP=λAB+μAD，則 x=2μ,y?1=?λ, μ=x2，λ=1?y， 所以 λ+μ=x2?y+1， 設(shè) z=x

15、2?y+1，即 x2?y+1?z=0，點(diǎn) Px,y 在圓 x?22+y2=45 上， 所以圓心 2,0 到直線 x2?y+1?z=0 的距離 d≤r，即 ∣2?z∣14+1≤25，解得 1≤z≤3， 所以 z 的最大值是 3，即 λ+μ 的最大值是 3，故選A． 15. 12 【解析】由題可得 2a+b=4,2， 因?yàn)?c∥2a+b，c=1,λ， 所以 4λ?2=0，即 λ=12． 16. ?13 【解析】因?yàn)?AB=7,2，BC=2a?9,a+3，且 AB∥BC， 所以有 7×a+3=2×2a?9，解得 a=?13． 17. 43 【解析】因?yàn)?ABCD

16、為平行四邊形， 所以 AB+AD=AC=2AO， 又 AP=32AO，得 AB+AD=43AP 已知 AB+AD=λAP，故 λ=43． 18. 34 【解析】由題意可得 BE=12BA+12BO=12BA+14BD，由平面向量基本定理可得 λ=12，μ=14，所以 λ+μ=34． 19. ?54 【解析】AB=a?1,3，AC=?3,4， 根據(jù)題意 AB∥AC， 所以 4a?1?3×?3=0，即 4a=?5， 所以 a=?54． 20. 12 【解析】因?yàn)?2a+b=4,2，c∥2a+b， 所以 4λ=2，解得 λ=12． 21. 65 【解析】因?yàn)?BG

17、=2GO，BO 為 AC 邊上的中點(diǎn)， 所以 G 為 △ABC 的重心， 所以 AG=23×12AB+AC=13AB+13AC． 因?yàn)?CD∥AG， 所以設(shè) CD=mAG，從而 AD=AC+CD=AC+m3AB+m3AC=1+m3AC+m3AB． 因?yàn)?AD=15AB+λAC， 所以 m3=15，λ=1+m3=65． 22. 92 【解析】MO=AO?AM=AB+AC2?1mAB=12?1mAB+12AC. 同理 NO=12?1nAC+12AB， 又因?yàn)?M，O，N 三點(diǎn)共線，故存在實(shí)數(shù) λ，使得 12?1mAB+12AC=λ12?1nAC+12AB， 即 12?1m

18、?λ2AB+12?λ2+λnAC=0， 因 AB，AC 不共線，據(jù)基本定理得 12?1m?λ2=0 且 12?λ2+λn=0， 消掉 λ 得 m+n=2， 故 1m+4n=12m+n1m+4n=125+nm+4mn≥125+4=92． 23. 4 【解析】以向量 a 和 b 的交點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系（設(shè)每個(gè)小正方形的邊長為 1）， 則 A1,?1，B6,2，C5,?1， 所以 a=AO=?1,1，b=OB=6,2，c=BC=?1,?3． 因?yàn)?c=λa+μb， 所以 ?1,?3=λ?1,1+μ6,2，即 ?λ+6μ=?1,λ+2μ=?3, 解得 λ=

19、?2，μ=?12， 所以 λμ=4． 24. 3,3 【解析】（方法 1）由 O，P，B 三點(diǎn)共線，可設(shè) OP=λOB=4λ,4λ， 則 AP=OP?OA=4λ?4,4λ． 又 AC=OC?OA=?2,6， 由 AP 與 AC 共線，得 4λ?4×6?4λ×?2=0，解得 λ=34， 所以 OP=34OB=3,3， 所以點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 3,3． （方法 2）設(shè)點(diǎn) Px,y，則 OP=x,y， 因?yàn)?OB=4,4，且 OP 與 OB 共線， 所以 x4=y4，即 x=y． 又 AP=x?4,y，AC=?2,6，且 AP 與 AC 共線， 所以 x?4×6?y×?2=

20、0，解得 x=y=3， 所以點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 3,3． 25. ?23 【解析】AB=OB?OA=4?k,?7， AC=OC?OA=?2k,?2． 因?yàn)?A，B，C 三點(diǎn)共線，所以 AB，AC 共線， 所以 ?2×4?k=?7×?2k，解得 k=?23． 26. （1） ka?b=k1,0?2,1=k?2,?1，a+2b=1,0+22,1=5,2， 因?yàn)?ka?b 與 a+2b 共線， 所以 2k?2??1×5=0，即 2k?4+5=0，得 k=?12． ??????（2） AB=2a+3b=21,0+32,1=8,3， BC=a+mb=1,0+m2,1=2m+1,m， 因?yàn)?A，B，C 三點(diǎn)共線， 所以 AB∥BC， 所以 8m?32m+1=0，即 2m?3=0， 所以 m=32． 27. 設(shè) BC=x，CD=y，則 BK=12x，DL=?12y． 由 AB+BK=AK，AD+DL=AL， 得 ?y+12x=e1,???①x?12y=e2,???② ① + ② ×?2，得 12x?2x=e1?2e2， 即 x=?23e1?2e2=?23e1+43e2， 所以 BC=?23e1+43e2． 同理可得 y=?43e1+23e2，即 CD=?43e1+23e2． 第9頁（共9 頁）