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1、2023屆大一輪復習 第33講 復數(shù)
一、選擇題（共12小題）
1. 設 z=?3+2i，則在復平面內(nèi) z 對應的點位于 ??
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 已知 a∈R，若 a?1+a?2i（i 為虛數(shù)單位）是實數(shù)，則 a= ??
A. 1 B. ?1 C. 2 D. ?2
3. 設 1?ix=1+yi，其中 x，y 是實數(shù)，則 x+yi 在復平面內(nèi)所對應的點位于 ??
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4. 若復數(shù) 1?ia+i 在復平面內(nèi)對應的點在第二象限，則實數(shù)
2、 a 的取值范圍 ??
A. ?∞,1 B. ?∞,?1 C. 1,+∞ D. ?1,+∞
5. 在復平面內(nèi)，復數(shù) z 對應的點的坐標是 1,2，則 i?z= ??
A. 1+2i B. ?2+i C. 1?2i D. ?2?i
6. 若 z=1+i，則 z2–2z= ??
A. 0 B. 1 C. 2 D. 2
7. 復數(shù) 11?3i 的虛部是 ??
A. ?310 B. ?110 C. 110 D. 310
8. 2?i1+2i= ??
A. 1 B. ?1 C. i D. ?i
9. 已知復數(shù) z=2+i，則 z
3、?z= ??
A. 3 B. 5 C. 3 D. 5
10. 設復數(shù) z 滿足 z?i=1，z 在復平面內(nèi)對應的點為 x,y，則 ??
A. x+12+y2=1 B. x?12+y2=1
C. x2+y?12=1 D. x2+y+12=1
11. 若 z1+i=2i，則 z= ??
A. ?1?i B. ?1+i C. 1?i D. 1+i
12. 復數(shù) 21?i（i 為虛數(shù)單位）的共軛復數(shù)是 ??
A. 1+i B. 1?i C. ?1+i D. ?1?i
二、填空題（共20小題）
13. 已知復數(shù) z=21?i，其中 i
4、 為虛數(shù)單位，則復數(shù) z 的共軛復數(shù)為 ?．
14. 已知 x>0，若 x?i2 是純虛數(shù)（其中 i 為虛數(shù)單位），則 x= ?．
15. 已知復數(shù) z=1?i2i，其中 i 為虛數(shù)單位，則復數(shù) z 的虛部為 ?．
16. 已知 i 為虛數(shù)單位，復數(shù) z=32?32i 的模為 ?．
17. 若復數(shù) z 滿足 z?2i=∣z∣2+1（其中 i 為虛數(shù)單位），則 ∣z∣= ?．
18. 設復數(shù) z 滿足 z
5、+ii=?3+4i（i 為虛數(shù)單位），則 z 的模為 ?．
19. 若復數(shù) z 滿足 z1?i=2i（i 是虛數(shù)單位），z 是 z 的共軛復數(shù)，則 z?z= ?．
20. 如圖，在復平面內(nèi)，點 A 對應的復數(shù)為 z1，若 z2z1=i（i 為虛數(shù)單位），則 z2= ?．
21. 已知復數(shù) z=a+i1+3i（i 是虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則實數(shù) a 的值為 ?．
22. 若復數(shù) z 滿足 z1+i=1，其中 i 為虛數(shù)單位，則 z 在復平
6、面內(nèi)對應的點在第 ?象限．
23. 若復數(shù) z 滿足 za+2i=i（i 為虛數(shù)單位），且實部和虛部相等，則實數(shù) a 的值為 ?．
24. 已知復數(shù) z=3+4i5i，其中 i 是虛數(shù)單位，則 ∣z∣= ?．
25. 已知復數(shù) z=2i1?i?3i（i 為虛數(shù)單位），則復數(shù) z 的模為 ?．
26. 復數(shù) z 滿足 zi=4+3i（i 是虛數(shù)單位），則 z= ?．
27. 若 i 是虛數(shù)單位，且復數(shù) z
7、 滿足 1+iz=2，則 ∣z∣= ?．
28. 復數(shù) 21?i（i 為虛數(shù)單位）的共軛復數(shù)是 ?．
29. 1+i1?i6+2+3i3?2i= ?．
30. 若復數(shù) z 滿足 2z+z=3?2i，其中 i 為虛數(shù)單位，則 z= ?．
31. 已知復數(shù) z=x+yi，且 ∣z?2∣=3，則 yx 的最大值為 ?．
32. 已知 i 是虛數(shù)單位，則復數(shù) z=1+i2?i 的實部是
8、 ?．
三、解答題（共2小題）
33. 已知 i 是虛數(shù)單位，復數(shù) z=m21+i?m2+3i?42+i，當 m 分別取何實數(shù)時，z 滿足如下條件?
（1）實數(shù)；
（2）虛數(shù)；
（3）純虛數(shù)；
（4）零．
34. 如圖所示，平行四邊形 OABC，頂點 O，A，C 分別表示 0，3+2i，?2+4i，試求：
（1）AO，BC 所表示的復數(shù)；
（2）對角線 CA 所表示的復數(shù)；
（3）B 點對應的復數(shù)．
答案
1. C
【解析】由 z=?3+2i，得 z=?3?2i，則 z=?3?2i 對應的點 ?3,?2 位于第三象限．
2.
9、 C
【解析】因為 a?1+a?2i 為實數(shù)，所以 a?2=0，所以 a=2．
3. D
【解析】因為 x，y 是實數(shù)，
所以 1?ix=x?xi=1+yi，
所以 x=1,?x=y,
解得 x=1,y=?1,
所以 x+yi 在復平面內(nèi)所對應的點為 1,?1，位于第四象限．
4. B
【解析】因為 z＝1?ia+i=a+1+1?ai，
所以它在復平面內(nèi)對應的點為 a+1,1?a，
又此點在第二象限，所以 a+1<0,1?a>0,
解得 a
10、2=1+i2=2i，
則 z2?2z=2i?21+i=?2，故 z2?2z=?2=2．
7. D
【解析】因為 z=11?3i=1+3i1?3i1+3i=110+310i，
所以復數(shù) z=11?3i 的虛部是 310．
故選：D．
8. D
【解析】2?i1+2i=2?i1?2i1+2i1?2i=?5i5=?i．
9. D
【解析】由題 z=2+i，則 z?z=2+i2?i=5．
10. C
【解析】由題可得 z=x+yi，z?i=x+y?1i，z?i=x2+y?12=1，
則 x2+y?12=1．
11. D
【解析】z=2i1+i=2i1?i1+i1?
11、i=1+i．
12. B
【解析】因為 21?i=21+i2=1+i，
所以共軛復數(shù)為 1?i．
13. 1?i
【解析】因為復數(shù) z=21?i=21+i1?i1+i=1+i，所以復數(shù) z 的共軛復數(shù) z=1?i．
14. 1
【解析】因為 x?i2=x2?2xi+i2=x2?1+2xi 為純虛數(shù)，
所以 x2?1=0,x≠0,x>0,
解得 x=1．
15. ?12
【解析】解法 1：z=1?ii2i?i=1+i?2=?12?12i，所以 z 的虛部是 ?12．
解法 2：設 z=a+bia,b∈R，則 2ia+bi=1?i，
即 ?2b+2ai=
12、1?i，所以 ?2b=1，得 b=?12．
16. 3
【解析】∣z∣=322+?322=3．
17. 1
【解析】兩邊同時取模得 ∣z?2i∣=2∣z∣=∣z∣2+1，即 ∣z∣2?2∣z∣+1=0，所以 ∣z∣=1．
18. 25
【解析】因為 z+ii=?3+4i，
所以 zi=?2+4i，
所以 ∣z∣=∣?2+4i∣∣i∣=4+16=25．
19. 2
【解析】因為 z?z=z2，且 z=2i1?i=22=2，
所以 z?z=2．
20. ?2?i
【解析】由圖可知 z1=?1+2i，又因為 z2z1=i，
所以 z2=iz1=i?1+2i=?2
13、?i．
21. ?3
【解析】z=a+i1+3i=a+i1?3i1+3i1?3i=a+3+1?3ai10，
由 z 是純虛數(shù)，則 a+3=0，故 a=?3．
22. 四
【解析】因為 z=11+i=1?i2=12?12i，
所以對應的點為 12,?12，故在第四象限．
23. ?2
【解析】由 za+2i=i 得 z=a+2i?i=?2+ai，又 z 實部和虛部相等，所以 a=?2．
24. 1
【解析】解法 1：因為復數(shù) z=3+4i5i=45?35i，
所以 ∣z∣=452+?352=1．
解法 2：根據(jù)復數(shù)的性質(zhì)：z1z2=z1z2 可得：∣z∣=3+4i
14、5i=∣3+4i∣∣5i∣=55=1．
25. 5
【解析】z=2i1?i?3i=2i1+i1?i1+i?3i=?2+2i2?3i=?1?2i，
所以 ∣z∣=?12+?22=5．
26. 5
【解析】由已知得，z=4+3ii=4+3iii2=?3+4i?1=3?4i，
則 z=32+?42=5．
27. 2
【解析】解法 1（定義法）z=21+i=1?i，所以 ∣z∣=2．
解法 2（復數(shù)模的性質(zhì)）對 1+iz=2 兩邊同時取模，即 ∣1+iz∣=2，結(jié)合模的運算性質(zhì)有 ∣1+i∣∣z∣=2，即 2∣z∣=2，所以 ∣z∣=2．
28. 1?i
【解析】先分母實
15、數(shù)化化簡復數(shù)，再根據(jù)共軛復數(shù)的定義確定結(jié)果．
29. ?1+i
【解析】原式=1+i226+2+3i3+2i32+22=i6+6+2i+3i?65=?1+i．
30. 1?2i
【解析】設 z=a+bia,b∈R，則 z=a?bi，
所以 2a+bi+a?bi=3?2i，整理得 3a+bi=3?2i，
所以 3a=3,b=?2, 解得 a=1,b=?2, 所以 z=1?2i．
31. 3
【解析】因為 ∣z?2∣=x?22+y2=3，
所以 x?22+y2=3．
由圖可知 yxmax=31=3．
32. 3
【解析】因為復數(shù) z=1+i2?i，
所以 z=
16、2?i+2i?i2=3+i，
所以復數(shù)的實部為 3．
33. （1） z=m2?2m?8+m2?3m?4i．
當 m2?3m?4=0 時，即 m=?1 或 m=4 時，z 為實數(shù)；
??????（2） 當 m2?3m?4≠0 時，即 m≠?1 且 m≠4 時，z 為虛數(shù)；
??????（3） m2?3m?4≠0,m2?2m?8=0 時，即 m=?2 時，z 為純虛數(shù)；
??????（4） m2?3m?4=0,m2?2m?8=0 時，即 m=4 時，z 為零．
34. （1） 因為 AO=?OA，所以 AO 所表示的復數(shù)為 ?3?2i．
因為 BC=AO，所以 BC 所表示的復數(shù)為 ?3?2i．
??????（2） 因為 CA=OA?OC，
所以 CA 所表示的復數(shù)為 3+2i??2+4i=5?2i．
??????（3） OB=OA+AB=OA+OC，
所以 OB 所表示的復數(shù)為 3+2i+?2+4i=1+6i，
即 B 點對應的復數(shù)為 1+6i．
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2023屆大一輪復習 第33講 復數(shù)（Word版含解析）
