2023屆大一輪復習 第28講 正弦定理、余弦定理的應用（Word版含解析）

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1、2023屆大一輪復習 第28講 正弦定理、余弦定理的應用 一、選擇題（共2小題） 1. 在 △ABC 中，AB=1，AC=3，AB?AC=?1，則 △ABC 的面積為 ?? A. 12 B. 1 C. 2 D. 22 2. 已知 △ABC 的內(nèi)角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c，若 2bcosB=acosC+ccosA，b=2，則 △ABC 面積的最大值是 ?? A. 1 B. 3 C. 2 D. 4 二、選擇題（共1小題） 3. 下列命題中，正確的是 ?? A. 在 △ABC 中，若 A>B，則 sinA>sinB B. 在銳角三角

2、形 ABC 中，不等式 sinA>cosB 恒成立 C. 在 △ABC 中，若 acosA=bcosB，則 △ABC 必是等腰直角三角形 D. 在 △ABC 中，若 B=60°，b2=ac，則 △ABC 必是等邊三角形 三、填空題（共9小題） 4. 在 △ABC 中，已知角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c．若 bsinAsinB+acos2B=2c，則 ac 的值為 ?． 5. 如圖，測量河對岸的塔高 AB 時，選與塔底 B 在同一水平面內(nèi)的兩個測點 C 與 D，測得 ∠BCD=30°，∠BDC=120°，CD=10?m，并

3、在點 C 測得塔頂 A 的仰角為 60°，則塔高 AB= ? m． 6. 在 △ABC 中，已知 C=120°，sinB=2sinA，且 △ABC 的面積為 23，則 AB 的長為 ?． 7. 已知 △ABC 的面積為 315，且 AC?AB=2，cosA=?14，則 BC 的長為 ?． 8. 在 △ABC 中，角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c，已知 5a=8b，A=2B，則 sinA?π4= ?． 9. 在 △ABC 中

4、，角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c，已知 sinA+sinB=54sinC，且 △ABC 的周長為 9，△ABC 的面積為 3sinC，則 c= ?，cosC= ?． 10. 如圖，為了測量兩座山峰上 P，Q 兩點之間的距離，選擇山坡上一段長度為 3003?m 且和 P，Q 兩點在同一平面內(nèi)的路段 AB 的兩個端點作為觀測點，現(xiàn)測得 ∠PAB=90°，∠PAQ=∠PBA=∠PBQ=60°，則 P，Q 兩點間的距離為 ? m． 11. 如圖，在 △ABC 中，D 是 BC

5、上的一點．已知 ∠B=60°，AD=2，AC=10，DC=2，則 AB= ?． 12. 如圖，在 △ABC 中，AB=3，AC=2，BC=4，點 D 在邊 BC 上，∠BAD=45°，則 tan∠CAD 的值為 ?． 四、解答題（共14小題） 13. 在① ac=3，② csinA=3，③ c=3b 這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求 c 的值；若問題中的三角形不存在，說明理由． 問題：是否存在 △ABC，它的內(nèi)角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c，且 sinA

6、=3sinB，C=π6， ?? 14. 如圖，在海岸 A 處，發(fā)現(xiàn)北偏東 45° 方向距 A 為 3?1 海里的 B 處有一艘走私船，在 A 處北偏西 75° 方向，距 A 為 2 海里的 C 處的緝私船奉命以 103 海里/時的速度追截走私船．此時走私船正以 10 海里/時的速度從 B 處向北偏東 30° 方向逃竄，問緝私船沿什么方向能最快追上走私船?并求出所需要的時間（注：6≈2.449）． 15. 如圖，在某港口 A 處獲悉，其正東方向距離 20 海里的 B 處有一艘漁船遇險等待營救，此時救援船在港口的南偏西 30° 距港口 10 海

7、里的 C 處，救援船接到救援命令立即從 C 處沿直線前往 B 處營救漁船． （1）求接到救援命令時救援船距漁船的距離； （2）試問救援船在 C 處應朝北偏東多少度的方向沿直線前往 B 處救援?（已知 cos49°=217） 16. 如圖，在 △ABC 中，已知點 D 在邊 AB 上，AD=3DB，cosA=45，cos∠ACB=513，BC=13． （1）求 cosB 的值； （2）求 CD 的長． 17. 如圖，在梯形 ABCD 中，已知 AD∥BC，AD=1，BD=210，∠CAD=π4，tan∠ADC=?2． （1）求 CD 的長； （2

8、）求 △BCD 的面積． 18. 如圖，在四邊形 ABCD 中，已知 AB=13，AC=10，AD=5，CD=65，AB?AC=50． （1）求 cos∠BAC 的值； （2）求 sin∠CAD 的值； （3）求 △BAD 的面積． 19. 已知 △ABC 的內(nèi)角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c，且 asin2B=2bsinA． （1）求 B 的大小． （2）若 cosC=55，求 sinA?C 的值． 20. 已知 △ABC 中，a，b，c 分別為三個內(nèi)角 A，B，C 的對邊，且 b2?233bcsinA+c2=a2． （1）求角 A

9、的大?。? （2）若 tanBtanC=3，且 a=2，求 △ABC 的周長． 21. 在 △ABC 中，角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c，已知 a=3，c=2，B=45°． （1）求 sinC 的值； （2）在邊 BC 上取一點 D，使得 cos∠ADC=?45，求 tan∠DAC 的值． 22. 在 △ABC 中，a=7，b=8，cosB=?17． （1）求 ∠A． （2）求 AC 邊上的高． 23. △ABC 的內(nèi)角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c，已知 asinA+C2=bsinA． （1）求 B． （2）若 △ABC 為銳

10、角三角形，且 c=1，求 △ABC 面積的取值范圍． 24. 在 △ABC 中，內(nèi)角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c．已知 b+c=2a，3csinB=4asinC． （1）求 cosB 的值． （2）求 sin2B+π6 的值． 25. 在 △ABC 中，角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c． （1）若 a=3c，b=2，cosB=23，求 c 的值． （2）若 sinAa=cosB2b，求 sinB+π2 的值． 26. △ABC 的內(nèi)角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c．已知 sinA+3cosA=0，a=27，b=2． （1）求

11、c． （2）設 D 為 BC 邊上一點，且 AD⊥AC，求 △ABD 的面積． 答案 1. C 【解析】AB=1，AC=3，AB?AC=∣AB∣?∣AC∣cosA=3cosA=?1， 所以 cosA=?13， 故 sinA=223，S=12AB?ACsinA=2． 2. B 【解析】由題意知 B=60°，由余弦定理，2x?π6=π2， 故 ac=a2+c2?4≥2ac?4，有 ac≤4， 故 S△ABC=12acsinB≤3． 3. A， B， D 【解析】對于A，在 △ABC 中，由正弦定理可得 asinA=bsinB，所以 sinA>sinB?

12、a>b?A>B，故A正確； 對于B，在銳角三角形 ABC 中，A,B∈0,π2，且 A+B>π2，則 π2>A>π2?B>0，所以 sinA>sinπ2?B=cosB，故B正確； 對于C，在 △ABC 中，由 acosA=bcosB，利用正弦定理可得 sin2A=sin2B，得到 2A=2B 或 2A=π?2B，故 A=B 或 A=π2?B，即 △ABC 是等腰三角形或直角三角形，故C錯誤； 對于D，在 △ABC 中，若 B=60°，b2=ac，由余弦定理可得，b2=a2+c2?2accosB，所以 ac=a2+c2?ac，即 a?c2=0，解得 a=c．又 B=60°，所以 △ABC

13、必是等邊三角形，故D正確． 4. 2 【解析】由正弦定理得，sinBsinAsinB+sinAcos2B=2sinC，即 sinAsin2B+cos2B=2sinC，即 sinA=2sinC，再由正弦定理得，ac=sinAsinC=2． 5. 30 【解析】在 △BCD 中，由正弦定理得 BC=sin120°sin30°?10=103m．在 Rt△ABC 中，AB=BCtan60°=30m． 6. 27 【解析】設角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c． 因為 sinB=2sinA，由正弦定理得 b=2a， 因為 △ABC 的面積為 23， 所以 S=12ab

14、sin120°=32a2=23，解得 a=2，所以 b=4， 則 AB=c=a2+b2?2abcosC=4+16?2×2×4cos120°=27． 7. 8 【解析】在 △ABC 中，cosA=?14，所以 sinA=1?cos2A=154， 由 S△ABC=12bcsinA=12bc×154=315 得 bc=24， 由余弦定理得 a2=b2+c2?2bccosA=b?c2+2bc?2bccosA=22+48+12=64, 即 a=8． 8. 17250 【解析】因為 5a=8b，所以由正弦定理可得 5sinA=8sinB，即 sinA=85sinB， 因為 A

15、=2B，所以 sinA=sin2B=2sinBcosB，則 85sinB=2sinBcosB， 因為 sinB>0，所以 cosB=45，則 sinB=1?cos2B=35，故 sinA=2425， 因為 A=2B，所以 cosA=cos2B=2cos2B?1=725，所以 sinA?π4=sinAcosπ4?cosAsinπ4=17250． 9. 4，?14 【解析】△ABC 中，角 A，B，C，所對邊分別是 a，b，c，已知 sinA+sinB=54sinC，則 a+b=5c4，且 △ABC 的周長為 9，則：c+5c4=9，解得 c=4． 若 △ABC 的面積等于 3sinC

16、，則 12absinC=3sinC，整理得 ab=6，由于 a+b=5c4=5， 故 a+b=5,ab=6, 解得 a=2,b=3 或 a=3,b=2, 所以 cosC=a2+b2?c22ab=?14． 10. 900 【解析】由已知，得 ∠QAB=∠PAB?∠PAQ=30°． 又 ∠PBA=∠PBQ=60°， 所以 ∠AQB=30°， 所以 AB=BQ． 又 PB 為公共邊， 所以 △PAB≌△PQB， 所以 PQ=PA． 在 Rt△PAB 中，AP=AB?tan60°=900m， 故 PQ=900?m， 所以 P，Q 兩點間的距離為 900?m． 11.

17、263 【解析】在 △ACD 中，因為 AD=2，AC=10，DC=2， 所以 cos∠ADC=2+4?102×2×2=?22，從而 ∠ADC=135°， 所以 ∠ADB=45°． 在 △ADB 中，ABsin45°=2sin60°， 所以 AB=2×2232=263． 12. 8+157 【解析】由余弦定理得 cos∠BAC=AB2+AC2?BC22AB×AC=?14， 所以 tan∠BAC=?1cos2∠BAC?1=?15． 所以 tan∠CAD=tan∠BAC?45°=tan∠BAC?tan45°1+tan∠BAC?tan45°=8+157． 13. 解法

18、一：由 sinA=3sinB 可得：ab=3， 不妨設 a=3m，b=mm>0， 則：c2=a2+b2?2abcosC=3m2+m2?2×3m×m×32=m2，即 c=m． 選擇條件①：據(jù)此可得 ac=3m×m=3m2=3， 所以 m=1，此時 c=m=1． 選擇條件②：據(jù)此可得：cosA=b2+c2?a22bc=m2+m2?3m22m2=?12， 則：sinA=1??122=32，此時：csinA=m×32=3， 則：c=m=23． 選擇條件③：可得 cb=mm=1，c=b， 與條件 c=3b 矛盾，則問題中的三角形不存在． 解法二：因為 sinA=3sinB，C=π6，

19、B=π?A+C， 所以 sinA=3sinA+C=3sinA+π6，sinA=3sinA+C=3sinA×32+3cosA×12， 所以 sinA=?3cosA，所以 tanA=?3， 所以 A=2π3，所以 B=C=π6， 若選①，ac=3，因為 a=3b=3c， 所以 3c2=3，所以 c=1； 若選②，csinA=3，則 3c2=3，c=23； 若選③，與條件 c=3b 矛盾． 14. 設緝私船應沿 CD 方向行駛 t 小時，才能最快截獲（在 D 點）走私船， 則有 CD=103t（海里），BD=10t（海里）． 在 △ABC 中，因為 AB=3?1 海里，AC=2

20、 海里，∠BAC=45°+75°=120°， 根據(jù)余弦定理，可得 BC=3?12+22?2×2×3?1cos120°=6（海里）． 根據(jù)正弦定理，可得 sin∠ABC=ACsin120°BC=2×326=22． 所以 ∠ABC=45°，易知 CB 方向與正北方向垂直，從而 ∠CBD=90°+30°=120°． 在 △BCD 中，根據(jù)正弦定理，可得 sin∠BCD=BDsin∠CBDCD=10t?sin120°103t=12， 所以 ∠BCD=30°，∠BDC=30°， 所以 BD=BC=6（海里）， 則有 10t=6，t=610≈0.245 小時 =14.7 分鐘． 故緝私船沿

21、北偏東 60° 方向，需 14.7 分鐘才能追上走私船． 15. （1） 由題意可知在三角形 ABC 中，AB=20，AC=10，∠CAB=120°， 因為 CB2=AB2+AC2?2AB?AC?cos∠CAB=202+102?2×20×10×cos120°=700, 所以 BC=107． 所以接到救援命令時救援船距離漁船的距離為 107 海里． ??????（2） 三角形 ABC 中，AB=20，BC=107，∠CAB=120°， 由正弦定理得 ABsin∠ACB=BCsin∠CAB，即 20sin∠ACB=107sin120°， 所以 sin∠ACB=217．因為 co

22、s49°=sin41°=217， 所以 ∠ACB=41°，故救援船應沿北偏東 71° 的方向救援． 16. （1） 在 △ABC 中，cosA=45，A∈0,π， 所以 sinA=1?cos2A=35． 同理可得，sin∠ACB=1213． 所以 cosB=cosπ?A+∠ACB=?cosA+∠ACB=sinAsin∠ACB?cosAcos∠ACB=35×1213?45×513=1665. ??????（2） 在 △ABC 中，由正弦定理得，AB=BCsinAsin∠ACB=1335×1213=20． 又 AD=3DB， 所以 DB=14AB=5． 在 △BCD 中，由余

23、弦定理得， CD=BD2+BC2?2BD?BCcosB=52+132?2×5×13×1665=92. 17. （1） 因為 tan∠ADC=?2， 所以 sin∠ADC=255，cos∠ADC=?55， 所以 sin∠ACD=sinπ?∠ADC?π4=sin∠ADC+π4=sin∠ADC?cosπ4+cos∠ADC?sinπ4=1010． 在 △ADC 中，由正弦定理得 CD=AD?sin∠DACsin∠ACD=5． ??????（2） 因為 AD∥BC， 所以 cos∠BCD=?cos∠ADC=55． 在 △BDC 中，由余弦定理知 BD2=BC2+CD2?2?BC?CD?

24、cos∠BCD， 得 BC2?2BC?35=0，解得 BC=7． 所以 S△BCD=12×7×5×sin∠BCD=12×7×5×255=7． 18. （1） 因為 AB?AC=∣AB∣∣AC∣cos∠BAC， 所以 cos∠BAC=AB?AC∣AB∣∣AC∣=5013×10=513． ??????（2） 在 △ADC 中，AC=10，AD=5，CD=65， 由余弦定理，得 cos∠CAD=AC2+AD2?CD22AC?AD=102+52?6522×10×5=35． 因為 ∠CAD∈0,π， 所以 sin∠CAD=1?cos2∠CAD=1?352=45． ??????（3） 由

25、（1）知，cos∠BAC=513． 因為 ∠BAC∈0,π， 所以 sin∠BAC=1?cos2∠BAC=1?5132=1213． 從而 sin∠BAC=sin∠BAC+∠CAD=sin∠BACcos∠CAD+cos∠BACsin∠CAD=1213×35+513×45=5665. 所以 S△BAD=12AB?AD?sin∠BAD=12×13×5×5665=28． 19. （1） 由正弦定理得：sinAsin2B=2sinBsinA，即 2sinAsinBcosB=2sinBsinA,???? 因為 A,B∈0,π， 所以 ? 可化簡為 cosB=22， 所以 B=π4．

26、 ??????（2） 由（1）知 cosB=22，可得 sinB=22， 因為 cosC=55>0，C∈0,π， 所以 sinC=255>0． cosA=cosπ?B+C=?cosB+C=?cosBcosC+sinCsinB=?22×55+255×22=1010. 因為 A∈0,π， 所以 sinA=31010， sinA?C=sinAcosC?sinCcosA=31010×55?255×1010=210. 20. （1） 由余弦定理得 a2=b2?2bccosA+c2． 又 b2?233bcsinA+c2=a2， 所以 b2?2bccosA+c2=b2?233bcs

27、inA+c2，即 2bccosA=233bcsinA． 從而 sinA=3cosA，若 cosA=0，則 sinA=0，與 sin2A+cos2A=1 矛盾， 所以 cosA≠0， 所以 tanA=3． 又 A∈0,π， 所以 A=π3． ??????（2） tanB+tanC1?tanBtanC=tanB+C=tanπ?A=tan2π3=?3． 又 tanBtanC=3， 所以 tanB+tanC=?3×?2=23，解得 tanB=tanC=3． 又 B,C∈0,π， 所以 B=C=π3， 又因為 A=π3， 所以 △ABC 是正三角形． 由 a=2 得 △ABC

28、的周長為 6． 21. （1） 由余弦定理得 b2=a2+c2?2accosB=9+2?2×3×2×22=5， 所以 b=5． 由正弦定理得 csinC=bsinB?sinC=csinBb=55． ??????（2） 由于 cos∠ADC=?45，∠ADC∈π2,π ， 所以 sin∠ADC=1?cos2∠ADC=35 . 由于 ∠ADC∈π2,π， 所以 C∈0,π2， 所以 cosC=1?sin2C=255． 所以 sin∠DAC=sinπ?∠DAC=sin∠ADC+∠C=sin∠ADC?cosC+cos∠ADC?sinC=35×255+?45×55=2525.

29、由于 ∠DAC∈0,π2， 所以 cos∠DAC=1?sin2∠DAC=11525． 所以 tan∠DAC=sin∠DACcos∠DAC=211． 22. （1） 在 △ABC 中， 因為 cosB=?17， 所以 B∈π2,π， 所以 sinB=1?cos2B=437． 由正弦定理得 asinA=bsinB?7sinA=8437， 所以 sinA=32． 因為 B∈π2,π， 所以 A∈0,π2， 所以 ∠A=π3． ??????（2） 在 △ABC 中， sinC=sinA+B=sinAcosB+sinBcosA=32×?17+12×437=3314. 如圖

30、所示，在 △ABC 中， 因為 sinC=?BC， 所以 ?=BC?sinC=7×3314=332， 所以 AC 邊上的高為 332． 23. （1） 由題設及正弦定理得 sinAsinA+C2=sinBsinA． 因為 sinA≠0， 所以 sinA+C2=sinB． 由 A+B+C=180°，可得 sinA+C2=cosB2，故 cosB2=2sinB2cosB2． 因為 cosB2≠0，故 sinB2=12， 因此 B=60°． ??????（2） 由題設及（1）知 △ABC 的面積 S△ABC=34a． 由正弦定理得 a=csinAsinC=sin120°?C

31、sinC=32tanC+12． 由于 △ABC 為銳角三角形，故 0°

32、a?23a=?14． ??????（2） 由（1）可得 sinB=1?cos2B=154， 從而 sin2B=2sinBcosB=?158，cos2B=cos2B?sin2B=?78， 故 sin2B+π6=sin2Bcosπ6+cos2Bsinπ6=?158×32?78×12=?35+716. 25. （1） 因為 a=3c，b=2，cosB=23， 由余弦定理 cosB=a2+c2?b22ac，得 23=3c2+c2?222×3c×c，即 c2=13． 所以 c=33． ??????（2） 因為 sinAa=cosB2b， 由正弦定理 asinA=bsinB，得 cos

33、B2b=sinBb， 所以 cosB=2sinB． 從而 cos2B=2sinB2，即 cos2B=41?cos2B，故 cos2B=45． 因為 sinB>0， 所以 cosB=2sinB>0，從而 cosB=255． 因此 sinB+π2=cosB=255． 26. （1） 由已知可得 tanA=?3， 所以 A=2π3． 在 △ABC 中，由余弦定理得 28=4+c2?4ccos2π3， 即 c2+2c?24=0． 解得 c=?6（舍去），c=4． ??????（2） 由題設可得 ∠CAD=π2， 所以 ∠BAD=∠BAC?∠CAD=π6． 故 △ABD 面積與 △ACD 面積的比值為 12AB?AD?sinπ612AC?AD=1． 又 △ABC 的面積為 12×4×2sin∠BAC=23， 所以 △ABD 的面積為 3． 第13頁（共13 頁）