上海市浦東新區(qū)高三下學(xué)期4月高考預(yù)測數(shù)學(xué)理試題

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上海市浦東新區(qū)2013屆高三下學(xué)期4月高考預(yù)測 數(shù)學(xué)理試題 注意：1. 答卷前，考生務(wù)必在答題紙上指定位置將姓名、學(xué)校、考號填寫清楚. 2. 本試卷共有23道試題，滿分150分，考試時間120分鐘. 一、填空題（本大題滿分56分，每小題4分）；本大題共有14小題，考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個空格填對得4分，否則一律得零分. 1．已知復(fù)數(shù)滿足（其中i為虛數(shù)單位），則= . 2．已知集合A＝，B＝，且，則實數(shù)a的值是 . 3．某學(xué)校高一、高二、高三年級的學(xué)生人數(shù)之比為，現(xiàn)用分層抽樣的方法從該校高中三個年級的學(xué)生中抽取容量為50的樣本，則應(yīng)從高二年級抽取 名學(xué)生. 4．函數(shù)與的圖像關(guān)于直線對稱，則 . 5．把三階行列式中第1行第3列元素的代數(shù)余子式記為，則關(guān)于 的不等式的解集為 . 6．若雙曲線的漸近線方程為，它的一個焦點是，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是 . 7．若直線與圓有公共點，則實數(shù)的取值范圍是 . 8．記直線：（）與坐標(biāo)軸所圍成的直角三角形的面積為，則 . 9．在中，角A、B、C所對的邊分別為、、，若，則 . 10．若等式對一切都成立，其中，，，…，為實常數(shù)，則＝ . 11．方程在區(qū)間上解的個數(shù)為 . 12．某人從標(biāo)有1、2、3、4的四張卡片中任意抽取兩張.約定如下：如果出現(xiàn)兩個偶數(shù)或兩個奇數(shù)，就將兩數(shù)相加的和記為；如果出現(xiàn)一奇一偶，則將它們的差的絕對值記為，則隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為 . 13．如果是函數(shù)圖像上的點，是函數(shù)圖像上的點，且兩點之間的距離能取到最小值，那么將稱為函數(shù)與之間的距離.按這個定義，函數(shù)和之間的距離是 . 14．?dāng)?shù)列滿足（）． ①存在可以生成的數(shù)列是常數(shù)數(shù)列； ②“數(shù)列中存在某一項”是“數(shù)列為有窮數(shù)列”的充要條件； ③若為單調(diào)遞增數(shù)列，則的取值范圍是； ④只要，其中，則一定存在； 其中正確命題的序號為 . 二、選擇題（本大題共有4題，滿分20分）； 每小題都給出四個選項，其中有且只有一個選項是正確的，選對得 5分，否則一律得零分. 15．“a＝1”是“直線l1：ax＋2y－1＝0與直線l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的 （ ） 充分不必要條件 必要不充分條件 充分必要條件 既不充分也不必要條件 16．已知則與的夾角為 （ ） 17．已知以為周期的函數(shù)，其中。若方程恰有5個實數(shù)解，則的取值范圍為 （ ） ． 18．從集合中任取3個元素組成一個集合，記中所有元素之和被3除余數(shù)為的概率為，則的大小關(guān)系為 （ ） 三、解答題（本大題共有5題，滿分74分）；解答下列各題必須寫出必要的步驟． 19．（本題滿分12分）本題共有2個小題，第（1）小題滿分6分，第（2）小題滿分6分. 如圖，已知正四棱柱的底面邊長是，體積是，分別是棱、的中點． （1）求直線與平面所成的角（結(jié)果用反三角函數(shù)表示）； （2）求過的平面與該正四棱柱所截得的多面體的體積． 20．（本題滿分14分）本題共有2個小題，第（1）小題滿分5分，第（2）小題滿分9分. 已知向量向量與向量的夾角為，且。 （1）求向量 ； （2）若向量與共線，向量，其中、為的內(nèi)角，且、、依次成等差數(shù)列，求的取值范圍． 21．（本題滿分14分）本題共有2個小題，第（1）小題滿分6分，第（2）小題滿分8分. 設(shè)函數(shù) （1）當(dāng)，畫出函數(shù)的圖像，并求出函數(shù)的零點； （2）設(shè)，且對任意，恒成立，求實數(shù)的取值范圍. 22．（本題滿分16分）本題共有3個小題，第（1）小題滿分4分，第（2）小題滿分6分，第（3）小題滿分6分. 已知直角的三邊長，滿足 （1）在之間插入2011個數(shù)，使這2013個數(shù)構(gòu)成以為首項的等差數(shù)列，且它們的和為，求的最小值； （2）已知均為正整數(shù)，且成等差數(shù)列，將滿足條件的三角形的面積從小到大排成一列，且，求滿足不等式的所有的值； （3）已知成等比數(shù)列，若數(shù)列滿足，證明：數(shù)列中的任意連續(xù)三項為邊長均可以構(gòu)成直角三角形，且是正整數(shù). 23．（本題滿分18分）本題共有3個小題，第（1）小題滿分4分，第（2）小題滿分6分，第（3）小題滿分8分. （1）設(shè)橢圓：與雙曲線：有相同的焦點，是橢圓與雙曲線的公共點，且的周長為，求橢圓的方程； 我們把具有公共焦點、公共對稱軸的兩段圓錐曲線弧合成的封閉曲線稱為“盾圓”. x y o 3 （2）如圖，已知“盾圓”的方程為.設(shè)“盾圓”上的任意一點到的距離為，到直線的距離為，求證：為定值； （3）由拋物線?。海ǎ┡c第（1）小題橢圓弧：（）所合成的封閉曲線為“盾圓”.設(shè)過點的直線與“盾圓”交于兩點，，且（），試用表示；并求的取值范圍. 浦東新區(qū)2013年高考預(yù)測 數(shù)學(xué)試卷答案 一、填空題（本大題滿分56分，每小題4分）；本大題共有14小題，考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個空格填對得4分，否則一律得零分. 1．； 2．1； 3．20； 4．4； 5．； 6．； 7．； 8．； 9．4； 10． 11．4； 12． 13． 14．①④。 二、選擇題（本大題共有4題，滿分20分）； 每小題都給出四個選項，其中有且只有一個選項是正確的，選對得 5分，否則一律得零分. 15． ； 16． ； 17． 18． 。 三、解答題（本大題共有5題，滿分74分）；解答下列各題必須寫出必要的步驟． 19． 解：（1）連結(jié)，， 直線與平面所成的角等于直線與平面所成的角. 連結(jié),連結(jié)， 是直線與平面所成的角.……………………………2分 中，，…………………………………………4分 . 直線與平面所成的角等于.……………………6分 （2）正四棱柱的底面邊長是，體積是， .………………………………………………………………………8分 ； ，……………………11分 多面體的體積為.……………………………………12分 （文）（1）連結(jié),， 就是異面直線與所成角.…………………………………2分 在，………………………………4分 ，. 所以異面直線與所成角為. …………………………6分 20． 解：（1）設(shè).由，得 ①………………………2分 又向量與向量的夾角為，得 ②……………………………4分 由①、②解得或，或.………………5分 （2）向量與共線知；……………………………………………6分 由知.………………………7分 ， ……………………………8分 …………………………9分 .………11分 ，…………12分 得，即，…………………………13分 .…………………………………………………………14分 21．解：（1），………………………………………2分 畫圖正確.…………………………………………………………………………4分 當(dāng)時，由，得，此時無實根； 當(dāng)時，由，得，得. 所以函數(shù)的零點為.………………………………………………………6分 （2）由＜0得，. 當(dāng)時，取任意實數(shù)，不等式恒成立.…………………………………8分 當(dāng)時，.令，則在上單調(diào)遞增， ∴；……………………………………………………10分 當(dāng)時，，令， 則在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減. ∴ .…………………………………………………12分 綜合 .……………………………………………………………………14分 （文）（2）當(dāng)時，取任意實數(shù)，不等式恒成立；………………………8分 當(dāng)時，，令，則在上單調(diào)遞增， ∴；……………………………………………………10分 當(dāng)時，，令， 則在上單調(diào)遞減，單調(diào)遞增； ∴.……………………………………………12分 綜合 .……………………………………………………………………14分 22．解：（1）是等差數(shù)列，∴，即.………2分 所以，的最小值為；……………………………4分 （2）設(shè)的公差為，則……5分 設(shè)三角形的三邊長為，面積，， .………………………………7分 由得， 當(dāng)時，， 經(jīng)檢驗當(dāng)時，，當(dāng)時，.………9分 綜上所述，滿足不等式的所有的值為2、3、4.……………10分 （3）證明：因為成等比數(shù)列，. 由于為直角三角形的三邊長，知，，………11分 又，得， 于是 .…………12分 ，則有. 故數(shù)列中的任意連續(xù)三項為邊長均可以構(gòu)成直角三角形.……………14分 因為 ， ，……………………………………………………15分 由，同理可得， 故對于任意的都有是正整數(shù).………………………………………16分 （文）（2）設(shè)的公差為，則， .…5分 設(shè)三角形的三邊長為， 面積，，………………………………7分 當(dāng)為偶數(shù)時， ; 當(dāng)為奇數(shù)時，;……9分 綜上，.……………………………………………………10分 （3）證明：因為成等比數(shù)列，.………………………………………11分 由于為直角三角形的三邊長，知，，………12分 又,得.……13分 于是 .……………14分 , 則有.……………………15分 故數(shù)列中的任意連續(xù)三項為邊長均可以構(gòu)成直角三角形.……………16分 23． 解：（1）由的周長為得， 橢圓與雙曲線：有相同的焦點，所以， 即，，橢圓的方程；…………………4分 （2）證明：設(shè)“盾圓”上的任意一點的坐標(biāo)為，.………5分 當(dāng)時，，， 即；…………………………7分 當(dāng)時，，， 即；…………………………9分 所以為定值；…………………………………………………………10分 （3）顯然“盾圓”由兩部分合成，所以按在拋物線弧或橢圓弧上加以分類，由“盾圓”的對稱性，不妨設(shè)在軸上方（或軸上）： x y o 當(dāng)時，，此時，；……………………11分 當(dāng)時，在橢圓弧上， 由題設(shè)知代入得， ， 整理得， 解得或（舍去）. …12分 當(dāng)時在拋物線弧上， 由方程或定義均可得到，于是， 綜上，（）或（）； 相應(yīng)地，，…………………………………………14分 當(dāng)時在拋物線弧上，在橢圓弧上， ；……………………15分 當(dāng)時在橢圓弧上，在拋物線弧上， ；……………………16分 當(dāng)時、在橢圓弧上， ；…………………………17分 綜上的取值范圍是.…………………………………………………18分 （文）（3）因為“盾圓”關(guān)于軸對稱，設(shè)于是， 所以面積，………………………………………………………11分 按點位置分2種情況： ①當(dāng)在拋物線弧（）上時， 設(shè)所在的直線方程（）， 聯(lián)立，得，同理， 面積，所以；………………14分 ②當(dāng)在橢圓弧上時， 于是聯(lián)立，得； 即，由， 當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪?，所以，………………………………?7分 綜上等腰面積的最大值為.…………………………………………18分 ·12·