第4章 剛體的轉(zhuǎn)動

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1、第四章 剛體的轉(zhuǎn)動 ? 剛體是一個理想化的力學(xué)模型，它是指各部分的相對位置在運(yùn)動中（無論有無外力作用）均保持不變的物體。即運(yùn)動過程中沒有形變的物體。 本章主要內(nèi)容：剛體定軸轉(zhuǎn)動定律；力矩和轉(zhuǎn)動慣量；角動量定理和角動量守恒定律剛體定軸轉(zhuǎn)動動能定理。 重點(diǎn)：基本概念（定軸轉(zhuǎn)動、轉(zhuǎn)動慣量、力矩、角速度、角加速度等）；剛體的定軸轉(zhuǎn)動定律；轉(zhuǎn)動慣量的計(jì)算。 難點(diǎn)：剛體的定軸轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用 第一節(jié) 剛體的平動、轉(zhuǎn)動和定軸轉(zhuǎn)動 剛體運(yùn)動研究的基礎(chǔ)：剛體由無數(shù)個連續(xù)分布的質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，每個質(zhì)點(diǎn)稱為剛體的一個質(zhì)量元。每個質(zhì)點(diǎn)都服從質(zhì)點(diǎn)力學(xué)規(guī)律。 剛體的運(yùn)動：平動和轉(zhuǎn)動。任何復(fù)雜的運(yùn)動為兩者

2、的疊加。 一、剛體的運(yùn)動 1. 平動 剛體上任一給定直線（或任意二質(zhì)點(diǎn)間的連線）在運(yùn)動中空間方向始終不變而保持平行。 平動 轉(zhuǎn)動 2. 轉(zhuǎn)動 如果剛體上所有的質(zhì)點(diǎn)都繞同一直線作圓周運(yùn)動，這種運(yùn)動稱剛體的轉(zhuǎn)動，這條直線稱轉(zhuǎn)軸。 （1）定軸轉(zhuǎn)動：轉(zhuǎn)軸相對參考系靜止。 （2）定點(diǎn)轉(zhuǎn)動：轉(zhuǎn)軸上只有一點(diǎn)相對參考系靜止，轉(zhuǎn)動方向不斷變動。 （3）剛體的一般運(yùn)動可以看作是平動和轉(zhuǎn)動的疊加。 二、剛體轉(zhuǎn)動的角速度和角加速度 定軸轉(zhuǎn)動的特征：剛體上不同點(diǎn)的不同，但相同。如何更好地描述這些特征呢？ 1. 角位置，角坐標(biāo)、角速度

3、（標(biāo)量） （1）角位置q：位矢與ox軸的夾角。 （2）角位移dq：dt時間內(nèi)角位置的增量。定軸轉(zhuǎn)動的只有兩個轉(zhuǎn)動方向，對dq，我們規(guī)定：位矢從ox軸逆時針方向轉(zhuǎn)動時角位置為正，反之，為負(fù)。 （3）角速度w： 2. 角速度和角加速度（矢量，后面應(yīng)用） （1）角速度矢量 一般情況下，角速度用矢量表示，而且，其方向與剛體的轉(zhuǎn)動方向滿足右手螺旋關(guān)系。 質(zhì)元的速度： （2）角加速度矢量： 大小： 方向：為加速轉(zhuǎn)動，與同向； 為減速轉(zhuǎn)動，與反向； 3. 線量與角量的關(guān)系（第一章已經(jīng)介紹） 178、179頁兩個例題較容易，請自學(xué)。 第九講 第二節(jié) 剛體的角動

4、量 轉(zhuǎn)動動能 轉(zhuǎn)動慣量 在討論質(zhì)點(diǎn)相對于空間某一定點(diǎn)的運(yùn)動時，我們用角動量來描述物體的運(yùn)動狀態(tài)。角動量是一個很重要的概念，在轉(zhuǎn)動問題中，它所起的作用和(線)動量所起的作用相類似。 在研究力對空間的累積作用時，引出動能定理，從而得到機(jī)械能守恒定律和能量守恒定律。至于力矩對時間的累積作用，可得出角動量定理和角動量守恒定律；而力矩對空間的累積作用，則可得出剛體的轉(zhuǎn)動動能定理，本節(jié)主要討論的是繞定軸轉(zhuǎn)動的剛體的角動量、轉(zhuǎn)動動能、轉(zhuǎn)動慣量。 一、剛體的角動量： 1. 質(zhì)點(diǎn)的角動量 如圖，質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)位于A點(diǎn)，相對原點(diǎn)O的位矢為，并具有動量（速度）。 定義：該質(zhì)點(diǎn)對原點(diǎn)O的角動量為

5、 即 大小： 方向：垂直于和（或）的平面，并遵守右手螺旋法則。 單位：（千克二次方米每秒） 注意： （1）質(zhì)點(diǎn)的角動量是與和有關(guān)的，即與參考點(diǎn)O的選擇有關(guān)。因此在講述質(zhì)點(diǎn)的角動量時，必須指明是對哪一參考點(diǎn)而言。 （2）若質(zhì)點(diǎn)在作半徑為r的圓周運(yùn)動，則對圓心O的角動量的大小為，方向與相同。 （3）角動量的概念，在大到天體的運(yùn)動，小到質(zhì)子、電子的運(yùn)動的描述中，都要應(yīng)用到。 例如，電子繞核運(yùn)動，具有軌道角動量，電子本身還有自旋運(yùn)動，具有自旋角動量等等。原子、分子和原子核系統(tǒng)的基本性質(zhì)之一，是它們的角動量僅具有一定的不連續(xù)的量值。這叫做角動量的量子化。因此，在這種系統(tǒng)的性質(zhì)的描述中，角

6、動量起著主要的作用。 2.剛體的角動量： 如圖（見書P180圖4-7），以角速度w繞定軸Oz轉(zhuǎn)動的一根均勻細(xì)棒，把細(xì)棒分成許多質(zhì)點(diǎn)，其中第i個質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量Δmi繞軸作半徑為r的圓周運(yùn)動相對于O點(diǎn)的位置Ri，它對O點(diǎn)的角動量為： ΔLi=Ri×(Δmivi) 因vi垂直Ri，所以的ΔLi大小 ΔLi=ΔmiRivi，方向如圖（見書P180圖4-7）；剛體對O點(diǎn)的總角動量（剛體繞定軸的角動量）L的方向和每個Lz的方向一致。ΔLiz=ΔLicosθ，因此： Lz=ΣΔLicosθ=ΣmiRivicosθ=ΣΔmirivi=(ΣΔmiri2) w 式中(ΣΔmiri2) w 叫做剛體對OZ

7、軸的轉(zhuǎn)動慣量。則剛體的角動量和剛體的轉(zhuǎn)動慣量表達(dá)式： J=ΣΔmiri2 Lz=Jw 推廣：如右圖，一剛體以角速度w繞定軸Oz轉(zhuǎn)動，則其上每一個質(zhì)點(diǎn)都以相同的角速度繞軸Oz作圓周運(yùn)動，任一質(zhì)點(diǎn)對軸Oz的角動量為，于是剛體上所有質(zhì)點(diǎn)對軸Oz的角動量，即剛體對定軸Oz的角動量為： ， 其中為剛體繞軸Oz的轉(zhuǎn)動慣量，所以剛體對定軸Oz的角動量為： 二、剛體轉(zhuǎn)動慣量： 1. 定義 剛體繞給定軸的轉(zhuǎn)動慣量 J 等于剛體中每個質(zhì)元的質(zhì)量與該質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸距離的平方的乘積之總和。 它與剛體的形狀、質(zhì)量分布以及轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)，也

8、就是說，它只與繞定軸轉(zhuǎn)動的剛體本身的性質(zhì)和轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)。 2. 物理意義：轉(zhuǎn)動慣量是描述剛體在轉(zhuǎn)動中的慣性大小的物理量。 3. 單位： 4. 轉(zhuǎn)動慣量的計(jì)算：點(diǎn)→線→面→體 （1） 如果剛體上的質(zhì)點(diǎn)是連續(xù)規(guī)則分布的，則其轉(zhuǎn)動慣量可以用積分進(jìn)行計(jì)算，即； （2）幾何形狀不規(guī)則剛體的J，由實(shí)驗(yàn)測定。 （3）回轉(zhuǎn)半徑為剛體的總質(zhì)量。 5. 幾種常見剛體的轉(zhuǎn)動慣量見表4-2。(p.185，10個公式全部記憶 三、剛體的轉(zhuǎn)動動能： 剛體轉(zhuǎn)動時的動能，是組成剛體的各個質(zhì)點(diǎn)的動能之和。 設(shè)剛體上各質(zhì)元質(zhì)量速率到轉(zhuǎn)軸的垂直距離當(dāng)剛體以角速率w 繞定軸轉(zhuǎn)動時，第i個質(zhì)元的動能為。整個剛體的

9、動能為 。因此，即剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動動能等于剛體的轉(zhuǎn)動慣量與角速度二次方的乘積的一半。其形式與質(zhì)點(diǎn)動能的相似。 平動與轉(zhuǎn)動相應(yīng)物理量的比較： 平動： 平動動能 mv2/2 線動量mv 轉(zhuǎn)動： 轉(zhuǎn)動動能 角動量Jw 例4-1：（p.178） 例4-2：（p.179） 例4-3（P。182） 例4-4（P。184） 習(xí)題：P。219第2、4、6題 第三節(jié) 力矩 剛體定軸轉(zhuǎn)動定律 思考：剛體為什么會轉(zhuǎn)動？剛體轉(zhuǎn)動狀態(tài)改變的規(guī)律是什么？ 一、力矩 舉例：門的轉(zhuǎn)動 如圖剛體的一個橫截

10、平面，可繞通過點(diǎn)O且垂直于該平面的轉(zhuǎn)軸Oz旋轉(zhuǎn)。作用在剛體內(nèi)點(diǎn)P上的力亦在此平面內(nèi)。從轉(zhuǎn)軸與截面的交點(diǎn)O到力的作用線的垂直距離d叫做力對轉(zhuǎn)軸的力臂，力的大小F和力臂d的乘積，就叫做力對轉(zhuǎn)軸的力矩M： 為由點(diǎn)O到力的作用點(diǎn)P的矢徑，q為徑矢與力之間的夾角。上述力矩大小為：。 力矩不僅有大小，而且有方向。 1. 力矩的矢量式 （1）力在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi) ，大?。海较颍簼M足右手螺旋關(guān)系，垂直于與所構(gòu)成的平面。 （2）一般情況下，其中為平行轉(zhuǎn)軸的分力，為垂直轉(zhuǎn)軸的分力，這時只有能改變剛體的定軸轉(zhuǎn)動狀態(tài)，因此有： 大小為：M=F⊥rsinφ= F⊥d （3）單位： 2.

11、 合力矩 3. 注意 （1）與轉(zhuǎn)動垂直但通過轉(zhuǎn)軸的力對轉(zhuǎn)動不產(chǎn)生力矩； （2）與轉(zhuǎn)軸平行的力對轉(zhuǎn)軸不產(chǎn)生力矩； （3）剛體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)間內(nèi)力對轉(zhuǎn)軸不產(chǎn)生力矩。 （4）對于剛體的定軸轉(zhuǎn)動，不同的力作用于剛體上的不同位置（或不同作用方向）可以產(chǎn)生相同的效果。 二、定軸轉(zhuǎn)動定律 1. 定律的推導(dǎo) 如圖所示，剛體上某一質(zhì)點(diǎn)i，質(zhì)量為，繞Oz軸作半徑為的圓周運(yùn)動。設(shè)質(zhì)點(diǎn)i受外力和剛體中其它質(zhì)點(diǎn)作用的內(nèi)力的作用，并設(shè)這兩種力均在與Oz軸相垂直的同一平面內(nèi)。由牛頓第二定律，質(zhì)點(diǎn)i的運(yùn)動方程為： 切向方程為： 法向方程為： 上式兩邊各乘以，得： 外力矩 內(nèi)力矩 若考慮所有質(zhì)點(diǎn)

12、，則由可得 令，它為剛體所受的外力矩，因?yàn)檗D(zhuǎn)動慣量，則有： 2. 剛體定軸轉(zhuǎn)動定律表述 表述一：在總外力矩Mz的作用下，所獲得的角加速度α與總外力矩的大小成正比，并與剛體對此定軸的轉(zhuǎn)動慣量成反比，這個關(guān)系叫剛體定軸轉(zhuǎn)動定律。=Jdω/dt 表述二：剛體所受到的對某給定軸的總外力矩等于剛體對該軸的角動量的時間變化率Mz=d(Jω)/dt=dLz/dt。 3. 討論 （1）和牛頓第二定律相比較，地位相當(dāng)； （2）瞬時性。同一時刻對同一剛體，同一轉(zhuǎn)軸而言。 （3）定軸轉(zhuǎn)動情況下，可以使用雙向標(biāo)量來處理。 ) 三、平行軸定理 剛體繞任何一軸的轉(zhuǎn)動慣量J和繞通過其質(zhì)心平

13、行軸的轉(zhuǎn)動慣量JC的關(guān)系： 兩軸平行；? JC 為剛體繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量； d為兩平行軸間距離。 思考：如何證明平行軸定理（利用質(zhì)心的定義）。? 例4-5、4-6：（p.189-192） 作業(yè)：221頁第11題，222第13、14題。 第四節(jié) 定軸轉(zhuǎn)動的動能定理 本節(jié)通過考慮力對空間的累積作用而引出動能定理。 一、力矩作功 當(dāng)剛體在外力矩的作用下繞定軸轉(zhuǎn)動而發(fā)生角位移時，力矩對剛體作了功。 1. 力矩所作的元功 如圖，設(shè)剛體在

14、切向力的作用下，繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)過的角位移為。則力的作用點(diǎn)位移的值為。由功的定義得力在這段位移內(nèi)所作的功為 考慮對轉(zhuǎn)軸的力矩為，所以力矩所作的元功為：。可見，力矩所作的元功等于力矩與角位移乘積。 2. 恒力矩所作的功 即恒力矩對繞定軸轉(zhuǎn)動的剛體所作的功，等于力矩的大小與轉(zhuǎn)過的角度的乘積。 3. 變力矩所作的功 注意： 上兩式的是指作用在繞定軸轉(zhuǎn)動剛體上諸外力的合力矩。即上兩式研究的是合外力矩對剛體所作的功。 4. 力矩的功率 用于表示力矩作功的快慢。 定義：單位時間內(nèi)力矩對剛體所作的功，即： 可見，力矩的功率等于力矩與角速度的乘積。 二、剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能定

15、理 合外力矩M對剛體作用使其繞定軸轉(zhuǎn)過角位移時所作的元功為 若J為常量，把轉(zhuǎn)動定律代入得： 在時間內(nèi)，合外力矩使剛體的角速率從變到時，對剛體所作的功為 即 合外力矩對繞定軸轉(zhuǎn)動的剛體所作的功等于剛體轉(zhuǎn)動動能的增量——剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能定理。 三、剛體的重力勢能： 如果一個剛體受到保守力的作用取地面坐標(biāo)系，對于一個質(zhì)量為m的剛體，其重力勢能是組成剛體的各個質(zhì)點(diǎn)的重力勢能之和，即： Ep=ΣΔmigh=gΣΔmihi,椐質(zhì)心的定義，此剛體的質(zhì)心高度為hc=ΣΔmihi/m，上式改寫為： Ep=mghc。一個

16、不太大的剛體的重力勢能與它的質(zhì)量集中在質(zhì)心時所具有的勢能一樣。 例題：P195。4-7；P196。4-8。 第五節(jié) 剛體的自由度 *剛體的平面平行運(yùn)動 一、 剛體的自由度： 1、 自由度的定義：決定系統(tǒng)在窨的位置所需要的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)目。例一個行賄點(diǎn)在空間自由運(yùn)動，它的位置需要三個獨(dú)立坐標(biāo)來決定，該質(zhì)點(diǎn)就有三個自由度。 2、 剛體自由度：剛體有六個自由度，三平動自由度，三個轉(zhuǎn)動自由度 A、 要指出剛體上某定點(diǎn)（例質(zhì)點(diǎn)）的位置，需要三個獨(dú)立坐標(biāo)來決定（書圖4-18）； B、 用兩個獨(dú)立坐標(biāo)確定通過剛體內(nèi)定點(diǎn)C的直線CA的方位； C、 因?yàn)閯傮w可繞直線CA轉(zhuǎn)動，表征剛體的轉(zhuǎn)動，還

17、需用一個角度。 3、物體運(yùn)動方程與自由度：物體有幾個自由度，它的運(yùn)動定律就可歸結(jié)為幾個獨(dú)立的方程式。例質(zhì)點(diǎn)數(shù)為N 的系統(tǒng)，每個質(zhì)點(diǎn)能自由運(yùn)動，則N個質(zhì)點(diǎn)將有3N個自由度，與之對應(yīng)的獨(dú)立的方程式也有3N個。 二、 剛體的平面平行運(yùn)動： 1、 剛體平面平行運(yùn)動：剛體運(yùn)動時，其中各點(diǎn)始終和某一平面保持的距離，或剛體中各點(diǎn)都平行于某一平面而運(yùn)動。 2、 平面平行運(yùn)動剛體的自由度2 個平動自由度和一個轉(zhuǎn)動自由度。 3、 剛體平面平行運(yùn)動方程： 質(zhì)心在OXY平面內(nèi)運(yùn)動，平動方程為：ΣFx=macx ΣFy=macy 剛體在X軸、Y軸方向所受合力ΣFx 、ΣFy，剛

18、體質(zhì)量m；質(zhì)心加速度acx，macy 椐剛體繞通過質(zhì)心并垂直于平面的軸的轉(zhuǎn)動得：Mc=Jcα 4、 剛體的動能： 書P021圖4-20，車輪在地面沿直線軌跡作純粹滾動（無滑動），質(zhì)心C前進(jìn)的速度為vc，車輪半徑R，每滾動一周，車輪質(zhì)心前進(jìn)的距離等于車輪周長，知：x =Rθ對時間t求導(dǎo)得： dx/dt=Rdθ/dt,vc=Rω 因vc=dx/xt ω=dθ/dt; 車輪看著隨質(zhì)心的平動和繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動的合成，則滾動時，輪邊緣上任的速度是V=Vc+ω×r 計(jì)論：G點(diǎn)，Vc和ω×r大小相等，方向相反，無滑動； ωRA B ωRB

19、 同理，在A點(diǎn)Vc和ω×r方向相同 vA=vc+ωR=2vc RB vB={ vc 2+(ωR)2}1/2 =21/2vc C 質(zhì)心為基點(diǎn)，剛休體的動能： Ek= mvc2/2+∑Δmi(ri×ω )2 A RA RA = m

20、vc2/2+Jω2/2 剛體質(zhì)心的全部動能等于質(zhì)心運(yùn)動的平動動能與 剛體對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動動能的和 例題：P203。4-9；P206。4-10 G 第六節(jié)定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理和角動量守恒定律 一、剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理 1、 剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量 如圖，一剛體以角速度w繞定軸Oz轉(zhuǎn)動，則其上每一個質(zhì)點(diǎn)都以相同的角速度繞軸Oz作圓周運(yùn)動，任一質(zhì)點(diǎn)對軸Oz的角動量為，于是剛體上所有質(zhì)點(diǎn)對軸Oz的角動量，即

21、剛體對定軸Oz的角動量為： ， 其中為剛體繞軸Oz的轉(zhuǎn)動慣量，所以剛體對定軸Oz的角動量為： 2. 剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理 （1）剛體定軸轉(zhuǎn)動定理的另一種表述 因?yàn)樽饔迷诘趇個質(zhì)點(diǎn)上的合力矩應(yīng)等于質(zhì)點(diǎn)的角動量隨時間的變化率，即 包含有外力矩和內(nèi)力矩，但對繞定軸Oz轉(zhuǎn)動的剛體來說，剛體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)的內(nèi)力矩之和應(yīng)為零，即。故由上式可得作用于繞定軸Oz轉(zhuǎn)動剛體的合外力矩M為： 即剛體繞某定軸轉(zhuǎn)動時，作用于剛體的合外力矩等于剛體繞此定軸的角動量隨時間的變化率。 注意： ※ 上式更具普遍意義。即使轉(zhuǎn)動慣量J因內(nèi)力作用而發(fā)生變化時，前述的轉(zhuǎn)動定律已不適用，但上式仍然成立。就

22、如較之更普遍的情況一樣。 ※ 我們在這里沒有采用矢量描述，要注意實(shí)際上我們是使用了分量式，表達(dá)式中的有關(guān)物理量可正可負(fù)，為雙向標(biāo)量。 （2）力矩對給定軸的沖量矩和角動量定理 考慮在合外力矩M的作用下，在時間內(nèi)，剛體的角速度由變?yōu)?。由上式積分得： 定義：力矩對給定軸的沖量矩（角沖量）為，則可得角動量定理： 即當(dāng)轉(zhuǎn)軸給定時，作用在物體上的沖量矩等于角動量的增量。 注意：對定軸轉(zhuǎn)動的剛體來說，J1=J2；但上述定理適用于質(zhì)點(diǎn)系，例如芭蕾舞演員，這時J1可以不等于J2。3. 剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定律 當(dāng)時，得Jω = 恒量。即，如果物體所受的合外力矩等于零，或者不受外力矩的

23、所用，物體的角動量保持不變——角動量守恒定律。書P210表4-2 例子： （1）動畫演示 （2）在日常生活中，符合角動量守恒定律的例子也是很多的。例如，舞蹈演員、溜冰運(yùn)動員等，在旋轉(zhuǎn)的時候，往往先把兩臂張開旋轉(zhuǎn)，然后迅速把兩臂靠攏身體，使自己對體中央豎直軸的轉(zhuǎn)動慣量迅速減小，因而旋轉(zhuǎn)速度加快。又如跳水運(yùn)動員在空中翻筋斗時(如圖)，跳水員將兩臂伸直，并以某一角速度離開跳板，跳在空中時，將臂和腿盡量卷縮起來，以減小他對橫貫腰部的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量，因而角速度增大，在空中迅速翻轉(zhuǎn)，當(dāng)快接近水面時，再伸直臂和腿以增大轉(zhuǎn)動慣量，減小角速度，以便豎直地進(jìn)入水中。 例4-11：（p.211） 例4-1

24、2：（p.212） 例4-13 例4-14 習(xí)題：P。224 4-25 4-26 ?第三章、第四章例題講解 第一部分 公式對照表 質(zhì)點(diǎn)的直線運(yùn)動 剛體的定軸轉(zhuǎn)動 速度 角速度 加速度 角加速度 勻速直線運(yùn)動 勻角速轉(zhuǎn)動 勻變速直線運(yùn)動 v=v0+at s=v0+at2/2 v2-v02=2as 勻變速轉(zhuǎn)動 力F，質(zhì)量m 牛頓第二定律F=ma 力矩M，轉(zhuǎn)動慣量J 轉(zhuǎn)動定律M=Jb 動量mv，沖量Ft （恒力） 動量定理ft=mv-mv0（恒力） 角動量Jw，沖量矩Mt（恒力矩） 角動量定理Mt= Jw -J0w0（恒力矩） 動量守

25、恒定律 角動量守恒定律 平動動能 常力的功 動能定理 轉(zhuǎn)動動能 常力矩的功 動能定理 第二部分 例題講解 例題一 質(zhì)量分別為m1及m2 的二滑塊，分別穿于二平行水平光滑的導(dǎo)桿上，二導(dǎo)桿間的距離為 d，再以一勁度系數(shù)為k1，原長為 d 的輕質(zhì)彈簧連接二滑塊。設(shè)開始m1時位于x1=0處，m2位于x2=l處，且其速度均為零，求釋放后兩滑塊的最大速度分別是多少？ 解：選擇二滑塊及彈簧組成的系統(tǒng)為研究對象，則系統(tǒng)不受外力作用，只有內(nèi)部保守力作功，因此系統(tǒng)機(jī)械能守恒及動量守恒。如圖所示： ? t=0時刻：彈簧伸長量為：，初動能：EK=0；初始勢能為： t時刻：設(shè)兩滑塊

26、的速度分別為v1和v2，則系統(tǒng)動能，勢能為EPt。 由機(jī)械能守恒定律可得 顯然EPt=0時兩個滑塊的速度達(dá)到最大值，因此： （1） 由動量守恒定律可得： （2） 聯(lián)立方程（1）和（2），即可解得： 例題二 某彈簧不遵守胡克定律，若施力F，則相應(yīng)伸長為x，力與伸長的關(guān)系為，求： （1）將彈簧從定長拉伸到定長時，外力需做的功。 （2）將彈簧橫放在水平光滑桌面上，一端固定，另一端系一個質(zhì)量為 2.17 kg 的物體，然后將彈簧拉伸到一定長，再將物體由靜止釋放，求當(dāng)彈簧回到時，物體

27、的速率。 （3）此彈簧的彈力是保守力嗎？ 解：（1）外力作的功為 （2）根據(jù)動能定理有 （3）為保守力，因?yàn)槠涔χ慌c彈簧的始末位置有關(guān)和運(yùn)動過程無關(guān)。 例題三 質(zhì)量為m的木塊置于一質(zhì)量為M 的鍥上，鍥體傾角為α并放在水平桌面上，所有表面都是光滑的，如圖。如果系統(tǒng)由靜止釋放，任其自由運(yùn)動，當(dāng)木塊滑下h高碰到桌面時，鍥體的速度為多大？ 解：選桌面為參照系，建立如圖（2）所示的坐標(biāo)系。設(shè) m 相對 M 速度為，M 相對桌面速度為，m相對桌面速度為，則有： 圖（1） 圖（2） ? ，，，從而有： 注意到水平方向動量守恒： 解得：

28、 （1） 系統(tǒng)機(jī)械能守恒： （2） 將（1）代入（2）即得當(dāng)木塊滑下h高碰到桌面時，鍥體的速度為： # 例題四 兩個質(zhì)量分別為m1和m2的木塊 A 和 B，用一質(zhì)量可以忽略不計(jì)，勁度系數(shù)為 k 的彈簧聯(lián)接起來，放置在光滑水平面上，使 A 緊靠墻壁，然后用力推木塊 B 使彈簧壓縮了 x0，然后釋放。已知m1=m，m2=3m，求： （1）釋放后，A、B 兩木塊速度相等時的瞬時速度的大??； （2）釋放后，彈簧的最大伸長量。

29、解：（引導(dǎo)學(xué)生思考分析外力釋放后系統(tǒng)中物體的運(yùn)動狀態(tài)變化過程和遵循的規(guī)律）。 （1）釋放后，彈簧恢復(fù)到原長時，A 要離開墻壁，設(shè)此時B的速度為vB0，由機(jī)械能守恒得，。 A 離墻后，系統(tǒng)在光滑水平面上運(yùn)動，動量守恒和機(jī)械能守恒，有： （1） （2） 當(dāng)時，由（1）式可得： （2）彈簧有最大伸長量時：，代入（2）式得： 例題五 如圖，一個質(zhì)量為 m 的物體與繞在定滑輪上的繩子相聯(lián)，繩子質(zhì)量可以忽略，它與定滑輪之間無滑動。假設(shè)定滑輪的質(zhì)量為M 、半徑為 R，其轉(zhuǎn)動慣量為，滑輪軸光滑。試求該物體由 靜止開始下落的過程中，下落速度與時間的關(guān)系。

30、 解：如圖，選取向下為坐標(biāo)軸正向，設(shè)物體下落的角速度為a，滑輪轉(zhuǎn)動的角加速度為β，根據(jù)牛頓第二定律和剛體定軸轉(zhuǎn)動定律， 對m： （1） 對M： （2） 又因?yàn)椋? （3） 聯(lián)立（1）、（2）、（3）解得：，可見物體作勻加速直線運(yùn)動。 由初始條件，得。 例題六 如圖所示，A、B兩圓盤可分別繞O1，O2軸無摩擦地轉(zhuǎn)動。重物C系在繩上（繩不伸長），且與圓盤邊緣之間無相對滑動。已知 A、B 的半徑分別為R1，R2，A 、B、C 的質(zhì)量分別為m1，m2，m，求：重物 C 由靜止下降 h 時的速度 v 。 解法一：應(yīng)用機(jī)械能守恒

31、定律 不打滑：有： 考慮到： 得： 解法二：（應(yīng)用牛頓第二定律和剛體定軸轉(zhuǎn)動定理）作為課后作業(yè)。 例題七 一質(zhì)量為 m 的子彈，穿過如圖所示的擺錘后，速率由 v 減少到v/2。若擺錘的質(zhì)量為 M，擺桿的質(zhì)量也為 M（均勻細(xì)桿），長度為 l，如果擺錘能在垂直平面內(nèi)完成一個完全的圓周運(yùn)動，子彈的速度的最小值應(yīng)為多少？ 解：（1）取擺錘、地球和子彈為系統(tǒng)，子彈穿過擺錘過程中，系統(tǒng)對轉(zhuǎn)軸的角動量守恒：L子彈前＝L子彈后+L擺錘+L擺桿 即： 得擺錘開始轉(zhuǎn)動的角速度為 （2）擺錘開始轉(zhuǎn)動后機(jī)械能守恒，設(shè)擺錘在垂直位置低點(diǎn)為勢能零點(diǎn)，則到達(dá)最高點(diǎn)時

32、有： 解得： 即： 例題八 兩滑冰運(yùn)動員，質(zhì)量分別為MA=60千克，MB=70千克，它們的速率VA=7米/秒，VB=6米/秒，在相距1.5米的兩平行線上相向而行，當(dāng)兩者最接近時，便拉起手來，開始繞質(zhì)心作圓周運(yùn)動并保持兩者間的距離不變。求該瞬間：（1）系統(tǒng)的總角動量；（2）系統(tǒng)的角速度；（3）兩人拉手前、后的總動能。這一過程中能量是否守恒？ 解：（1）建立坐標(biāo)系，系統(tǒng)質(zhì)心位置為: 即： （1）系統(tǒng)的總角動量為 ? （2）系統(tǒng)所受合外力矩為零，角動量守恒： 其中 系統(tǒng)的角速度 （3）拉手前、后系統(tǒng)的總能量分別為 ，能量

33、守恒。 例題九 設(shè)某機(jī)器上的飛輪的轉(zhuǎn)動慣量為 J，其在制動力矩M=-kω的作用下，角速度由ω0減小到ω0/2，問此過程所需的時間和制動力矩所作的功各為多少？ 解：由剛體轉(zhuǎn)動定律： 變形后兩邊積分得 再由轉(zhuǎn)動動能定理得： 例題十 質(zhì)量為 M 的勻質(zhì)圓盤，可繞通過盤中心垂直于盤的固定光滑軸轉(zhuǎn)動，繞過盤的邊緣掛有質(zhì)量為 m，長為 l 的勻質(zhì)柔軟繩索。設(shè)繩與圓盤的邊緣無相對滑動，試求當(dāng)圓盤兩側(cè)繩長之差為 s 時，繩的加速度的大小。 解：建立坐標(biāo)系如圖，任一時刻圓盤兩側(cè)的繩長分別為x1， x2，選取取x1、x2的繩子及圓盤為研究對象，設(shè)繩子單位長度質(zhì)量為λ，則 對x1， （1） 對x2， （2） 對圓盤， （3） 由角量和線量關(guān)系： （4） 并注意到： （5） 聯(lián)立（1）、（2）、（3）、（4）、（5）得： 布置作業(yè) 復(fù)習(xí)消化今天的例題，檢查對照本學(xué)期自己物理作業(yè)中的存在問題，進(jìn)行修正。 14