（名師導學）2020版高考數(shù)學總復習 第二章 函數(shù) 第7講 函數(shù)的單調性練習 理（含解析）新人教A版

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1、第7講　函數(shù)的單調性 夯實基礎　【p15】 【學習目標】 1．了解函數(shù)單調性的概念，會討論和證明一些簡單函數(shù)的單調性． 2．利用函數(shù)的單調性求最值，求單調區(qū)間及參數(shù)的取值范圍． 【基礎檢測】 1．在區(qū)間(0，＋∞)上不是增函數(shù)的函數(shù)是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．y＝2x＋1 B．y＝3x2＋1 C．y＝ D．y＝2x2＋x＋1 【解析】A選項在R上是增函數(shù)；B選項在是減函數(shù)，在是增函數(shù)；C選項在和是減函數(shù)；D選項y＝2x2＋x＋1＝2＋在是減函數(shù)，在是增函數(shù)． 【答案】C 2．函數(shù)f(x)＝的單調遞增區(qū)間是(　　) A．(－∞，－2]

2、 B．(－∞，1] C．[1，＋∞) D．[4，＋∞) 【解析】x2－2x－8≥0得x≥4或x≤－2， 令x2－2x－8＝t，則y＝為增函數(shù)， ∴t＝x2－2x－8在[4，＋∞)上的增區(qū)間便是原函數(shù)的單調遞增區(qū)間， ∴原函數(shù)的單調遞增區(qū)間為[4，＋∞)． 【答案】D 3．定義在R上的函數(shù)f(x)在(4，＋∞)上為減函數(shù)，且函數(shù)y＝f(x＋4)為偶函數(shù)，則(　　) A．f(2)>f(3) B．f(3)>f(6) C．f(3)>f(5) D．f(2)>f(5) 【解析】∵y＝f(x＋4)為偶函數(shù)，∴f(－x＋4)＝f(x＋4)， 令x＝2，得f(2)＝f(－2＋4)＝

3、f(2＋4)＝f(6)， 同理，f(3)＝f(5)， ∵f(x)在(4，＋∞)上為減函數(shù)，5<6，∴f(5)>f(6)． ∴f(2)f(6)． 【答案】B 4．f(x)是定義在(0，＋∞)上的單調增函數(shù)，滿足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，當f(x)＋f(x－8)≤2時，x的取值范圍是(　　) A．(8，＋∞) B．(8，9] C．[8，9] D．(0，8) 【解析】2＝1＋1＝f(3)＋f(3)＝f(9)， 由f(x)＋f(x－8)≤2， 根據(jù)f(xy)＝f(x)＋f(y)可得f[x(x－8)

4、]≤f(9)， 因為f(x)是定義在(0，＋∞)上的增函數(shù)， 所以有解得8＜x≤9， 即x的取值范圍是(8，9]． 【答案】B 5．已知函數(shù)f＝在上具有單調性，則實數(shù)m的取值范圍是________． 【解析】因為函數(shù)f＝在上具有單調性，所以或 解得1

5、x2時，都有__f(x1)>f(x2)__，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù). 圖象 特征 自左向右圖象是上升的 自左向右圖象是下降的 (2)單調區(qū)間的定義 若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是__增函數(shù)__或__減函數(shù)__，則稱函數(shù)f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴格的)單調性，區(qū)間D叫做f(x)的單調區(qū)間． 2．函數(shù)單調性的判斷方法 (1)定義法：取值、作差、變形、定號、結論． (2)復合法：同增異減，即內外函數(shù)的單調性相同時，為增函數(shù)，不同時為減函數(shù)． (3)導數(shù)法：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性． (4)圖象法：利用圖象研究函數(shù)的單調性． 典

6、 例 剖 析　【p16】 考點1　函數(shù)單調性的證明 已知定義域為R的奇函數(shù)f(x)＝2x＋. (1)求a的值； (2)判斷f(x)的單調性，并用單調性的定義加以證明． 【解析】(1)∵函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)， ∴f(0)＝0，即f(0)＝1＋a＝0，解得a＝－1，經(jīng)檢驗，符合題意， ∴a＝－1. (2)f(x)在R上是增函數(shù)． 證明如下： 由(1)可得，f(x)＝2x－，設x1，x2∈R，且x1>x2，則 f(x1)－f(x2)＝2x1－－2x2＋ ＝(2x1－2x2)＋ ＝(2x1－2x2)＋ ＝(2x1－2x2) ∵x1，x2∈R，且x1>x2，

7、∴2x1>2x2，1＋>0， ∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)， 因此，f(x)在R上是增函數(shù)． 【點評】利用定義證明函數(shù)f(x)在給定區(qū)間D上的單調性的一般步驟：①任取x1，x2∈D，且x1

8、C．f(x)＝ln x D．f(x)＝2x 【解析】“任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0”等價于函數(shù)為減函數(shù)，四個選項中，只有A選項符合． 【答案】A (2)函數(shù)f(x)＝x2－3|x|＋2的單調減區(qū)間是________． 【解析】去絕對值，得函數(shù)f(x)＝ 當x≥0時，函數(shù)f(x)＝x2－3x＋2的單調遞減區(qū)間為； 當x＜0時，函數(shù)f(x)＝x2＋3x＋2的單調遞減區(qū)間為； 綜上，函數(shù)f(x)＝的單調遞減區(qū)間為，. 【答案】， (3)函數(shù)y＝的單調遞減區(qū)間是(　　) A. B. C．(0，e) D．(e，＋∞)

9、 【解析】∵y′＝，令y′<0，解得x>e. 所以單調遞減區(qū)間是，選D. 【答案】D 【點評】在判定函數(shù)的單調性時，要注意常見形式，如： ①若對任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x10，則函數(shù)f(x)在[0，＋∞)單調遞增； ③若對任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1≠x2，恒有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0，則函數(shù)f(x)在[0，＋∞)單調遞增． 考點3　函數(shù)單調性的應用 (1)設f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在(－∞，0)

10、上是增函數(shù)，則f(－2)與f(a2－2a＋3)(a∈R)的大小關系是(　　) A．f(－2)

11、范圍是(　　) A. B. C. D. 【解析】因為函數(shù)f(x)＝ax2－x對任意x1，x2∈[2，＋∞)，且x1≠x2，不等式＞0恒成立，所以函數(shù)f(x)＝ax2－x在[2，＋∞)上單調遞增，即f′(x)＝2ax－1≥0恒成立，即4a－1≥0，解得a≥. 【答案】D (3)若函數(shù)f＝(a>0且a≠1)是R上的單調函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是________． 【解析】∵函數(shù)f＝(a＞0且a≠1)是R上的單調函數(shù)，則 解得a∈. 【答案】 (4)已知偶函數(shù)f(x)在(－∞，0]上單調遞減，且f(2)＝0，則不等式>0的解集為________． 【解析】∵函數(shù)f(x)為偶函

12、數(shù)且在(－∞，0]上單調遞減， ∴f(x)在(0，＋∞)上單調遞增， 又∵函數(shù)f(x)為偶函數(shù)且f(2)＝0，∴f(－2)＝f(2)＝0， ∴不等式＞0可變形為或 解得x∈(－2，1)∪(2，＋∞)． 【答案】(－2，1)∪(2，＋∞) 方 法 總 結　　【p16】 1．在研究函數(shù)的單調性時，常需要先將函數(shù)解析式化簡變形，等價轉化為討論一些熟知函數(shù)的單調性問題，因此，掌握并熟記一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調性，將大大縮短我們的判斷過程，同時應充分注意函數(shù)的等價性． 2．函數(shù)單調性的證明方法：①定義證明法；②導數(shù)證明法． 3．判斷函數(shù)的單調性的方法：①

13、觀察法；②圖象法；③定義法；④復合函數(shù)法；⑤導數(shù)法． 注意：確定單調性一定是相對于某個區(qū)間而言，并且一定要在定義域內． 4．運用奇偶函數(shù)的性質及其與單調性的關系是進行單調區(qū)間轉換的一種有效手段．奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調性相同；偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調性相反，且f(x)＝f(－x)＝f(|x|)． 5．已知函數(shù)單調性求參數(shù)范圍的問題是討論單調性的可逆過程，解法是根據(jù)單調性的概念得到“恒成立”的不等式，同時要注意定義域這一隱性的限制條件． 走 進 高 考　　【p16】 1．(2017·全國卷Ⅰ)函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)單調遞減，且為奇函數(shù)．若f(1)＝－1，則滿足－1≤f(x－2)≤

14、1的x的取值范圍是(　　) A．[－2，2] B．[－1，1] C．[0，4] D．[1，3] 【解析】因為f(x)為奇函數(shù)且在(－∞，＋∞)單調遞減，要使－1≤f(x)≤1成立，則x滿足－1≤x≤1，從而由－1≤x－2≤1得1≤x≤3，即滿足－1≤f(x－2)≤1成立的x的取值范圍為[1，3]，選D. 【答案】D 2．(2017·天津)已知奇函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，則a，b，c的大小關系為(　　) A．a(chǎn)

15、)是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù)，所以x>0時，f(x)>0，從而g(x)＝xf(x)是R上的偶函數(shù)，且在[0，＋∞)上是增函數(shù)，a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，20.8<2，又4<5.1<8，則2

16、(x＋1)2在(－∞，－1)上遞減，在(－1，＋∞)上遞增，所以函數(shù)y＝(x＋1)2在(0，＋∞)上是增函數(shù)，故B正確； y＝2－x＝在R上單調遞減，故C錯誤； y＝log0.5x在(0，＋∞)上單調遞減，故D錯誤． 【答案】B 2．已知f(x)為R上的減函數(shù)，則滿足f>f(1)的實數(shù)x的取值范圍是(　　) A．(－∞，1) B．(1，＋∞) C．(－∞，0)∪(0，1) D．(－∞，0)∪(1，＋∞) 【解析】由題意，得<1， 即<0，解得x<0或x>1， 所以實數(shù)x的取值范圍是(－∞，0)∪(1，＋∞)． 【答案】D 3．函數(shù)f＝ex的單調遞增區(qū)間是(　　) A

17、. B. C. D. 【解析】f′(x)＝(x－2)ex， 令f′(x)＞0，解得x＞2. ∴函數(shù)f(x)＝(x－3)ex的單調遞增區(qū)間是(2，＋∞)． 【答案】B 4．函數(shù)f(x)＝x|x－2|的增區(qū)間是(　　) A．(－∞，1] B．[2，＋∞) C．(－∞，1]，[2，＋∞) D．(－∞，＋∞) 【解析】f(x)＝x|x－2|＝ 作出f(x)的簡圖如下： 由圖象可知f(x)的增區(qū)間是(－∞，1]，[2，＋∞)． 【答案】C 5．若f(x)＝是定義在(－∞，＋∞)上的減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 【解析】由題意

18、可得，要使函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)上為減函數(shù)， 需滿足解得≤a＜， ∴實數(shù)a的取值范圍是. 【答案】A 6．定義在R上的奇函數(shù)f(x)單調遞減，則不等式f(2x＋1)＋f(x2－4)>0的解集為________． 【解析】∵f(x)是R上的奇函數(shù)，且單調遞減， ∴由f(2x＋1)＋f(x2－4)＞0得f(2x＋1)>f(－x2＋4)， ∴2x＋1＜4－x2， 解得－3＜x＜1， ∴原不等式的解集為(－3，1)． 【答案】(－3，1) 7．已知f(x)是R上的偶函數(shù)，且在[0，＋∞)單調遞增，若f(a－3)＜f(4)，則實數(shù)a的取值范圍是________． 【解析】∵

19、f(x)是R上的偶函數(shù)，且在[0，＋∞)單調遞增， ∴不等式f(a－3)＜f(4)等價為f(|a－3|)＜f(4)， 即|a－3|＜4， 即－4＜a－3＜4， 得－1＜a＜7， 即實數(shù)a的取值范圍是(－1，7)． 【答案】(－1，7) 8．已知函數(shù)f＝是定義在上的奇函數(shù)，且f＝. (1)用定義法證明：f在上是增函數(shù)； (2)若實數(shù)m滿足f＋f<0，求m的取值范圍． 【解析】函數(shù)f＝是定義在上的奇函數(shù)， ∴f＝0，＝0，a＝0， 又∵f＝，∴b＝1， ∴f＝. (1)設x1，x2是上任意兩個實數(shù)，且－1

20、x1>0，1－x1x2>0， ∴>0， ∴f>f，∴f在上單調遞增． (2)∵f＝是上的奇函數(shù)且單調遞增， 又∵f＋f<0，∴f

21、所以f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)． 【答案】C 2．已知f(x)＝，若0

22、－6，0]上為增函數(shù)， ∴f(x)在[0，6]上為減函數(shù)； 則f(x－1)≥f(3)等價于f(|x－1|)≥f(3)， ∴解得∴－2≤x≤4， ∴原不等式的解集為{x|－2≤x≤4}． 【答案】{x|－2≤x≤4} 4．如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間I上是增函數(shù)，且函數(shù)y＝在區(qū)間I上是減函數(shù)，那么稱函數(shù)y＝f(x)是區(qū)間I上的“緩增函數(shù)”，區(qū)間I叫做“緩增區(qū)間”．若函數(shù)f(x)＝x2－x＋是區(qū)間I上的“緩增函數(shù)”，則“緩增區(qū)間”I為__________． 【解析】因為函數(shù)f(x)＝x2－x＋的對稱軸為x＝1，所以函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數(shù)，又當x≥1時，＝x－1＋，令g(x)＝x－1＋(x≥1)，則g′(x)＝－＝，由g′(x)≤0得1≤x≤，即函數(shù)＝x－1＋在區(qū)間[1，]上單調遞減，故“緩增區(qū)間”I為[1，]． 【答案】[1，] 12