（新課標）2020版高考數(shù)學二輪復習 專題八 數(shù)學文化及數(shù)學思想 第1講 數(shù)學文化練習 文 新人教A版

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1、第1講　數(shù)學文化 一、選擇題 1．我國古代數(shù)學著作《九章算術》中有一衰分問題：今有北鄉(xiāng)八千一百人，西鄉(xiāng)七千四百八十八人，南鄉(xiāng)六千九百一十二人，凡三鄉(xiāng)，發(fā)役三百人，則北鄉(xiāng)遣(　　) A．104人　　　　　　　　 B．108人 C．112人 D．120人 解析：選B.由題設可知這是一個分層抽樣的問題，其中北鄉(xiāng)可抽取的人數(shù)為300×＝300×＝108.故選B. 2．如圖，半徑為1的圓形古幣內有一陰影區(qū)域，在圓內隨機撒一大把豆子，共n顆，其中，落在陰影區(qū)域內的豆子共m顆，則陰影區(qū)域的面積約為(　　) A. B. C. D. 解析：選C.設陰影區(qū)域的面積為S，由幾何

2、概型概率計算公式可得＝＝， 所以S＝，故選C. 3．將元代著名數(shù)學家朱世杰的《四元玉鑒》中的一首詩改編如下：“我有一壺酒，攜著游春走，遇店添一倍，逢友飲一斗，店友經三處，沒了壺中酒，借問此壺中，當原多少酒？”用程序框圖表示如圖，用x表示壺中原有酒的量，可知最終輸出的x＝0，則一開始輸入的x的值為(　　) A. B. C．4 D. 解析：選D.這是一道函數(shù)與程序框圖相結合的題，當i＝1時，酒量為2x－1； 當i＝2時，酒量為2(2x－1)－1＝4x－3； 當i＝3時，酒量為2(4x－3)－1＝8x－7； 當i＝4時，酒量為0， 即2(4x－3)－1＝0， 解得x＝

3、. 故選D. 4．大衍數(shù)列，來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之數(shù)五十”的推論．主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理．數(shù)列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經經歷過的兩儀數(shù)量總和．是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學史上第一道數(shù)列題．其前10項依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，則此數(shù)列第20項為(　　) A．180 B．200 C．128 D．162 解析：選B.根據(jù)前10項可得規(guī)律：每兩個數(shù)增加相同的數(shù)，且增加的數(shù)構成首項為2，公差為2的等差數(shù)列．可得從第11項到20項為60，72，84，98，112，128，144，162，180，200.所以此數(shù)列

4、第20項為200. 5．中國古代數(shù)學著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關．”其意思為：“有一個人要走378里路，第一天健步行走，從第二天起，由于腳痛，每天走的路程都為前一天的一半，走了六天后(第六天剛好用完)到達目的地．”若將此問題改為“第6天到達目的地”，則此人第二天至少走了(　　) A．96里 B．48里 C．72里 D．24里 解析：選A.根據(jù)題意知，此人每天行走的路程構成了公比為的等比數(shù)列．設第一天走a1里，則第二天走a2＝a1(里)．易知≥378，則a1≥192. 則第二天至少走96里．故選A. 6．遠

5、古時期，人們通過在繩子上打結來記錄數(shù)量，即“結繩計數(shù)”．如圖所示的是一位母親記錄的孩子自出生后的天數(shù)，在從右向左依次排列的不同繩子上打結，滿七進一，根據(jù)圖示可知，孩子已經出生的天數(shù)是(　　) A．336 B．510 C．1 326 D．3 603 解析：選B.由題意滿七進一，可得該圖示為七進制數(shù)，化為十進制數(shù)為1×73＋3×72＋2×7＋6＝510. 7.漢代數(shù)學家趙爽在注解《周髀算經》時給出的“趙爽弦圖”(如圖)，四個全等的直角三角形(朱實)，可以圍成一個大的正方形，中空部分為一個小正方形(黃實)．若直角三角形中一條較長的直角邊長為8，直角三角形的面積為24，若在上面扔一

6、顆玻璃小球，則小球落在“黃實”區(qū)域的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：選C.因為直角三角形中一條較長的直角邊長為8，直角三角形的面積為24，所以可得另外一條直角邊長為6，所以小正方形的邊長為8－6＝2，則“黃實”區(qū)域的面積為22＝4，因為大正方形的面積為82＋62＝100，所以小球落在“黃實”區(qū)域的概率為＝，故選C. 8．《九章算術》是我國古代數(shù)學成就的杰出代表，它的出現(xiàn)標志著中國古代數(shù)學形成了完整的體系．其中《方田》章有弧田面積計算問題，術曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．其大意是，弧田面積計算公式為：弧田面積＝(弦×矢＋矢×矢)．弧田是由圓弧(弧田弧)和以圓

7、弧的端點為端點的線段(弧田弦)圍成的平面圖形，公式中的“弦”指的是弧田弦的長，“矢”指的是弧田弧所在圓的半徑與圓心到弧田弦的距離之差．現(xiàn)有一弧田，其弧田弦AB等于6米，其弧田弧所在圓為圓O，若用上述弧田面積計算公式算得該弧田的面積為平方米，則cos∠AOB＝(　　) A. B. C. D. 解析：選D.如圖，依題意AB＝6，設CD＝x(x>0)，則(6x＋x2)＝，解得x＝1.設OA＝y(tǒng)，則(y－1)2＋9＝y(tǒng)2，解得y＝5. 由余弦定理得cos∠AOB＝＝，故選D. 9．(2019·昆明市質量檢測)數(shù)列{Fn}：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，稱為斐波那契數(shù)列

8、，是由十三世紀意大利數(shù)學家列昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例子而引入的，故又稱為“兔子數(shù)列”．該數(shù)列從第三項開始，每項等于其前相鄰兩項之和．記數(shù)列{Fn}的前n項和為Sn，則下列結論正確的是(　　) A．S2 019＝F2 021－1 B．S2 019＝F2 021＋2 C．S2 019＝F2 020－1 D．S2 019＝F2 020＋2 解析：選A.根據(jù)題意有Fn＝Fn－1＋Fn－2(n≥3)， 所以S3＝F1＋F2＋F3＝1＋F1＋F2＋F3－1＝F3＋F2＋F3－1＝F4＋F3－1＝F5－1， S4＝F4＋S3＝F4＋F5－1＝F6－1， S5＝F5＋S4＝F5＋F6

9、－1＝F7－1， …， 所以S2 019＝F2 021－1. 10．中國古代名詞“芻童”原來是草堆的意思，關于“芻童”體積計算的描述，《九章算術》注曰：“倍上袤，下袤從之．亦倍下袤，上袤從之．各以其廣乘之，并，以高乘之，六而一．”其計算方法是：將上底面的長乘二，與下底面的長相加，再與上底面的寬相乘；將下底面的長乘二，與上底面的長相加，再與下底面的寬相乘；把這兩個數(shù)值相加，與高相乘，再取其六分之一．已知一個“芻童”的下底面是周長為18的矩形，上底面矩形的長為3，寬為2，“芻童”的高為3，則該“芻童”的體積的最大值為(　　) A. B. C．39 D. 解析：選B.設下底面的長

10、為x，則下底面的寬為＝9－x.由題可知上底面矩形的長為3，寬為2，“芻童”的高為3，所以其體積V＝×3×[(3×2＋x)×2＋(2x＋3)(9－x)]＝－x2＋＋，故當x＝時，體積取得最大值，最大值為－＋×＋＝.故選B. 11．我國古代數(shù)學名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測雨”題，與題中描繪的器具形狀一樣(大小不同)的器具的三視圖如圖所示(單位：寸)．若在某地下雨天時利用該器具接的雨水深度為6寸，則這一天該地的平均降雨量約為(注：平均降雨量等于器具中積水的體積除以器具口的面積．參考公式：圓臺的體積V＝πh(R2＋r2＋R·r)，其中R，r分別表示上、下底面的半徑，h為高)(　　) A．2寸

11、 B．3寸 C．4寸 D．5寸 解析：選A.由三視圖可知，該器具的上底面半徑為12寸，下底面半徑為6寸，高為12寸． 因為所接雨水的深度為6寸，所以水面半徑為×(12＋6)＝9(寸)， 則盆中水的體積為π×6×(62＋92＋6×9)＝342π(立方寸)， 所以這一天該地的平均降雨量約為≈2(寸)，故選A. 12．(2019·江西玉山一中期中)在《九章算術》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑，如圖．在鱉臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且BD⊥CD，AB＝BD＝CD，點P在棱AC上運動，設CP的長度為x，若△PBD的面積為f(x)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象大致是(　　)

12、 解析：選A.如圖，作PQ⊥BC于點Q，作QR⊥BD于點R，連接PR，則PQ∥AB，QR∥CD. 因為PQ⊥BD，且PQ∩QR＝Q，所以BD⊥平面PQR，所以BD⊥PR，即PR為△PBD中BD邊上的高． 設AB＝BD＝CD＝1，則＝＝，即PQ＝. 又＝＝＝，所以QR＝， 所以PR＝＝＝，所以f(x)＝＝，故選A. 13．楊輝三角又稱“賈憲三角”，是因為賈憲約在公元11世紀首先使用“賈憲三角”進行高次開方運算，而1261年楊輝在《詳解九章算法》一書中，輯錄了賈憲三角形數(shù)表，并稱之為“開方作法本源”圖．下列數(shù)表的構造思路就源于楊輝三角．該表由若干行數(shù)字組成，從第二行起，每一行中的數(shù)

13、字均等于其“肩上”兩數(shù)之和，表中最后一行僅有一個數(shù)，則這個數(shù)是(　　) A．2 017×22 016 B．2 018×22 015 C．2 017×22 015 D．2 018×22 016 解析：選B.由題意，最后一行為第2 017行，且第1行的最后一個數(shù)為2×2－1，第2行的最后一個數(shù)為3×20，第3行的最后一個數(shù)為4×21…第n行的最后一個數(shù)為(n＋1)×2n－2，則第2 017行僅有的一個數(shù)為2 018×22 015，故選B. 14．(2019·蓉城名校第一次聯(lián)考)高斯是德國著名的數(shù)學家，享有“數(shù)學王子”的美譽，以他的名字“高斯”命名的成果達110個，其中的一個成果

14、是：設x∈R，則y＝[x]稱為高斯函數(shù)，[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[1.7]＝1，[－1.2]＝－2，并用{x}表示x的非負純小數(shù)，即{x}＝x－[x]，若方程{x}＝1－kx有且僅有4個實數(shù)根，則正實數(shù)k的取值范圍為(　　) A. B. C. D. 解析：選D. 根據(jù)題意可得函數(shù)y＝{x}在x軸正半軸的圖象如圖所示，函數(shù)y＝1－kx為過定點P(0，1)的直線，所以要使方程{x}＝1－kx有且僅有4個實數(shù)根且k為正實數(shù)，則直線y＝1－kx應在PA，PB之間以及恰好在PA處，所以－≤－k<－，即k∈.故選D. 二、填空題 15.魯班鎖是中國傳統(tǒng)的智力玩具，起源于古代

15、漢族建筑中首創(chuàng)的榫卯結構，這種三維的拼插器具內部的凹凸部分(即榫卯結構)嚙合，十分巧妙，外觀看是嚴絲合縫的十字立方體，其上下、左右、前后完全對稱．從外表上看，六根等長的正四棱柱體分成三組，經90°榫卯起來，如圖，若正四棱柱體的高為6，底面正方形的邊長為1，現(xiàn)將該魯班鎖放進一個球形容器內，則該球形容器的表面積的最小值為________．(容器壁的厚度忽略不計)　 解析：表面積最小的球形容器可以看成長、寬、高分別為1、2、6的長方體的外接球．設其半徑為R，(2R)2＝62＋22＋12，解得R2＝，所以該球形容器的表面積的最小值為4πR2＝41π. 答案：41π 16．《九章算術》是我國古代內

16、容極為豐富的數(shù)學名著，其中“勾股”章講述了“勾股定理”及一些應用．直角三角形的三條邊分別稱為“勾”“股”“弦”．設F1，F(xiàn)2分別是橢圓＋y2＝1的左、右焦點，P是第一象限內該橢圓上的一點，若線段PF2，PF1分別是Rt△F1PF2的“勾”“股”，則點P的橫坐標為________． 解析：由題意知半焦距c＝，又PF1⊥PF2，故點P在圓x2＋y2＝3上，設P(x，y)，聯(lián)立，得得P.故點P的橫坐標為. 答案： 17．公元前6世紀，古希臘的畢達哥拉斯學派研究過正五邊形和正十邊形的作圖方法，發(fā)現(xiàn)了黃金分割，其比值約為0.618，這一數(shù)值也可以表示為m＝2sin 18°，若m2＋n＝4，則＝__

17、______． 解析：由題設n＝4－m2＝4－4sin218°＝4(1－sin218°)＝4cos218°， ＝＝＝＝2. 答案：2 18．(2019·四川遂寧市模擬)阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學家，與歐幾里得、阿基米德被合稱為亞歷山大時期的數(shù)學三巨匠，他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線論》一書，阿波羅 尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知動點M與兩定點A，B的距離之比為λ(λ>0，λ≠1)，那么點M的軌跡就是阿波羅尼斯圓．如動點M與兩定點A，B(5，0)的距離之比為時的阿波羅尼斯圓為x2＋y2＝9.下面，我們來研究與此相關的一個問題．已知圓O：x2＋y2＝1上的動點M和定點A，B(1，1)，則2|MA|＋|MB|的最小值為________． 解析：如圖，取點K(－2，0)，連接OM，MK.因為|OM|＝1，|OA|＝，|OK|＝2，所以＝＝2.因為∠MOK＝∠AOM，所以△MOK∽△AOM，所以＝＝2，所以|MK|＝2|MA|，所以|MB|＋2|MA|＝|MB|＋|MK|，易知|MB|＋|MK|≥|BK|，所以|MB|＋2|MA|＝|MB|＋|MK|的最小值為|BK|的長．因為B(1，1)，K(－2，0)，所以|BK|＝＝. 答案： - 8 -