2020屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 單元檢測四 三角函數(shù)、解三角形（提升卷）單元檢測 理（含解析） 新人教A版

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1、單元檢測四　三角函數(shù)、解三角形(提升卷) 考生注意： 1．本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，共4頁． 2．答卷前，考生務(wù)必用藍(lán)、黑色字跡的鋼筆或圓珠筆將自己的姓名、班級、學(xué)號填寫在相應(yīng)位置上． 3．本次考試時間100分鐘，滿分130分． 4．請在密封線內(nèi)作答，保持試卷清潔完整． 第Ⅰ卷(選擇題　共60分) 一、選擇題(本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1．下列命題中正確的是(　　) A．終邊在x軸正半軸上的角是零角 B．三角形的內(nèi)角必是第一、二象限內(nèi)的角 C．不相等的角的終邊一定不相同 D．若β

2、＝α＋k·360°(k∈Z)，則角α與β的終邊相同 答案　D 解析　對于A，因為終邊在x軸正半軸上的角可以表示為α＝2kπ(k∈Z)，A錯誤；對于B，直角也可為三角形的內(nèi)角，但不在第一、二象限內(nèi)，B錯誤；對于C，例如30°≠－330°，但其終邊相同，C錯誤，故選D. 2．已知角θ的終邊經(jīng)過點，則sin2的值為(　　) A.B.C.D. 答案　C 解析　因為點在角θ的終邊上， 所以cosθ＝－，則sin2＝＝，故選C. 3．(2019·四川成都龍泉驛區(qū)第一中學(xué)模擬)已知sin＝，則sin等于(　　) A.B．－C．±D．－ 答案　B 解析　∵sin＝cos ＝cos＝，

3、 ∴sin＝cos ＝cos＝2cos2－1 ＝2×－1＝－. 4．(2018·南充模擬)設(shè)f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β都是非零實數(shù)，若f(2017)＝－1，則f(2020)等于(　　) A．1B．2C．0D．－1 答案　A 解析　由題知，f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β都是非零實數(shù)，若f(2017)＝asin(2 017π＋α)＋bcos(2 017π＋β)＝－asinα－bcosβ＝－1，則asinα＋bcosβ＝1，所以f(2020)＝asin(2020π＋α)＋bcos(2020π＋β)＝a

4、sinα＋bcosβ＝1，故選A. 5．已知函數(shù)g(x)＝sinωx(ω>0)，若y＝g(x)在上為增函數(shù)，則ω的最大值為(　　) A．2B．4C．5D．6 答案　A 解析　由已知，函數(shù)g(x)包含坐標(biāo)原點的單調(diào)遞增區(qū)間是. 若函數(shù)y＝g(x)在上為增函數(shù)，則?，只要≥，得ω≤2. 所以ω的最大值為2. 6．設(shè)a＝tan35°，b＝cos55°，c＝sin23°，則(　　) A．a(chǎn)>b>c B．b>c>a C．c>b>a D．c>a>b 答案　A 解析　由題可知b＝cos55°＝sin35°，因為sin35°>sin23°，所以b>c，利用三角函數(shù)線比較tan35°和si

5、n35°，易知tan35°>sin35°，所以a>b.綜上，a>b>c，故選A. 7．若函數(shù)f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)是偶函數(shù)，則θ的最小正實數(shù)值是(　　) A.B.C.D. 答案　B 解析　f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)＝2·sin.因為f(x)為偶函數(shù)，所以當(dāng)x＝0時，2x＋θ＋＝θ＋＝kπ＋(k∈Z)，解得θ＝kπ＋(k∈Z)．當(dāng)k＝0時，θ取得最小正實數(shù)值，故選B. 8．若函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，則f(x)等于(　　) A.sin B.sin C.sin D.sin 答案　C 解析　由題圖知，函

6、數(shù)f(x)的最小正周期T＝2＝8π，A＝，所以ω＝＝， f(x)＝sin，由點在函數(shù)f(x)的圖象上，可知sin＝0，又0<|φ|<，所以φ＝－，所以f(x)＝sin. 9．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c,2bsinB＝(2a＋c)sinA＋(2c＋a)sinC．則角B的大小為(　　) A.B.C.D. 答案　C 解析　由正弦定理得2b2＝(2a＋c)a＋(2c＋a)c，化簡得a2＋c2－b2＋ac＝0，所以cosB＝＝＝－，又B∈(0，π)，解得B＝，故選C. 10．已知函數(shù)f(x)＝sin2x－2cos2x，將f(x)的圖象上的所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱

7、坐標(biāo)不變，再把所得圖象向上平移1個單位長度，得到函數(shù)g(x)的圖象，若g(x1)·g(x2)＝－4，則|x1－x2|的值可能為(　　) A.B.C.D．π 答案　C 解析　由題意得f(x)＝sin2x－cos2x－1 ＝2sin－1，則g(x)＝2sin，故函數(shù)g(x)的最小正周期T＝＝.由g(x1)·g(x2)＝－4，知g(x1)與g(x2)的值一個為2，另一個為－2，故|x1－x2|＝＝(k∈Z)．當(dāng)k＝1時，|x1－x2|＝，故選C. 11．在△ABC中，角A，B，C，所對的邊分別為a，b，c，c2sinAcosA＋a2sinCcosC＝4sinB，cosB＝，已知D是AC上一

8、點，且S△BCD＝，則等于(　　) A.B.C.D. 答案　A 解析　設(shè)＝＝＝k，則由c2sin A·cosA＋a2sin CcosC＝4sin B，得k2sin AsinC(sinC·cosA＋sinAcosC)＝4sinB，即k2sinAsinCsin(C＋A)＝4sinB，所以k2sinAsinC＝4，即ac＝4.又cosB＝，所以sinB＝，所以S△ABC＝acsinB＝，所以＝＝1－＝，故選A. 12．已知f(x)＝2sinωxcos2－sin2ωx(ω>0)在區(qū)間上是增函數(shù)，且在區(qū)間[0，π]上恰好取得一次最大值，則ω的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 答案

9、　B 解析　f(x)＝sinωx(1＋sinωx)－sin2ωx＝sinωx，所以是含原點的單調(diào)遞增區(qū)間，因為函數(shù)f(x)在區(qū)間上是增函數(shù)，所以?，所以解得ω≤.又ω>0，所以0<ω≤.因為函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，π]上恰好取得一次最大值，所以≤π<，解得≤ω<.綜上ω的取值范圍為，故選B. 第Ⅱ卷(非選擇題　共70分) 二、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上) 13．已知銳角α滿足cos＝cos2α，則sinαcosα＝________. 答案　 解析　由cos＝cos2α，得(cosα＋sinα)＝cos2α－sin2α，因為cosα＋sinα≠0

10、，所以可化簡得cosα－sinα＝，即(cosα－sinα)2＝1－2cosαsinα＝，解得sinα·cosα＝. 14．工藝扇面是中國書畫的一種常見表現(xiàn)形式．高一某班級想用布料制作一面如圖所示的扇面，參加元旦晚會．已知此扇面的中心角為，外圓半徑為60cm，內(nèi)圓半徑為30cm，則制作這樣一面扇面需要的布料為________cm2. 答案　450π 解析　由扇形的面積公式，知制作這樣一面扇面需要的布料為××60×60－××30×30＝450π(cm2)． 15．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，c＝，△ABC的面積為，且tanA＋tanB＝(tanAtanB－1)

11、，則a＋b＝________. 答案　 解析　由tanA＋tanB＝(tanAtanB－1)， 得tan(A＋B)＝＝－，又A，B，C為△ABC的內(nèi)角，所以A＋B＝，所以C＝.由S△ABC＝absinC＝，得ab＝6.又cosC＝＝＝，解得a＋b＝. 16．已知函數(shù)f(x)＝sin－cos，若存在x1，x2，…，xn滿足0≤x1

12、圖象知，對xi，xi＋1(i＝1,2,3，…，n)有|f(xi)－f(xi＋1)|max＝f(x)max－f(x)min＝2，則要使n取得最小值，應(yīng)盡可能多的使xi(i＝1,2,3，…，n)取得極值點，所以在區(qū)間[0,6π]上， 當(dāng)xi的值分別為x1＝0，x2＝，x3＝，x4＝，x5＝，x6＝，x7＝，x8＝6π時，n取得最小值8. 三、解答題(本題共4小題，共50分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 17．(12分)已知cosα＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<. (1)求tan2α的值； (2)求β. 解　(1)由cosα＝，0<α<，得sinα＝＝＝， ∴tan

13、α＝＝×＝4， ∴tan2α＝＝＝－. (2)由0<β<α<，得0<α－β<， 又cos(α－β)＝， ∴sin(α－β)＝＝＝. 由β＝α－(α－β)，得cosβ＝cos[α－(α－β)] ＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β) ＝×＋×＝，∴β＝. 18．(12分)已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)的圖象關(guān)于直線x＝－對稱，且圖象上相鄰的兩個最高點之間的距離為π. (1)求ω和φ的值； (2)當(dāng)x∈時，求函數(shù)f(x)的值域． 解　(1)因為函數(shù)f(x)的圖象上相鄰的兩個最高點之間的距離為π，所以T＝＝π，解得ω＝2. 因為函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x

14、＝－對稱， 所以2×＋φ＝＋kπ(k∈Z)， 解得φ＝＋kπ(k∈Z)． 又－<φ<，所以φ＝－. (2)由(1)知f(x)＝sin， 因為0≤x≤，所以－≤2x－≤， 所以－≤sin≤1， 則－≤f(x)≤. 所以當(dāng)x∈時，函數(shù)f(x)的值域為. 19．(13分)在△ABC中，設(shè)邊a，b，c所對的角分別為A，B，C.A，B，C都不是直角，且accosB＋bccosA＝a2－b2＋8cosA. (1)若sinB＝2sinC，求b，c的值； (2)若a＝，求△ABC面積的最大值． 解　(1)∵ac·＋bc· ＝a2－b2＋8cosA， ∴b2＋c2－a2＝8cosA，

15、 ∴2bccosA＝8cosA， ∵cosA≠0，∴bc＝4. 又∵sinB＝2sinC， 由正弦定理，得b＝2c，∴b＝2，c＝. (2)a2＝b2＋c2－2bccosA≥2bc－2bccosA， 即6≥8－8cosA， ∴cosA≥，當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時取等號． ∴sinA≤，∴S＝bcsinA≤， ∴△ABC面積的最大值為. 20．(13分)已知函數(shù)f(x)＝sin＋2sin2x. (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期； (2)確定函數(shù)f(x)在[0，π]上的單調(diào)性； (3)在△ABC中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對邊，若f＝，b＋c＝7，△ABC的面積為2，求邊

16、a的長． 解　(1)f(x)＝sin2xcos＋cos2xsin＋1－cos2x＝sin＋1， ∴f(x)的最小正周期T＝＝π. (2)令2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)， 解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)， ∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(k∈Z)． 同理f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，k∈Z， 故f(x)在上為減函數(shù)， 在和上為增函數(shù)． (3)∵f(x)＝sin＋1，f＝， ∴sin＝，又－