高考數(shù)學(xué)三輪增分練 高考大題縱橫練（一）理

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高考大題縱橫練(一) 1．(2016山東)設(shè)f(x)＝2sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2. (1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間； (2)把y＝f(x)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再把得到的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，求g的值． 解　(1)f(x)＝2sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2 ＝2sin2x－(1－2sin xcos x) ＝(1－cos 2x)＋sin 2x－1 ＝sin 2x－cos 2x＋－1 ＝2sin＋－1. 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)， 得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)． 所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(k∈Z). (2)由(1)知f(x)＝2sin＋－1， 把y＝f(x)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)． 得到y(tǒng)＝2sin＋－1的圖象． 再把得到的圖象向左平移個(gè)單位， 得到y(tǒng)＝2sin x＋－1的圖象， 即g(x)＝2sin x＋－1. 所以g＝2sin ＋－1＝. 2．(2016天津)某小組共10人，利用假期參加義工活動(dòng)．已知參加義工活動(dòng)次數(shù)為1,2,3的人數(shù)分別為3,3,4.現(xiàn)從這10人中隨機(jī)選出2人作為該組代表參加座談會(huì)． (1)設(shè)A為事件“選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之和為4”，求事件A發(fā)生的概率； (2)設(shè)X為選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之差的絕對(duì)值，求隨機(jī)變量X的分布列和均值． 解　(1)由已知，有P(A)＝＝. 所以事件A發(fā)生的概率為. (2)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2. P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝. 所以隨機(jī)變量X的分布列為 X 0 1 2 P 隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝0＋1＋2＝1. 3．(2016浙江)如圖，在三棱臺(tái)ABC－DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，AC＝3. (1)求證：BF⊥平面ACFD； (2)求二面角B－AD－F的平面角的余弦值． (1)證明　延長AD，BE，CF相交于一點(diǎn)K，如圖(1)所示． 圖(1) 因?yàn)槠矫鍮CFE⊥平面ABC，平面BCFE∩平面ABC＝BC，且AC⊥BC，所以AC⊥平面BCFE，因此BF⊥AC. 又因?yàn)镋F∥BC，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，所以△BCK為等邊三角形，且F為CK的中點(diǎn)，則BF⊥CK，且CK∩AC＝C， 所以BF⊥平面ACFD. (2)解　方法一　如圖(1)所示，過點(diǎn)F作FQ⊥AK于Q，連接BQ. 因?yàn)锽F⊥平面ACFD，所以BF⊥AK， 則AK⊥平面BQF，所以BQ⊥AK. 所以∠BQF是二面角B－AD－F的平面角． 在Rt△ACK中，AC＝3，CK＝2，得FQ＝. 在Rt△BQF中，F(xiàn)Q＝，BF＝， 得cos∠BQF＝. 所以二面角B－AD－F的平面角的余弦值為. 方法二　如圖(2)所示，延長AD，BE，CF相交于一點(diǎn)K，則△BCK為等邊三角形． 圖(2) 取BC的中點(diǎn)O，連接KO， 則KO⊥BC， 又平面BCFE⊥平面ABC， 所以KO⊥平面ABC. 以點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以射線OB，OK的方向?yàn)閤軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz. 由題意得B(1,0,0)，C(－1,0,0)，K(0,0，)，A(－1，－3，0)，E，F(xiàn). 因此，＝(0,3,0)，＝(1,3，)，＝(2,3,0)． 設(shè)平面ACFD的法向量為m＝(x1，y1，z1)， 平面ABED的法向量為n＝(x2，y2，z2)． 由得 取m＝(，0，－1)； 由得 取n＝(3，－2，)． 于是cos〈m，n〉＝＝. 所以二面角B－AD－F的平面角的余弦值為. 4．設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，點(diǎn)(an，bn)在函數(shù)f(x)＝2x的圖象上(n∈N*)． (1)若a1＝－2，點(diǎn)(a8,4b7)在函數(shù)f(x)的圖象上，求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn； (2)若a1＝1，函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(a2，b2)處的切線在x軸上的截距為2－，求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和Tn. 解　(1)由已知，得b7＝2，b8＝2＝4b7， 有2＝42＝2. 解得d＝a8－a7＝2. 所以Sn＝na1＋d＝－2n＋n(n－1)＝n2－3n. (2)函數(shù)f(x)＝2x在(a2，b2)處的切線方程為y－2＝(2ln 2)(x－a2)，它在x軸上的截距為a2－. 由題意知，a2－＝2－，解得a2＝2. 所以d＝a2－a1＝1，從而an＝n，bn＝2n. 所以Tn＝＋＋＋…＋＋， 2Tn＝＋＋＋…＋. 因此2Tn－Tn＝1＋＋＋…＋－ ＝2－－＝. 所以Tn＝. 5．設(shè)橢圓C：＋＝1(a>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn)與拋物線C：x2＝4y的焦點(diǎn)重合，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓的左，右焦點(diǎn)，且離心率e＝，過橢圓右焦點(diǎn)F2的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)． (1)求橢圓C的方程； (2)若＝－2，求直線l的方程； (3)若AB是橢圓C經(jīng)過原點(diǎn)O的弦，MN∥AB，求證：為定值． (1)解　由題意知，橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為(0，)， 即b＝，e＝＝，∴a＝2， ∴橢圓的方程為＋＝1. (2)解　由題意可知，直線l與橢圓必相交． ①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)不合題意． ②當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝k(x－1)(k≠0)，且M(x1，y1)，N(x2，y2)． 由得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0， x1＋x2＝，x1x2＝， ＝x1x2＋y1y2 ＝x1x2＋k2[x1x2－(x1＋x2)＋1] ＝＋k2(－＋1) ＝＝－2， 解得k＝， 故直線l的方程為y＝(x－1)或y＝－(x－1)， 即x－y－＝0或x＋y－＝0. (3)證明　設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(x3，y3)，B(x4，y4)，由(2)可得 |MN|＝|x1－x2|＝ ＝ ＝， 由消去y并整理得x2＝， |AB|＝|x3－x4|＝4 ， ∴＝＝4，為定值． 6．已知函數(shù)f(x)＝[ax2＋(a－1)2x－a2＋3a－1]ex(a∈R)． (1)若函數(shù)f(x)在(2,3)上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍； (2)若a＝0，設(shè)g(x)＝＋ln x－x，斜率為k的直線與曲線y＝g(x)交于A(x1，y1)，B(x2，y2)(其中x12. (1)解　f′(x)＝[ax2＋(a2＋1)x＋a]ex， 當(dāng)a≥0時(shí)，∵x∈(2,3)，f′(x)>0恒成立， ∴f(x)在(2,3)上單調(diào)遞增． 當(dāng)a<0時(shí)，∵f(x)在(2,3)上單調(diào)遞增， f′(x)＝a(x＋a)(x＋)ex≥0， ①當(dāng)－12， 即證(x1＋x2)>2， ∵x2－x1>0，即證ln >(>1)． 令h(x)＝ln x－(x>1)， 則h′(x)＝－＝>0， ∴h(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增， h(x)>h(1)＝0.∴l(xiāng)n >. 即(x1＋x2)k>2成立．