2021屆高三數學二輪復習 必考問題專項突破13 空間線面位置關系的推理與證明 理

題13空間線面位置關系的推理與證明(2012·江蘇)如圖，在直三棱柱ABC ­A1B1C1中，A1B1A1C1，D，E分別是棱BC，CC1上的點(點D不同于點C)，且ADDE，F為B1C1的中點求證：(1)平面ADE平面BCC1B1；(2)直線A1F平面ADE.證明(1)因為ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1平面ABC，又AD平面ABC，所以CC1AD. 又因為ADDE，CC1，DE平面BCC1B1，CC1DEE，所以AD平面BCC1B1.又AD平面ADE，所以平面ADE平面BCC1B1.(2)因為A1B1A1C1，F為B1C1的中點，所以A1FB1C1.因為CC1平面A1B1C1，且A1F平面A1B1C1，所以CC1A1F.又因為CC1，B1C1平面BCC1B1，CC1B1C1C1，所以A1F平面BCC1B1.由(1)知AD平面BCC1B1，所以A1FAD.又AD平面ADE，A1F平面ADE，所以A1F平面ADE.本問題主要以解答題的形式進行考查，重點是空間線面平行關系和垂直關系的證明，而且一般是這個解答題的第一問首先要學會認識幾何圖形，有一定的空間想象能力，對照著已知條件逐一判斷其次要熟悉相關的基本定理和基本性質，要善于把空間問題轉化為平面問題進行解答高考試題一般是利用直線與平面平行或垂直的判斷定理和性質定理，以及平面與平面平行或垂直的判定定理和性質定理，把空間中的線線位置關系、線面位置關系和面面位置關系進行相互轉化，這就要求同學們對平行與垂直的判定定理和性質定理熟練掌握，并在相應的題目中用相應的數學語言進行準確的表述必備知識平行關系的轉化兩平面平行問題常?？梢赞D化為直線與平面的平行，而直線與平面平行又可轉化為直線與直線平行，所以要注意轉化思想的應用，以下為三種平行關系的轉化示意圖解決平行問題時要注意以下結論的應用(1)經過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行(2)兩個平面平行，其中一個平面內的任一直線必平行于另一個平面(3)一條直線與兩平行平面中的一個相交，那么它與另一個也相交(4)平行于同一條直線的兩條直線平行(5)平行于同一個平面的兩個平面平行(6)如果一條直線與兩個相交平面都平行，那么這條直線必與它們的交線平行垂直關系的轉化與平行關系之間的轉化類似，它們之間的轉化如下示意圖在垂直的相關定理中，要特別注意記憶面面垂直的性質定理：兩個平面垂直，在一個平面內垂直于它們交線的直線必垂直于另一個平面，當題目中有面面垂直的條件時，一般都要用此定理進行轉化必備方法1證明平行、垂直問題常常從已知聯想到有關判定定理或性質定理，將分析法與綜合法綜合起來考慮2證明面面平行、垂直時，常轉化為線面的平行與垂直，再轉化為線線的平行與垂直3使用化歸策略可將立體幾何問題轉化為平面幾何問題4正向思維受阻時，可考慮使用反證法5計算題應在計算中融入論證，使證算合一，邏輯嚴謹通常計算題是經過“作圖、證明、說明、計算”等步驟來完成的，應不缺不漏，清晰、嚴謹此類問題涉及的知識面較廣，綜合性較強，?？疾榭臻g線線、線面、面面位置關系的判定與性質，考查學生分析、解決問題的能力，難度中檔【例1】 如圖所示，平面ABEF平面ABCD，四邊形ABEF與ABCD都是直角梯形，BADFAB90°，BC綉AD，BE綉AF，G、H分別為FA、FD的中點(1)證明：四邊形BCHG是平行四邊形；(2)C，D，F，E四點是否共面？為什么？審題視點 聽課記錄審題視點 要證明四邊形BCHG是平行四邊形，只要證明GH綉B(tài)C或GB綉HC即可；要證明C，D，E，F共面，可通過證明四邊形CDEF中至少有一組對邊平行或兩邊的延長線相交即可(1)證明由題意知，FGGA，FHHD，所以GH綉AD.又BC綉AD，故GH綉B(tài)C.所以四邊形BCHG是平行四邊形(2)解C、D、F、E四點共面理由如下：由BE綉AF，G是FA的中點知，BE綉GF，所以EF綉B(tài)G.由(1)知BGCH，所以EFCH，故EC、FH共面又點D在直線FH上，所以C、D、F、E四點共面法二由題設知FA，AB，AD兩兩互相垂直，如圖，以A為坐標原點，以射線AB為x軸正方向，以射線AD為y軸正方向，以射線AF為z軸正方向，建立直角坐標系Axyz.(1)證明設ABa，BCb，BEc，則由題設得A(0,0,0)，B(a,0,0)，C(a，b,0)，D(0,2b,0)，E(a,0，c)，G(0,0，c)，H(0，b，c)所以(0，b,0)，(0，b,0)，于是.又點G不在直線BC上，所以四邊形BCHG是平行四邊形(2)解C，D，F，E四點共面理由如下：由題設知F(0,0,2c)，所以(a,0，c)，(a,0，c)，又CEF，HFD，故C，D，E，F四點共面 解決空間線面位置關系的組合判斷題常有以下方法：(1)借助空間線面位置關系的線面平行、面面平行、線面垂直、面面垂直的判定定理和性質定理逐項判斷來解決問題；(2)借助空間幾何模型，如從長方體模型、四面體模型等模型中觀察線面位置關系，結合有關定理，肯定或否定某些選項，并作出選擇【突破訓練1】 給出下列關于互不相同的直線m，l，n和平面，的四個命題：若m，lA，點Am，則l與m不共面；若m、l是異面直線，l，m，且nl，nm，則n；若l，m，則lm；若l，m，lmA，l，m，則.其中為真命題的是_(填序號)解析中l(wèi)m或l，m異面，所以錯誤，其他正確答案此類問題多以多面體為載體，求證線線、線面的平行與垂直，在解答題中往往作為第一問，難度一般不大，適當添加輔助線是解題的常用方法，考查學生靈活應用線線、線面的平行與垂直的相互轉化能力【例2】 如圖所示，正三棱柱A1B1C1ABC中，點D是BC的中點，BCBB1，設B1DBC1F.求證：(1)A1C平面AB1D；(2)BC1平面AB1D.審題視點 聽課記錄審題視點 本題可先挖掘正三棱柱中有關的線面平行及垂直關系，第(1)問可利用“線線平行”或“面面平行”，第(2)問可利用“線線垂直”來證“線面垂直”證明(1)連接A1B，設A1B與AB1交于E，連接DE.點D是BC中點，點E是A1B中點，DEA1C，A1C平面AB1D，DE平面AB1D，A1C平面AB1D.(2)ABC是正三角形，點D是BC的中點，ADBC.平面ABC平面B1BCC1，平面ABC平面B1BCC1BC，AD平面ABC，AD平面B1BCC1，BC1平面B1BCC1，ADBC1.點D是BC的中點，BCBB1，BDBB1.，RtB1BDRtBCC1.BDB1BC1C.FBDBDFC1BCBC1C90°.BC1B1D.因為B1DADD，BC1平面AB1D. 將立體幾何問題轉化為平面幾何問題，是解決立體幾何問題的很好途徑，其中過特殊點作輔助線，構造平面是比較常用的方法當然，記住公式、定理、概念等基礎知識是解決問題的前提【突破訓練2】 (2011·山東)如圖，在四棱臺ABCDA1B1C1D1中，D1D平面ABCD，底面ABCD是平行四邊形，AB2AD，ADA1B1，BAD60°.證明：(1)AA1BD；(2)CC1平面A1BD.證明(1)因為D1D平面ABCD，且BD平面ABCD，所以BDD1D，取AB的中點G，連接DG，在ABD中，由AB2AD得，AGAD，又BAD60°，所以ADG為等邊三角形因此GDGB，故DBGGDB，又AGD60°，所以GDB30°，故ADBADGGDB60°30°90°所以BDAD.又ADD1DD，所以BD平面ADD1A1，又AA1平面ADD1A1，故AA1BD.(2)連接AC，A1C1，設ACBDE，連接EA1，因為四邊形ABCD為平行四邊形，所以ECAC，由棱臺定義及AB2AD2A1B1知，A1C1EC且A1C1EC，所以四邊形A1ECC1為平行四邊形，因此CC1EA1，又因為EA1平面A1BD，CC1平面A1BD，所以CC1平面A1BD.此類問題多以多面體為載體，結合線線、線面的位置關系，涉及的知識點多，綜合性強，通?？疾槊婷嫖恢藐P系的判定及性質，考查學生的推理論證能力【例3】 如圖所示，在四棱錐PABCD中，PAB為正三角形，且面PAB面ABCD，四邊形ABCD是直角梯形，且ADBC，BCD，AD1，BC2，E為棱PC的中點(1)求證：DE平面PAB；(2)求證：平面PAB平面PBC.審題視點 聽課記錄審題視點 (1)證明線面平行只需在平面內找一條和該直線平行的直線即可，也可轉化為經過這條直線的平面和已知平面平行；(2)證明面面垂直，只需在一個平面內找到另一個平面的垂線(1)證明如圖所示，取線段BC的中點F，連接EF、FD.在PBC中，E、F分別為PC、CB的中點，EFPB.在直角梯形ABCD中，F為CB的中點，BFBC1.又ADBC，且AD1，AD綉B(tài)F.四邊形ABFD是平行四邊形，FDAB.又EFFDF，PBBAB，平面EFD平面PAB.又DE平面EFD，DE平面PAB.(2)證明在直角梯形中，CBAB，又平面PAB平面ABCD，且平面PAB平面ABCDAB，CB平面PAB.CB平面PBC，平面PBC平面PAB. 解決空間兩個平面位置關系的思維方法是“以退為進”，即面面問題退證為線面問題，再退證為線線問題，充分利用面面、線面、線線相互之間的轉化關系【突破訓練3】 (2011·江蘇)如圖，在四棱錐PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABAD，BAD60°，E，F分別是AP，AD的中點求證：(1)直線EF平面PCD；(2)平面BEF平面PAD.證明(1)如圖，在PAD中，因為E，F分別為AP，AD的中點，所以EFPD.又因為EF平面PCD，PD平面PCD，所以直線EF平面PCD.(2)連接BD.因為ABAD，BAD60°，所以ABD為正三角形因為F是AD的中點，所以BFAD.因為平面PAD平面ABCD，BF平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以BF平面PAD.又因為BF平面BEF，所以平面BEF平面PAD.此類問題通常是把平面圖形折疊成空間幾何體，并以此為載體考查線線、線面、面面位置關系及有關計算考查學生的知識遷移能力和空間想象能力，難度較大【例4】 (2012·臨沂二模)如圖，在直角梯形ABCP中，APBC，APAB，ABBCAP，D是AP的中點，E、F分別為PC、PD的中點，將PCD沿CD折起得到四棱錐PABCD.(1)G為線段BC上任一點，求證：平面EFG平面PAD；(2)當G為BC的中點時，求證：AP平面EFG.審題視點 聽課記錄審題視點 (1)轉化為證EF平面PAD；(2)轉化為證平面PAB平面EFG.證明(1)在直角梯形ABCP中，BCAP，BCAP，D為AP的中點，BC綉AD，又ABAP，ABBC，四邊形ABCD為正方形CDAP，CDAD，CDPD.在四棱錐PABCD中，E，F分別為PC、PD的中點，EFCD、EFAD，EFPD.又PDADD、PD面PAD、AD面PAD.EF面PAD.又EF面EFG，面EFG面PAD.(2)法一G、F分別為BC和PC中點，GFBP，GF面PAB，BP面PAB，GF面PAB.由(1)知，EFDC，ABDC，EFAB，EF面PAB，AB面PAB，EF面PAB.EFGFF，EF面EFG，GF面EFG.面EFG面PAB.PA面PAB，PA面EFG.法二取AD中點H，連接GH、HE.由(1)知四邊形ABCD為平行四邊形，又G、H分別為BC、AD的中點，GHCD.由(1)知，EFCD，EFGH.四點E、F、G、H共面E、H分別為PD、AD的中點，EHPA.PA面EFGH，EH面EFGH，PA面EFGH，即PA面EFG. (1)解決與折疊有關的問題的關鍵是搞清折疊前后的變化量和不變量，一般情況下，折線同一側的線段的長度是不變量，而位置關系往往會發(fā)生變化，抓住不變量是解決問題的突破口(2)在解決問題時，要綜合考慮折疊前后的圖形，既要分析折疊后的圖形，也要分析折疊前的圖形【突破訓練4】 如圖，平行四邊形ABCD中，DAB60°，AB2，AD4.將CBD沿BD折起到EBD的位置，使平面EBD平面ABD.(1)求證：ABDE；(2)求三棱錐EABD的側面積(1)證明在ABD中，AB2，AD4，DAB60°，BD2.AB2BD2AD2，ABBD.又平面EBD平面ABD，平面EBD平面ABDBD，AB平面ABD，AB平面EBD.又DE平面EBD，ABDE.(2)解由(1)知ABBD.CDAB，CDBD，從而DEBD.在RtDBE中，DB2，DEDCAB2，SDBEDB·DE2.又AB平面EBD，BE平面EBD，ABBE.BEBCAD4，SABEAB·BE4.DEBD，平面EBD平面ABD，ED平面ABD，而AD平面ABD，EDAD，SADEAD·DE4.綜上，三棱錐EABD的側面積S82.證明線面關系，嚴禁跳步作答證明線面位置關系的基本思想是轉化與化歸，根據線面平行、垂直關系的判定和性質，進行相互之間的轉化，但分析問題時不能只局限在線上，要把相關的線歸結到某個平面上，通過證明線面垂直達到證明線線垂直的目的，但證明線面垂直又要借助于線線垂直，在不斷的相互轉化中達到最終目的【示例】 (2012·北京東城一模)在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別為DD1、DB的中點(1)求證：EF平面ABC1D1；(2)求證：EFB1C.滿分解答(1)連接BD1，如圖所示，在DD1B中，E、F分別為DD1、DB的中點，則EFD1B，D1B平面ABC1D1，EF平面ABC1D1，EF平面ABC1D1.(6分)(2)ABCDA1B1C1D1為正方體，AB平面BCC1B1.B1CAB.又B1CBC1，AB平面ABC1D1，BC1平面ABC1D1且ABBC1B，B1C平面ABC1D1，又BD1平面ABC1D1，B1CBD1.又EFBD1，EFB1C.(12分)老師叮嚀：本題失分原因主要有兩點：一是推理論證不嚴謹，在使用線面位置關系的判定定理、性質定理時忽視定理的使用條件，如由EFD1B就直接得出EF平面ABC1D1；二是線面位置關系的證明思路出錯，如本題第(2)問的證明，缺乏轉化的思想意識，不知道證明線線垂直可以通過線面垂直達到目的，出現證明上的錯誤解這類問題時要注意推理嚴謹，使用定理時找足條件，書寫規(guī)范等【試一試】 (2012·福州二模)如圖，在四棱錐SABCD中，底面ABCD是菱形，SA底面ABCD，M為SA的中點，N為CD的中點證明：(1)平面SBD平面SAC；(2)直線MN平面SBC.證明(1)ABCD是菱形，BDAC.SA底面ABCD，BDSA.SAACA，BD平面SAC.又BD平面SBD，平面SBD平面SAC.(2)如圖，取SB中點E，連接ME，CE.M為SA中點，MEAB且MEAB.又ABCD是菱形，N為CD的中點，CNAB且CNCDAB.CN綉ME.四邊形CNME是平行四邊形，MNCE.又MN平面SBC，CE平面SBC，直線MN平面SBC.13