2021屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 必考問題專項(xiàng)突破21 數(shù)學(xué)思想在解題中的應(yīng)用（1） 理

問題21數(shù)學(xué)思想在解題中的應(yīng)用(一)1(2012·重慶)設(shè)平面點(diǎn)集A(x，y)|(yx)0，B(x，y)|(x1)2(y1)21，則AB所表示的平面圖形的面積為()A. B. C. D.答案： D數(shù)形結(jié)合，畫出圖象，可知集合B表示的是一個(gè)圓面，集合A表示的圖形在圓(x1)2(y1)21內(nèi)的部分正好是圓面積的一半，因此AB所表示的平面圖形的面積是，選D.2(2012·新課標(biāo)全國(guó))設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓E：1(ab0)的左、右焦點(diǎn)，P為直線x上一點(diǎn)，F(xiàn)2PF1是底角為30°的等腰三角形，則E的離心率為()A. B. C. D.答案：C由題意可得|PF2|F1F2|，22c，3a4c，e.3(2012·遼寧)設(shè)變量x，y滿足則2x3y的最大值為()A20 B35 C45 D55答案：D根據(jù)不等式組確定平面區(qū)域，再平移目標(biāo)函數(shù)求最大值作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域(如圖所示)，平移直線yx，易知直線經(jīng)過可行域上的點(diǎn)A(5,15)時(shí)，2x3y取得最大值55，故選擇D.4(2012·重慶)過拋物線y22x的焦點(diǎn)F作直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若|AB|，|AF|BF|，則|AF|_.解析設(shè)過拋物線焦點(diǎn)的直線為yk，聯(lián)立得整理得k2x2(k22)xk20，x1x2，x1x2.|AB|x1x211，得k224代入k2x2(k22)xk20得12x213x30，解之得x1，x2，又|AF|BF|，故|AF|x1.答案1函數(shù)的主干知識(shí)、函數(shù)的綜合應(yīng)用以及函數(shù)與方程思想的考查一直是高考的重點(diǎn)內(nèi)容之一高考試題中，既有靈活多變的客觀性小題，又有一定能力要求的主觀性大題，難度有易有難，可以說是貫穿了數(shù)學(xué)高考整份試卷，高考中所占比重比較大2數(shù)形結(jié)合思想的考查常以數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)式的幾何意義、函數(shù)圖象、解析幾何等為載體，多數(shù)以選擇題、填空題出現(xiàn)，難度中等(1)對(duì)于函數(shù)與方程思想，在解題中要善于挖掘題目中的隱含條件，構(gòu)造出函數(shù)解析式和妙用函數(shù)與方程的相互轉(zhuǎn)化的關(guān)系是應(yīng)用函數(shù)與方程思想解題的關(guān)鍵(2)在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析問題時(shí)，要注意三點(diǎn)：理解一些概念與運(yùn)算法則的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征，對(duì)題目中的條件和結(jié)論既分析其幾何意義，又分析其代數(shù)意義；恰當(dāng)設(shè)參、合理用參，建立關(guān)系，由形思數(shù)，以數(shù)想形，做好數(shù)形轉(zhuǎn)化；確定參數(shù)的取值范圍，參數(shù)的范圍決定圖形的范圍.必備知識(shí)函數(shù)與方程思想(1)函數(shù)思想就是用運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)，分析和研究具體問題中的數(shù)量關(guān)系，并通過函數(shù)形式建立函數(shù)關(guān)系，然后利用函數(shù)有關(guān)的知識(shí)(定義域、值域、最值、單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性、圖象、導(dǎo)數(shù))使問題得以解決函數(shù)思想貫穿于高中數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，不僅在函數(shù)各章的學(xué)習(xí)，而且在研究方程、不等式、數(shù)列、解析幾何等其他內(nèi)容時(shí)也起著十分重要的作用(2)方程的思想，是分析數(shù)學(xué)問題中變量間的等量關(guān)系，從而建立方程或方程組，通過解方程或方程組，或者運(yùn)用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問題，使問題獲得解決在實(shí)際問題的解決過程中，函數(shù)、方程、不等式等常?；ハ噢D(zhuǎn)化因此，函數(shù)與方程的思想是高考考查的重點(diǎn)知識(shí)數(shù)形結(jié)合思想(1)數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法數(shù)形結(jié)合思想通過“以形助數(shù)，以數(shù)解形”，使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，抽象問題具體化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，它是數(shù)學(xué)規(guī)律性與靈活性的有機(jī)結(jié)合(2)數(shù)形結(jié)合的思想方法應(yīng)用廣泛，如解方程、不等式問題，求函數(shù)的值域、最值問題、三角函數(shù)問題，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，不僅直觀易發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且能避免復(fù)雜的計(jì)算與推理，大大簡(jiǎn)化了解題過程必備方法1在高中數(shù)學(xué)的各個(gè)部分，都有一些公式和定理，這些公式和定理本身就是方程，如等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、余弦定理、解析幾何的弦長(zhǎng)公式等，當(dāng)試題與這些問題有關(guān)時(shí)，就需要根據(jù)這些公式或者定理列方程或方程組求解需要的量2函數(shù)與不等式也可以相互轉(zhuǎn)化，對(duì)于函數(shù)yf(x)，當(dāng)y0時(shí)，就轉(zhuǎn)化為不等式f(x)0，借助于函數(shù)圖象與性質(zhì)解決有關(guān)問題，而研究函數(shù)的性質(zhì)，也離不開解不等式3在數(shù)學(xué)中函數(shù)的圖象、方程的曲線、不等式所表示的平面區(qū)域、向量的幾何意義、復(fù)數(shù)的幾何意義等都實(shí)現(xiàn)以形助數(shù)的途徑，當(dāng)試題中涉及這些問題的數(shù)量關(guān)系時(shí)，我們可以通過形分析這些數(shù)量關(guān)系，達(dá)到解題的目的 關(guān)問題函數(shù)思想，不僅是利用函數(shù)的方法來研究解決有關(guān)函數(shù)問題，更重要的是運(yùn)用函數(shù)的觀點(diǎn)去分析、解決問題，它的精髓是通過建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)，再運(yùn)用函數(shù)的圖象和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題，從而使問題獲得解決【例1】 (2012·遼寧)設(shè)f(x)ln(x1) axb(a，bR，a，b為常數(shù))，曲線yf(x)與直線yx在(0,0)點(diǎn)相切(1)求a，b的值；(2)證明：當(dāng)0x2時(shí)，f(x).審題視點(diǎn) 聽課記錄審題視點(diǎn) (1)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)；(2)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)，并且結(jié)合放縮法的應(yīng)用(1)解由yf(x)過(0,0)點(diǎn)，得b1.由yf(x)在(0,0)點(diǎn)的切線斜率為，又y|x0|x0a，得a0.(2)證明由均值不等式，當(dāng)x0時(shí)，2 x11x2，故1.記h(x)f(x)，則h(x).令g(x)(x6)3216(x1)，則當(dāng)0x2時(shí)，g(x)3(x6)22160.因此g(x)在(0,2)內(nèi)是遞減函數(shù)，又由g(0)0，得g(x)0，所以h(x)0.因此h(x)在(0,2)內(nèi)是遞減函數(shù)，又h(0)0，得h(x)0.于是當(dāng)0x2時(shí)，f(x). 根據(jù)所證不等式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，研究該函數(shù)的單調(diào)性是解決這一類問題的關(guān)鍵，本題并沒有千篇一律的將不等式右邊也納入到所構(gòu)造函數(shù)中，而是具體問題具體分析，使問題得解，體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)的工具性以及函數(shù)、方程的數(shù)學(xué)思想【突破訓(xùn)練1】 證明：對(duì)任意的正整數(shù)n，不等式ln都成立證明令f(x)x3x2ln(x1)，則f(x)在(0,1上恒正f(x)在(0,1上單調(diào)遞增，當(dāng)x(0,1時(shí)，有x3x2ln(x1)0，即ln(x1)x2x3，對(duì)任意正整數(shù)n，取x(0,1，得ln. 關(guān)問題解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題時(shí)，用到最多的是方程思想，即列方程組，通過判別式、根與系數(shù)的關(guān)系來研究方程解的情況進(jìn)一步研究直線與圓錐曲線的關(guān)系，同時(shí)處理范圍與最值問題時(shí)也要用到函數(shù)思想【例2】 (2012·湖南)在直角坐標(biāo)系xOy中，已知中心在原點(diǎn)，離心率為的橢圓E的一個(gè)焦點(diǎn)為圓C：x2y24x20的圓心(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)P是橢圓E上一點(diǎn)，過P作兩條斜率之積為的直線l1，l2.當(dāng)直線l1，l2都與圓C相切時(shí)，求P的坐標(biāo)審題視點(diǎn) 聽課記錄審題視點(diǎn) (1)將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，然后根據(jù)條件列出關(guān)于a，b，c，e的方程，解方程(組)即可；(2)設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)及直線方程，根據(jù)直線與圓相切，圓心到直線的距離等于半徑，構(gòu)造一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系及P在橢圓上列出方程組，求解得P點(diǎn)的坐標(biāo)解(1)由x2y24x20得(x2)2y22，故圓C的圓心為點(diǎn)(2,0)從而可設(shè)橢圓E的方程為1(ab0)，其焦距為2c.由題設(shè)知c2，e.所以a2c4，b2a2c212.故橢圓E的方程為1.(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，y0)，l1，l2的斜率分別為k1，k2，則l1，l2的方程分別為l1：yy0k1(xx0)，l2：yy0k2(xx0)，且k1k2，由l1與圓C：(x2)2y22相切得 ，即(2x0)22k2(2x0)y0k1y20.同理可得(2x0)22k2(2x0)y0k2y20.從而k1，k2是方程(2x0)22k22(2x0)y0ky20的兩個(gè)實(shí)根，于是且k1k2.由得5x8x0360，解得x02，或x0.由x02得y0±3；由x0得y0±，它們均滿足式故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,3)，或(2，3)，或，或. 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中滲透著函數(shù)與方程的思想，在解決解析幾何問題時(shí)常常用到函數(shù)與方程的思想【突破訓(xùn)練2】 (2012·安徽)如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓C：1(ab0)的左、右焦點(diǎn)，A是橢圓C的頂點(diǎn)，B是直線AF2與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)，F(xiàn)1AF260°.(1)求橢圓C的離心率；(2)已知AF1B的面積為40 ，求a，b的值解(1)由題意可知，AF1F2為等邊三角形，a2c，所以e.(2)法一a24c2，b23c2，直線AB的方程可為y(xc)將其代入橢圓方程3x24y212c2，得B.所以|AB|·c.由SAF1B|AF1|·|AB| sinF1ABa·c·a240，解得a10，b5.法二設(shè)|AB|t.因?yàn)閨AF2|a，所以|BF2|ta.由橢圓定義|BF1|BF2|2a可知，|BF1|3at.再由余弦定理(3at)2a2t22atcos 60°可得，ta.由SAF1Ba·a·a240知，a10，b5.討論方程的解可構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，使求方程的解的問題轉(zhuǎn)化為討論兩曲線交點(diǎn)的問題，但用圖象法討論方程的解，一定要注意圖象的精確性、全面性【例3】 方程xsin x0在區(qū)間0,2上的實(shí)根個(gè)數(shù)為()A1 B2 C3 D4審題視點(diǎn) 聽課記錄答案： B方程xsin x0在區(qū)間0,2上解的個(gè)數(shù)，可以轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)yx與ysin x交點(diǎn)的個(gè)數(shù)根據(jù)右面圖象可得交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2，即方程解的個(gè)數(shù)為2.故選B. 用函數(shù)的圖象討論方程(特別是含參數(shù)的指數(shù)、對(duì)數(shù)、根式、三角等復(fù)雜方程)的解的個(gè)數(shù)是一種重要的思想方法，其基本思想是先把方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個(gè)熟悉函數(shù)的表達(dá)式(不熟悉時(shí)，需要作適當(dāng)變形轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù))，然后在同一坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為方程解的個(gè)數(shù)【突破訓(xùn)練3】 (2012·山東煙臺(tái)模擬)設(shè)函數(shù)f(x)若f(4)f(0)，f(2)2，則關(guān)于x的方程f(x)x的解的個(gè)數(shù)為()A1 B2 C3 D4【突破訓(xùn)練3】 Cf(x)x24x2，x0，這個(gè)函數(shù)的圖象如圖所示：可知直線yx與f(x)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，選C. 或求最值在解含有參數(shù)的不等式時(shí)，由于涉及到參數(shù)，往往需要討論，導(dǎo)致演算過程繁瑣冗長(zhǎng)如果題設(shè)與幾何圖形有聯(lián)系，那么利用數(shù)形結(jié)合的方法，問題將會(huì)簡(jiǎn)練地得到解決【例4】 (2012·濰坊模擬)不等式|x3|x1|a23a對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A(，14，) B(，25，)C1,2 D(，12，)審題視點(diǎn) 聽課記錄審題視點(diǎn) 去掉絕對(duì)值化為分段函數(shù)，畫出函數(shù)圖象找到這個(gè)函數(shù)的最大值再求解答案：Af(x)|x3|x1|畫出函數(shù)f(x)的圖象，如圖，可以看出函數(shù)f(x)的最大值為4，故只要a23a4即可，解得a1或a4.選項(xiàng)為A. 本題的知識(shí)背景涉及函數(shù)、不等式、絕對(duì)值等，“題目中的某些部分都可以使用圖形”表示，在解題時(shí)我們就是把這些可以用圖形表示的部分用圖形表示出來，借助于圖形的直觀獲得了解決問題的方法，這就是以形助數(shù)，是數(shù)形結(jié)合中的一個(gè)主要方面在解答選擇題的過程中，可以先根據(jù)題意，做出草圖，然后參照?qǐng)D形的作法、形狀、位置、性質(zhì)，并綜合圖象的特征得出結(jié)論【突破訓(xùn)練4】 (2010·天津)設(shè)函數(shù)g(x)x22(xR)f(x)則f(x)的值域是()A.(1，) B0，)C. D.(2，)答案： D由題意知f(x)所以結(jié)合圖形，可得當(dāng) x(，1)(2，)時(shí)，f(x)的值域?yàn)?2，)；當(dāng)x1,2時(shí)，f(x)的值域?yàn)?故選D.突破數(shù)形結(jié)合思想缺失的障礙解答函數(shù)試題，很多時(shí)候函數(shù)圖象是隱形的，即在試題中沒有出現(xiàn)函數(shù)圖象，在答題中一般也不要畫出函數(shù)圖象，但在尋找解題思路時(shí)必須借助于函數(shù)圖象，這就是數(shù)形結(jié)合思想的深刻體現(xiàn)，而很多學(xué)生常常在解題中對(duì)這種隱形的數(shù)形結(jié)合意識(shí)不到，導(dǎo)致解題錯(cuò)誤【示例】 (2012·德州模擬)已知函數(shù)f(x)x33ax1，a0.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若f(x)在x1處取得極值，直線ym與yf(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求m的取值范圍滿分解答(1)f(x)3x23a3(x2a)，當(dāng)a0時(shí)，對(duì)任意的xR，有f(x)0，此時(shí)，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(，)；當(dāng)a0時(shí)，由f(x)0解得x或x，由f(x)0解得x，故當(dāng)a0時(shí)，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(，)，(，)；f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(，)(4分)(2)因?yàn)閒(x)在x1處取得極值，所以f(1)3×(1)23a0，a1.(6分)所以f(x)x33x1，f(x)3x23，由f(x)0解得x11，x21.由(1)中f(x)的單調(diào)性可知，f(x)在x1處取得極大值f(1)1，在x1處取得極小值f(1)3.因?yàn)橹本€ym與函數(shù)yf(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，結(jié)合f(x)的單調(diào)性畫出圖象(如圖所示)可知，m的取值范圍是(3,1)(12分)老師叮嚀：解答本題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，但前提必須是利用導(dǎo)數(shù)把函數(shù)的性質(zhì)研究透徹，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)把函數(shù)圖象的大致形態(tài)勾畫出來，根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想找到實(shí)數(shù)m所滿足的條件，再進(jìn)行嚴(yán)格的推理論證.【試一試】 (2012·廣東模擬)設(shè)函數(shù)f(x)ax33ax，g(x)bx2ln x(a，bR)，已知它們?cè)趚1處的切線互相平行(1)求b的值；(2)若函數(shù)F(x)且方程F(x)a2有且僅有四個(gè)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解函數(shù)g(x)bx2ln x的定義域?yàn)?0，)(1)f(x)3ax23af(1)0，g(x)2bxg(1)2b1，依題意2b10，所以b.(2)x(0,1)時(shí)，g(x)x0，x(1，)時(shí)，g(x)x0，所以當(dāng)x1時(shí)，g(x)取極小值g(1)；當(dāng)a0時(shí)，方程F(x)a2不可能有四個(gè)解；當(dāng)a0時(shí)，x(，1)時(shí)，f(x)0，x(1,0)時(shí)，f(x)0，所以x1時(shí)，f(x)取得極小值f(1)2a，又f(0)0，所以F(x)的圖象如下：從圖象可以看出F(x)a2不可能有四個(gè)解當(dāng)a0時(shí)，x(，1)時(shí)，f(x)0，x(1,0)時(shí)，f(x)0，所以x1時(shí)，f(x)取得極大值f(1)2a.又f(0)0，所以F(x)的圖象如下：從圖象看出方程F(x)a2有四個(gè)解，則a22a，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.12