2021屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 必考問(wèn)題專項(xiàng)突破5 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式的綜合問(wèn)題 理

必考問(wèn)題5函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式的綜合問(wèn)題(2012·山東)已知函數(shù)f(x)(k為常數(shù)，e2.718 28是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線與x軸平行(1)求k的值；(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(3)設(shè)g(x)xf(x)，其中f(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，證明：對(duì)任意x0，g(x)1e2.解(1)由f(x)，得f(x)，x(0，)，由于曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線與x軸平行所以f(1)0，因此k1.(2)由(1)得f(x)(1xxln x)，x(0，)，令h(x)1xxln x，x(0，)，當(dāng)x(0,1)時(shí)，h(x)0；當(dāng)x(1，)時(shí)，h(x)0.又ex0，所以x(0,1)時(shí)，f(x)0；x(1，)時(shí)，f(x)0.因此f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1，)(3)因?yàn)間(x)xf(x)，所以g(x)(1xxln x)，x(0，)，由(2)得，h(x)1xxln x，求導(dǎo)得h(x)ln x2(ln xln e2)所以當(dāng)x(0，e2)時(shí)，h(x)0，函數(shù)h(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x(e2，)時(shí)，h(x)0，函數(shù)h(x)單調(diào)遞減所以當(dāng)x(0，)時(shí)，h(x)h(e2)1e2.又當(dāng)x(0，)時(shí)，01，所以當(dāng)x(0，)時(shí)，h(x)1e2，即g(x)1e2.綜上所述結(jié)論成立導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、方程、不等式的交匯綜合，以及利用導(dǎo)數(shù)研究實(shí)際中的優(yōu)化問(wèn)題，是命題的熱點(diǎn)，而且不斷豐富創(chuàng)新題型以解答題的形式為主，綜合考查學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力應(yīng)通過(guò)一些典型例題的分析提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力解題時(shí)要善于把復(fù)雜的、生疏的、非規(guī)范化的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的、熟悉的、規(guī)范化的問(wèn)題來(lái)解決.常考查：確定零點(diǎn)，圖象交點(diǎn)及方程解的個(gè)數(shù)問(wèn)題；應(yīng)用零點(diǎn)、圖象交點(diǎn)及方程解的存在情況，求參數(shù)的值或范圍該類試題一般以含參數(shù)的高次式、分式、指數(shù)式或?qū)?shù)式結(jié)構(gòu)的函數(shù)、方程呈現(xiàn)主要考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合思想，以及運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力【例1】 已知x3是函數(shù)f(x)aln(1x)x210x的一個(gè)極值點(diǎn)(1)求a；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(3)若直線yb與函數(shù)yf(x)的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，求b的取值范圍審題視點(diǎn) 聽課記錄審題視點(diǎn) (1)由f(3)0求a；(2)由f(x)0或f(x)0，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(3)求f(x)的極值，結(jié)合圖象可確定b的取值范圍解f(x)的定義域：(1，)(1)f(x)2x10，又f(3)6100，a16.經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)x3為f(x)極值點(diǎn)，故a16.(2)f(x)2x10.當(dāng)1<x<1或x>3時(shí)，f(x)>0；當(dāng)1<x<3時(shí)，f(x)<0.f(x)單調(diào)增區(qū)間為：(1,1)，(3，)，單調(diào)減區(qū)間為(1,3)(3)由(2)知，f(x)在(1,1)內(nèi)單調(diào)增加，在(1,3)內(nèi)單調(diào)減少，在(3，)上單調(diào)增加，且當(dāng)x1或x3時(shí)，f(x)0.所以f(x)的極大值為f(1)16ln 29，極小值為f(3)32ln 221.因?yàn)閒(16)>16210×16>16ln 29f(1)，f(e21)<321121<f(3)，所以在f(x)的三個(gè)單調(diào)區(qū)間(1,1)，(1,3)，(3，)直線yb與yf(x)的圖象各有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)f(3)<b<f(1)因此b的取值范圍為(32ln 221,16ln 29) 對(duì)于研究方程根的個(gè)數(shù)的相關(guān)問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)這一工具和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想就可以很好地解決這類問(wèn)題求解的通法是：(1)構(gòu)造函數(shù)，這是解決此類題的關(guān)鍵點(diǎn)和難點(diǎn)，并求其定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)，得單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)；(3)畫出函數(shù)草圖；(4)數(shù)形結(jié)合，挖掘隱含條件，確定函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)情況進(jìn)而求解【突破訓(xùn)練1】 (2012·聊城二模)設(shè)函數(shù)f(x)(1x)22ln (1x)(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若關(guān)于x的方程f(x)x2xa在0,2上恰有兩個(gè)相異實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解(1)函數(shù)的定義域?yàn)?1，)，因?yàn)閒(x)(1x)22ln(1x)，所以f(x)2，由f(x)0，得x0；由f(x)0，得1x0，所以，f(x)的遞增區(qū)間是(0，)，遞減區(qū)間是(1,0)(2)方程f(x)x2xa，即xa12ln(1x)0，記g(x)xa12ln(1x)(x1)，則g(x)1，由g(x)0，得x1；由g(x)0，得1x1.所以g(x)在0,1上單調(diào)遞減，在1,2上單調(diào)遞增為使f(x)x2xa在0,2上恰有兩個(gè)相異的實(shí)根，只須g(x)0在0,1)和(1,2上各有一個(gè)實(shí)根，于是有即解得22ln 2a32ln 3，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(22ln 2,32ln 3通?？疾楦叽问健⒎质交蛑笖?shù)式、對(duì)數(shù)式、絕對(duì)值不等式在某個(gè)區(qū)間上恒成立，求參數(shù)的取值范圍，試題涉及到的不等式常含有一個(gè)或兩個(gè)參數(shù)【例2】 (2011·湖北)設(shè)函數(shù)f(x)x32ax2bxa，g(x)x23x2，其中xR，a，b為常數(shù)已知曲線yf(x)與yg(x)在點(diǎn)(2,0)處有相同的切線l.(1)求a，b的值，并寫出切線l的方程；(2)若方程f(x)g(x)mx有三個(gè)互不相同的實(shí)根0、x1、x2，其中x1x2，且對(duì)任意的xx1，x2，f(x)g(x)m(x1)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍審題視點(diǎn) 聽課記錄審題視點(diǎn) (1)基礎(chǔ)；(2)根據(jù)已知條件f(x)g(x)mx有三個(gè)互不相同的實(shí)根0、x1、x2可列一方程，由判斷式可得m的范圍，再將已知條件：對(duì)任意xx1，x2，f(x)g(x)m(x1)恒成立，轉(zhuǎn)化為f(x)g(x)mxm恒成立，從而求f(x)g(x)mx的最大值解(1)a2，b5，切線l的方程為xy20.(2)由(1)得，f(x)x34x25x2，所以f(x)g(x)x33x22x.依題意，方程x(x23x2m)0有三個(gè)互不相同的實(shí)根0，x1，x2，故x1，x2是方程x23x2m0的兩相異的實(shí)根，所以94(2m)0，即m.又對(duì)任意的xx1，x2，f(x)g(x)m(x1)恒成立特別地，取xx1時(shí)，f(x1)g(x1)mx1m成立，得m0.由韋達(dá)定理，可得x1x230，對(duì)任意的xx1，x2，有xx20，xx10，x0，則f(x)g(x)mxx(xx1)(xx2)0，又f(x1)g(x1)mx10，所以函數(shù)f(x)g(x)mx在xx1，x2的最大值為0.于是當(dāng)m0時(shí)，對(duì)任意的xx1，x2，f(x)g(x)m(x1)恒成立綜上，m的取值范圍是. (1)利用導(dǎo)數(shù)方法證明不等式f(x)g(x)在區(qū)間D上恒成立的基本方法是構(gòu)造函數(shù)h(x)f(x)g(x)，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，或者函數(shù)的最值證明函數(shù)h(x)0，其中一個(gè)重要技巧就是找到函數(shù)h(x)在什么地方可以等于零，這往往就是解決問(wèn)題的一個(gè)突破口(2)利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題是一類重要題型，體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)的工具性作用，將函數(shù)、不等式緊密結(jié)合起來(lái)，考查了學(xué)生綜合解決問(wèn)題的能力【突破訓(xùn)練2】 已知函數(shù)f(x)kx，g(x).(1)求函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若不等式f(x)g(x)在區(qū)間(0，)上恒成立，求k的取值范圍解(1)g(x)(x0)，g(x)，令g(x)0，得0xe，故函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，e)(2)x(0，)，由kx，得k，令h(x)，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為k大于等于h(x)的最大值，又h(x)，令h(x)0時(shí)，x，當(dāng)x在區(qū)間(0，)內(nèi)變化時(shí)，h(x)、h(x)變化情況如下表：x(0，)(，)h(x)0h(x)由表知當(dāng)x時(shí)，函數(shù)h(x)有最大值，且最大值為，因此k.通常是證明與已知函數(shù)有關(guān)的關(guān)于x(或關(guān)于其他變量n等)的不等式在某個(gè)范圍內(nèi)成立，求解需構(gòu)造新函數(shù)，用到函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)，以及不等式的性質(zhì)等知識(shí)完成證明【例3】 設(shè)函數(shù)f(x)定義在(0，)上，f(1)0，導(dǎo)函數(shù)f(x)，g(x)f(x)f(x)(1)求g(x)的單調(diào)區(qū)間和最小值；(2)討論g(x)與g的大小關(guān)系；(3)是否存在x00，使得|g(x)g(x0)|對(duì)任意x0成立？若存在，求出x0的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由審題視點(diǎn) 聽課記錄審題視點(diǎn) 第(2)問(wèn)重新構(gòu)造函數(shù)h(x)g(x)g，利用導(dǎo)數(shù)研究這個(gè)函數(shù)的單調(diào)性第(3)問(wèn)采用反證法，可先把|g(x)g(x0)|等價(jià)變形為ln xg(x0)ln x，x0，再在x(0，)上任取一個(gè)值驗(yàn)證矛盾解(1)由題設(shè)易知f(x)ln x，g(x)ln x，所以g(x)，令g(x)0，得x1，當(dāng)x(0,1)時(shí)，g(x)0，故(0,1)是g(x)的單調(diào)減區(qū)間；當(dāng)x(1，)時(shí)，g(x)0，故(1，)是g(x)的單調(diào)增區(qū)間因此，x1是g(x)的唯一極值點(diǎn)，且為極小值點(diǎn)，從而是最小值點(diǎn)，所以最小值為g(1)1.(2)gln xx，設(shè)h(x)g(x)g2ln xx，則h(x)，當(dāng)x1時(shí)，h(1)0，即g(x)g，當(dāng)x(0,1)(1，)時(shí)，h(x)0，h(1)0，因此，h(x)在(0，)內(nèi)單調(diào)遞減，當(dāng)0x1時(shí)，h(x)h(1)0，即g(x)g；當(dāng)x1時(shí)，h(x)h(1)0，即g(x)g.(3)滿足條件的x0不存在證明如下：假設(shè)存在x00，使|g(x)g(x0)|對(duì)任意x0成立，即對(duì)任意x0，有l(wèi)n xg(x0)ln x，(*)但對(duì)上述x0，取x1eg(x0)時(shí)，有l(wèi)n x1g(x0)，這與(*)左邊不等式矛盾，因此，不存在x00，使|g(x)g(x0)|對(duì)任意x0成立另一種證法如下：假設(shè)存在x00，使|g(x)g(x0)|對(duì)任意的x0成立由(1)知，g(x)的最小值為g(1)1，又g(x)ln xln x，而x1時(shí)，ln x的值域?yàn)?0，)，x1時(shí)g(x)的值域?yàn)?，)，從而可取一個(gè)x11，使g(x1)g(x0)1.即g(x1)g(x0)1，故|g(x1)g(x0)|1，與假設(shè)矛盾不存在x10，使|g(x)g(x0)|對(duì)任意x0成立 本題有機(jī)地將函數(shù)、導(dǎo)數(shù)和不等式結(jié)合到一塊，試題難度較大本題分三小問(wèn)，第(1)問(wèn)較容易；第(2)問(wèn)可以用平時(shí)練習(xí)常用的方法解決：首先使用構(gòu)造函數(shù)法構(gòu)造函數(shù)，再用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值或最小值，且這個(gè)最大值小于零，最小值大于零；第(3)問(wèn)采用反證法，難度較大，難點(diǎn)在于不容易找到與題設(shè)矛盾的特例【突破訓(xùn)練3】 設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)ex2x2a，xR.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；(2)求證：當(dāng)aln 21且x0時(shí)，exx22ax1.(1)解由f(x)ex2x2a，xR知，f(x)ex2，xR.令f(x)0，得xln 2.于是當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，ln 2)ln 2(ln 2，)f(x)0f(x)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(，ln 2)，單調(diào)遞增區(qū)間是(ln 2，)，f(x)在xln 2處取得極小值，極小值為f(ln 2)eln 22ln 22a2(1ln 2a)(2)證明設(shè)g(x)exx22ax1，xR，于是g(x)ex2x2a，xR.由(1)知當(dāng)a>ln 21時(shí)，g(x)取最小值為g(ln 2)2(1ln 2a)>0.于是對(duì)任意xR，都有g(shù)(x)>0.所以g(x)在R內(nèi)單調(diào)遞增于是當(dāng)a>ln 21時(shí)，對(duì)任意x(0，)，都有g(shù)(x)>g(0)而g(0)0，從而對(duì)任意x(0，)，都有g(shù)(x)>0.即exx22ax1>0，故ex>x22ax1.分析法在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)題中的應(yīng)用近年來(lái)，高考對(duì)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)大部分是以壓軸題的形式考查的，試題難度較大，命題角度新穎，需要考生把生疏的問(wèn)題通過(guò)分析轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題，考查考生分析、解決問(wèn)題的能力下面以2012年新課標(biāo)全國(guó)卷為例對(duì)分析法在導(dǎo)數(shù)中的具體應(yīng)用作一介紹【示例】 (2012·新課標(biāo)全國(guó))設(shè)函數(shù)f(x)exax2.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若a1，k為整數(shù)，且當(dāng)x0時(shí)，(xk)f(x)x10，求k的最大值滿分解答(1)f(x)的定義域?yàn)?，)，f(x)exa.若a0，則f(x)0，所以f(x)在(，)上單調(diào)遞增；若a0，則當(dāng)x(，ln a)時(shí)，f(x)0；當(dāng)x(ln a，)時(shí)，f(x)0，所以，f(x)在(，ln a)上單調(diào)遞減，在(ln a，)上單調(diào)遞增(5分)(2)由于a1，所以(xk)f(x)x1(xk)(ex1)x1.故當(dāng)x0時(shí)，(xk)f(x)x10等價(jià)于kx(x0)(8分)令g(x)x，則g(x)1.由(1)知，函數(shù)h(x)exx2在(0，)上單調(diào)遞增而h(1)0，h(2)0，所以h(x)在(0，)上存在唯一的零點(diǎn)故g(x)在(0，)上存在唯一的零點(diǎn)設(shè)此零點(diǎn)為，則(1,2)當(dāng)x(0，)時(shí)，g(x)0；當(dāng)x(，)時(shí)，g(x)0.所以g(x)在(0，)上的最小值為g()又由g()0，可得e2，所以g()1(2,3)由于式等價(jià)于kg()，故整數(shù)k的最大值為2.(12分)老師叮嚀：本題主要考查導(dǎo)數(shù)在解決函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)的最值、函數(shù)的零點(diǎn)、不等式問(wèn)題等方面的應(yīng)用.其中，第(1)問(wèn)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，對(duì)字母a進(jìn)行討論，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)值的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.第(2)問(wèn)將原不等式轉(zhuǎn)化為kg(x)的形式，利用導(dǎo)數(shù)法求出函數(shù)g(x)的值域，進(jìn)而得到整數(shù)k的最大值.【試一試】 設(shè)函數(shù)f(x)x(ex1)ax2.(1)若a，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若當(dāng)x0時(shí)f(x)0，求a的取值范圍解(1)a時(shí)，f(x)x(ex1)x2，f(x)ex1xexx(ex1)(x1)當(dāng)x(，1)時(shí)，f(x)0；當(dāng)x(1,0)時(shí)，f(x)0；當(dāng)x(0，)時(shí)， f(x)0.故f(x)在(，1，0，)上單調(diào)遞增，在1,0上單調(diào)遞減(2)f(x)x(ex1ax)，令g(x)ex1ax，則g(x)exa.若a1，則當(dāng)x(0，)時(shí)，g(x)0，g(x)為增函數(shù)，而g(0)0，從而當(dāng)x0時(shí)g(x)0，即f(x)0；若a1，則當(dāng)x(0，ln a)時(shí)，g(x)0，g(x)為減函數(shù)，而g(0)0，從而當(dāng)x(0，ln a)時(shí)g(x)0，即f(x)0.綜上得a的取值范圍為(，19