2021屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題五 第3講 直線與圓錐曲線教案

第3講直線與圓錐曲線自主學(xué)習(xí)導(dǎo)引真題感悟1(2012·陜西)已知橢圓C1：y21，橢圓C2以C1的長(zhǎng)軸為短軸，且與C1有相同的離心率(1)求橢圓C2的方程；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A、B分別在橢圓C1和C2上，2，求直線AB的方程解析(1)由已知可設(shè)橢圓C2的方程為1(a2)，其離心率為，故，解得a4.故橢圓C2的方程為1.(2)解法一A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別記為(xA，yA)，(xB，yB)，由2及(1)知，O，A，B三點(diǎn)共線且點(diǎn)A，B不在y軸上，因此可設(shè)直線AB的方程為ykx.將ykx代入y21中，得(14k2)x24，所以x.將ykx代入1中，得(4k2)x216，所以x.又由2，得x4x，即，解得k±1.故直線AB的方程為yx或yx.解法二A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別記為(xA，yA)，(xB，yB)，由2及(1)知，O，A，B三點(diǎn)共線且點(diǎn)A，B不在y軸上，因此可設(shè)直線AB的方程為ykx.將ykx代入y21中，得(14k2)x24，所以x.由2，得x，y.將x，y代入1中，得1，即4k214k2，解得k±1.故直線AB的方程為yx或yx.2(2012·福建)如圖，等邊三角形OAB的邊長(zhǎng)為8，且其三個(gè)頂點(diǎn)均在拋物線E：x22py(p0)上(1)求拋物線E的方程；(2)設(shè)動(dòng)直線l與拋物線E相切于點(diǎn)P，與直線y1相交于點(diǎn)Q，證明以PQ為直徑的圓恒過y軸上某定點(diǎn)解析(1)依題意，|OB|8，BOy30°.設(shè)B(x，y)，則x|OB|sin 30°4，y|OB|cos 30°12.因?yàn)辄c(diǎn)B(4，12)在x22py上，所以(4)22p×12，解得p2.故拋物線E的方程為x24y.(2)證明證法一由(1)知yx2，yx.設(shè)P(x0，y0)，則x00，y0x，且l的方程為yy0x0(xx0)，即yx0xx.由得所以Q為.設(shè)M(0，y1)，令·0對(duì)滿足y0x(x00)的x0，y0恒成立由于(x0，y0y1)，由·0，得y0y0y1y1y0，即(yy12)(1y1)y00.(*)由于(*)式對(duì)滿足y0x(x00)的y0恒成立，所以解得y11.故以PQ為直徑的圓恒過y軸上的定點(diǎn)M(0,1)證法二由(1)知yx2，yx.設(shè)P(x0，y0)，則x00，y0x，且l的方程為yy0x0(xx0)，即yx0xx.由得所以Q為.取x02，此時(shí)P(2,1)，Q(0，1)，以PQ為直徑的圓為(x1)2y22，交y軸于點(diǎn)M1(0,1)、M2(0，1)；取x01，此時(shí)P，Q，以PQ為直徑的圓為22，交y軸于點(diǎn)M3(0,1)、M4.故若滿足條件的點(diǎn)M存在，只能是M(0,1)以下證明點(diǎn)M(0,1)就是所要求的點(diǎn)因?yàn)?x0，y01)，所以·2y022y022y020.故以PQ為直徑的圓恒過y軸上的定點(diǎn)M(0,1)考題分析直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用往往是高考的壓軸試題，具體表現(xiàn)為弦長(zhǎng)與面積問題，最值與范圍問題、定點(diǎn)與定值問題、存在性問題等，運(yùn)算量一般較大，有一定的難度，多以解答題的形式出現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建高頻考點(diǎn)突破考點(diǎn)一：圓錐曲線中的弦長(zhǎng)問題【例1】(2012·荊州模擬)已知橢圓1(ab0)右頂點(diǎn)與右焦點(diǎn)的距離為1，短軸長(zhǎng)為2.(1)求橢圓的方程；(2)過左焦點(diǎn)F的直線與橢圓分別交于A、B兩點(diǎn)，若三角形OAB的面積為，求直線AB的方程審題導(dǎo)引(1)利用相關(guān)的幾何性質(zhì)求得a、b、c，可求橢圓方程；(2)設(shè)出直線的方程，利用弦長(zhǎng)公式得到三角形OAB面積的表達(dá)式并解出直線的斜率，可得直線方程規(guī)范解答(1)由題意，解得a，c1.即橢圓方程為1.(2)當(dāng)直線AB與x軸垂直時(shí)，|AB|，此時(shí)SAOB不符合題意，故舍掉；當(dāng)直線AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程為：yk(x1)，代入消去y得：(23k2)x26k2x(3k26)0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則，所以|AB|.原點(diǎn)到直線的AB距離d，所以三角形的面積S|AB|d·.由Sk22k±，所以直線lAB：xy0或lAB：xy0.【規(guī)律總結(jié)】弦長(zhǎng)問題的解決方法(1)弦長(zhǎng)問題涉及直線與二次曲線的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，此時(shí)一般不是求出兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，而是設(shè)出這兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)直線方程和曲線方程聯(lián)立后的方程根的情況，使用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行整體代入，這是解決弦長(zhǎng)問題以及其他直線與二次曲線問題的最基本方法(2)注意使用弦長(zhǎng)公式|AB|x1x2|y1y2|(k0)【變式訓(xùn)練】1設(shè)橢圓C：1(ab0)的右焦點(diǎn)為F，過F的直線l與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，直線l的傾斜角為60°，2.(1)求橢圓C的離心率；(2)如果|AB|，求橢圓C的方程解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意知y10，y20.(1)設(shè)直線l的方程為y(xc)，其中c.聯(lián)立得(3a2b2)y22b2cy3b40，解得y1，y2.因?yàn)?，所以y12y2，即2·.得離心率e.(2)因?yàn)閨AB| |y2y1|，所以·.由得ba.所以a，得a3，b.橢圓C的方程為1.考點(diǎn)二：圓錐曲線中的最值與范圍問題【例2】(2012·大連模擬)已知橢圓1(ab0)經(jīng)過點(diǎn)A(2,1)，離心率為，過點(diǎn)B(3,0)的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M，N.(1)求橢圓的方程；(2)求·的取值范圍審題導(dǎo)引(1)根據(jù)所給條件利用橢圓的幾何性質(zhì)求出a2、b2；(2)設(shè)出直線的斜率與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理利用直線的斜率表示·，并求其范圍規(guī)范解答(1)由離心率為，可設(shè)ct，a2t，則bt.因?yàn)?(ab0)經(jīng)過點(diǎn)A(2,1)，所以1，解得t2，所以a26，b23，橢圓方程為1.(2)由題意可知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為yk(x3)，直線l與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為M(x1，y1)，N(x2，y2)，由，消元整理得，(12k2)x212k2x18k260，(12k2)24(12k2)(18k26)0，得0k21，x1x2，x1x2，·(x13，y1)·(x23，y2)(x13)(x23)y1y2(1k2)x1x23(x1x2)9(1k2)×.因?yàn)?k21，所以23，所以·的取值范圍是(2,3【規(guī)律總結(jié)】最值或范圍問題的解決方法解析幾何中的最值問題涉及的知識(shí)面較廣，解法靈活多樣，但最常用的方法有以下幾種：(1)利用函數(shù)，尤其是二次函數(shù)求最值；(2)利用三角函數(shù)，尤其是正、余弦函數(shù)的有界性求最值；(3)利用不等式，尤其是基本不等式求最值；(4)利用判別式求最值；(5)利用數(shù)形結(jié)合，尤其是切線的性質(zhì)求最值【變式訓(xùn)練】2已知橢圓1(ab0)的右焦點(diǎn)為F2(3,0)，離心率為e.(1)若e，求橢圓的方程；(2)設(shè)直線ykx與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，M、N分別為線段AF2，BF2的中點(diǎn)若坐標(biāo)原點(diǎn)O在以MN為直徑的圓上，且e，求k的取值范圍解析(1)由題意得，得a2，所以a212，結(jié)合a2b2c2，解得b23.所以，橢圓的方程為1.(2)由得(b2a2k2)x2a2b20.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)所以x1x20，x1x2，依題意知，OMON，易知，四邊形OMF2N為矩形，所以AF2BF2，因?yàn)?x13，y1)，(x23，y2)，所以·(x13)(x23)y1y2(1k2)x1x290.即90，將其整理為k21.因?yàn)閑，所以2a3，12a218.所以k2，即k.考點(diǎn)三：圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值與探索性問題【例3】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過定點(diǎn)C(p,0)作直線m與拋物線y22px(p0)相交于A、B兩點(diǎn)(1)設(shè)N(p,0)，求·的最小值；(2)是否存在垂直于x軸的直線l，使得l被以AC為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)恒為定值？若存在，求出l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由審題導(dǎo)引(1)求出·的表達(dá)式，并求最小值；(2)是探索性問題，假設(shè)存在，以此為條件，求出弦長(zhǎng)的表達(dá)式若能為定值，則存在；反之，則不存在規(guī)范解答(1)依題意，可設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的方程為xmyp.由y22pmy2p20.·(x1p，y1)·(x2p，y2)(x1p)(x2p)y1y2(my12p)·(my22p)y1y2(m21)y1y22pm(y1y2)4p22p2m22p2.當(dāng)m0時(shí)，·的最小值為2p2.(2)假設(shè)滿足條件的直線l存在，其方程為xa，AC的中點(diǎn)為O，l與以AC為直徑的圓相交于P，Q兩點(diǎn)，PQ的中點(diǎn)為H，則OHPQ，O的坐標(biāo)為.|OP|AC|，|PH|2|OP|2|OH|2(xp2)(2ax1p)2x1a(pa)|PQ|2(2|PH|)24.令ap0，得ap，此時(shí)|PQ|p為定值故滿足條件的直線l存在，其方程為xp.【規(guī)律總結(jié)】1化解探索性問題的方法首先假設(shè)所探求的問題結(jié)論成立、存在等，在這個(gè)假設(shè)下進(jìn)行推理論證，如果得到了一個(gè)合情合理的推理結(jié)果，就肯定假設(shè)，對(duì)問題做出正面回答，如果得到一個(gè)矛盾的結(jié)果，就否定假設(shè)，對(duì)問題作出反面回答在這個(gè)解題思路指導(dǎo)下解決探索性問題與解決具有明確結(jié)論的問題沒有什么差別2求定值問題的方法定值問題是解析幾何中的一種常見問題，基本的求解方法是：先用變量表示所需證明的不變量，然后通過推導(dǎo)和已知條件，消去變量，得到定值，即解決定值問題首先是求解非定值問題，即變量問題，最后才是定值問題【變式訓(xùn)練】3(2012·北京東城11校聯(lián)考)已知頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸正半軸的拋物線上有一點(diǎn)A，A點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離為1.(1)求該拋物線的方程；(2)設(shè)M(x0，y0)為拋物線上的一個(gè)定點(diǎn)，過M作拋物線的兩條互相垂直的弦MP，MQ，求證：PQ恒過定點(diǎn)(x02，y0)；(3)直線xmy10與拋物線交于E、F兩點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)N，使得NEF為以EF為斜邊的直角三角形？解析(1)由題意可設(shè)拋物線的方程為y22px，則由拋物線的定義可得1，即p1，所以拋物線的方程為y22x.(2)證明由題意知直線PQ與x軸不平行，設(shè)PQ所在直線方程為xmyn，代入y22x中，得y22my2n0.所以y1y22m，y1y2n，其中y1，y2分別是P，Q的縱坐標(biāo)，因?yàn)镸PMQ，所以kMP·kMQ1.即·1，所以(y1y0)(y2y0)4.y1·y2(y1y2)y0y40，(2n)2my02x040，即nmy0x02.所以直線PQ的方程為xmymy0x02，即xm(yy0)x02，它一定過定點(diǎn)(x02，y0)(3)假設(shè)N(x0，y0)為滿足條件的點(diǎn)，則由(2)知，點(diǎn)(x02，y0)在直線xmy10上，所以x02my010，(x0，y0)是方程的解，消去x得y22my60，4m2240，所以存在點(diǎn)N滿足條件名師押題高考【押題1】過雙曲線1(a0，b0)的一個(gè)焦點(diǎn)F作一條漸近線的垂線，垂足為點(diǎn)A，與另一條漸近線交于點(diǎn)B.若2，則此雙曲線的漸近線的斜率是_解析雙曲線的漸近線方程是y±x，設(shè)過右焦點(diǎn)F(c,0)的直線l與漸近線yx垂直，則直線l的方程即y(xc)，兩直線方程聯(lián)立，解得點(diǎn)A的縱坐標(biāo)y1；把方程y(xc)與方程yx聯(lián)立，解得點(diǎn)B的縱坐標(biāo)y2.由于2，即(x2c，y2)2(x1c，y1)，由此得y22y1，故，此即2(b2a2)c2a2b2，即ba，故其漸近線的斜率是±.答案±押題依據(jù)本題以向量為背景，綜合考查雙曲線的幾何性質(zhì)，既考查了通性通法，又可考查考生的應(yīng)變能力，新穎別致、難度適中，故押此題【押題2】(2012·濟(jì)南三模)已知直線l：yx1，圓O：x2y2，直線l被圓截得的弦長(zhǎng)與橢圓C：1(ab0)的短軸長(zhǎng)相等，橢圓的離心率e.(1)求橢圓C的方程；(2)過點(diǎn)M的動(dòng)直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，試問：在坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn)T，使得無論l如何轉(zhuǎn)動(dòng)，以AB為直徑的圓恒過定點(diǎn)T？若存在， 求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由解析(1)則由題設(shè)可知b1，又e，a，所以橢圓C的方程是y21.(2)解法一假設(shè)存在點(diǎn)T(u，v)若直線l的斜率存在，設(shè)其方程為ykx，將它代入橢圓方程，并整理，得(18k29)x212kx160.設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則因?yàn)?x1u，y1v)，(x2u，y2v)及y1kx1，y2kx2，所以·(x1u)(x2u)(y1v)(y2v)(k21)x1x2(x1x2)u2v2當(dāng)且僅當(dāng)·0恒成立時(shí)，以AB為直徑的圓恒過定點(diǎn)T，所以解得u0，v1.此時(shí)以AB為直徑的圓恒過定點(diǎn)T(0,1)當(dāng)直線l的斜率不存在，l與y軸重合，以AB為直徑的圓為x2y21也過點(diǎn)T(0,1)綜上可知，在坐標(biāo)平面上存在一個(gè)定點(diǎn)T(0,1)，滿足條件解法二若直線l與y軸重合，則以AB為直徑的圓是x2y21.若直線l垂直于y軸，則以AB為直徑的圓是x22.由解得由此可知所求點(diǎn)T如果存在，只能是(0,1)事實(shí)上點(diǎn)T(0,1)就是所求的點(diǎn)證明如下：當(dāng)直線l的斜率不存在，即直線l與y軸重合時(shí)，以AB為直徑的圓為x2y21，過點(diǎn)T(0,1)；當(dāng)直線l的斜率存在，設(shè)直線方程為ykx，代入橢圓方程，并整理，得(18k29)x212kx160.設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則因?yàn)?x1，y11)，(x2，y21)，·x1x2y1y2(y1y2)1(k21)x1x2k(x1x2)0.所以，即以AB為直徑的圓恒過定點(diǎn)T(0,1)綜上可知，在坐標(biāo)平面上存在一個(gè)定點(diǎn)T(0,1)滿足條件押題依據(jù)直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用是高考的必考點(diǎn)之一，常作為壓軸題出現(xiàn)，主要考查考生的分析問題解決問題的能力及運(yùn)算能力，有很好的區(qū)分度本題是探索性問題與定點(diǎn)問題的綜合，難度較大，符合高考命題的趨勢(shì)，故押此題 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