2021屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 必考問題專項(xiàng)突破16 橢圓、雙曲線、拋物線 理

16橢圓、雙曲線、拋物線1(2012·福建)已知雙曲線1的右焦點(diǎn)與拋物線y212x的焦點(diǎn)重合，則該雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于()A. B4 C3 D5答案： A易求得拋物線y212x的焦點(diǎn)為(3,0)，故雙曲線1的右焦點(diǎn)為(3,0)，即c3，故324b2，b25，雙曲線的漸近線方程為y±x，雙曲線的右焦點(diǎn)到其漸近線的距離為.2(2012·新課標(biāo)全國(guó))等軸雙曲線C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，C與拋物線y216x的準(zhǔn)線交于A，B兩點(diǎn)，|AB|4 ，則C的實(shí)軸長(zhǎng)為()A. B2 C4 D8答案：C拋物線y216x的準(zhǔn)線方程是x4，所以點(diǎn)A(4，2 )在等軸雙曲線C；x2y2a2(a0)上，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入得a2，所以C的實(shí)軸長(zhǎng)為4.3(2012·山東)已知橢圓C：1(ab0)的離心率為.雙曲線x2y21的漸近線與橢圓C有四個(gè)交點(diǎn)，以這四個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為16，則橢圓C的方程為()A.1 B.1C.1 D.1答案：D因?yàn)闄E圓的離心率為，所以e，c2a2，c2a2a2b2，所以b2a2，即a24b2.雙曲線的漸近線方程為y±x，代入橢圓方程得1，即1，所以x2b2，x±b，y2b2，y±b，則在第一象限雙曲線的漸近線與橢圓C的交點(diǎn)坐標(biāo)為，所以四邊形的面積為4×b×bb216，所以b25，所以橢圓方程為1.4(2012·北京)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l過拋物線y24x的焦點(diǎn)F，且與該拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在x軸上方，若直線l的傾斜角為60°，則OAF的面積為_解析直線l的方程為y(x1)，即xy1，代入拋物線方程得y2y40，解得yA2 (yB0，舍去)，故OAF的面積為×1×2 .答案圓錐曲線與方程是高考考查的核心內(nèi)容之一，在高考中一般有12個(gè)選擇或者填空題，一個(gè)解答題選擇或者填空題有針對(duì)性地考查橢圓、雙曲線、拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)及其應(yīng)用，主要針對(duì)圓錐曲線本身，綜合性較小，試題的難度一般不大；解答題主要是以橢圓為基本依托，考查橢圓方程的求解、考查直線與曲線的位置關(guān)系復(fù)習(xí)中，一要熟練掌握橢圓、雙曲線、拋物線的基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法，在抓住通性通法的同時(shí)，要訓(xùn)練利用代數(shù)方法解決幾何問題的運(yùn)算技巧二要熟悉圓錐曲線的幾何性質(zhì)，重點(diǎn)掌握直線與圓錐曲線相關(guān)問題的基本求解方法與策略，提高運(yùn)用函數(shù)與方程思想，向量與導(dǎo)數(shù)的方法來解決問題的能力.必備知識(shí)橢圓1(ab0)，點(diǎn)P(x，y)在橢圓上(1)離心率：e；(2)過焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦叫通徑，其長(zhǎng)度為：.雙曲線1(a0，b0)，點(diǎn)P(x，y)在雙曲線上(1)離心率：e；(2)過焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的弦叫通徑，其長(zhǎng)度為：.拋物線y22px(p0)，點(diǎn)C(x1，y1)，D(x2，y2)在拋物線上(1)焦半徑|CF|x1；(2)過焦點(diǎn)弦長(zhǎng)|CD|x1x2x1x2p，|CD|(其中為傾斜角)，；(3)x1x2，y1y2p2；(4)以拋物線上的點(diǎn)為圓心，焦半徑為半徑的圓必與準(zhǔn)線相切，以拋物線焦點(diǎn)弦為直徑的圓，必與準(zhǔn)線相切必備方法1求圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程常用的方法(1)定義法(2)待定系數(shù)法頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸的拋物線，可設(shè)為y22ax或x22ay(a0)，避開對(duì)焦點(diǎn)在哪個(gè)半軸上的分類討論，此時(shí)a不具有p的幾何意義中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，橢圓方程可設(shè)為1(m0，n0)雙曲線方程可設(shè)為1(mn0)這樣可以避免討論和繁瑣的計(jì)算2求軌跡方程的常用方法(1)直接法：將幾何關(guān)系直接轉(zhuǎn)化成代數(shù)方程(2)定義法：滿足的條件恰適合某已知曲線的定義，用待定系數(shù)法求方程(3)代入法：把所求動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)與已知?jiǎng)狱c(diǎn)的坐標(biāo)建立聯(lián)系(4)交軌法：寫出兩條動(dòng)直線的方程直接消參，求得兩條動(dòng)直線交點(diǎn)的軌跡注意：建系要符合最優(yōu)化原則；求軌跡與“求軌跡方程”不同，軌跡通常指的是圖形，而軌跡方程則是代數(shù)表達(dá)式；化簡(jiǎn)是否同解變形，是否滿足題意，驗(yàn)證特殊點(diǎn)是否成立等.圓錐曲線的定義是圓錐曲線問題的根本，利用圓錐曲線的定義解題是高考考查圓錐曲線的一個(gè)重要命題點(diǎn)，在歷年的高考試題中曾多次出現(xiàn)需熟練掌握【例1】 已知橢圓1與雙曲線y21的公共焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P是兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，則cosF1PF2的值為()A. B. C. D.審題視點(diǎn) 聽課記錄審題視點(diǎn) 結(jié)合橢圓、雙曲線的定義及余弦定理可求B因點(diǎn)P在橢圓上又在雙曲線上，所以|PF1|PF2|2 ，|PF1|PF2|2 .設(shè)|PF1|PF2|，解得|PF1|，|PF2|，由余弦定理得cosF1PF2. 涉及橢圓、雙曲線上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離問題時(shí)，要自覺地運(yùn)用橢圓、雙曲線的定義涉及拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離時(shí)，常利用定義轉(zhuǎn)化到拋物線的準(zhǔn)線的距離【突破訓(xùn)練1】 如圖過拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)的直線l依次交拋物線及其準(zhǔn)線與點(diǎn)A，B，C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，則拋物線的方程是_解析作BMl，AQl，垂足分別為M、Q.則由拋物線定義得，|AQ|AF|3，|BF|BM|.又|BC|2|BF|，所以|BC|2|BM|.由BMAQ得，|AC|2|AQ|6，|CF|3.|NF|CF|.即p.拋物線方程為y23x.答案y23x圓錐曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)是圓錐曲線的重點(diǎn)內(nèi)容，主要考查橢圓與雙曲線的離心率的求解、雙曲線的漸近線方程的求解，難度中檔【例2】 (2012·東北三省四市教研協(xié)作體二次調(diào)研)以O(shè)為中心，F(xiàn)1，F(xiàn)2為兩個(gè)焦點(diǎn)的橢圓上存在一點(diǎn)M，滿足|2|2|，則該橢圓的離心率為()A. B. C. D.審題視點(diǎn) 聽課記錄審題視點(diǎn) 作MNx軸，結(jié)合勾股定理可求c，利用橢圓定義可求a.C過M作x軸的垂線，交x軸于N點(diǎn)，則N點(diǎn)坐標(biāo)為，并設(shè)|2|2|2t，根據(jù)勾股定理可知，|2|2|2|2，得到ct，而a，則e，故選C. 離心率的范圍問題其關(guān)鍵就是確立一個(gè)關(guān)于a，b，c的不等式，再根據(jù)a，b，c的關(guān)系消掉b得到關(guān)于a，c的不等式，由這個(gè)不等式確定e的范圍【突破訓(xùn)練2】 設(shè)拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A(0,2)若線段FA的中點(diǎn)B在拋物線上，則B到該拋物線準(zhǔn)線的距離為_解析拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為，線段FA的中點(diǎn)B的坐標(biāo)為代入拋物線方程得12p×，解得p，故點(diǎn)B的坐標(biāo)為，故點(diǎn)B到該拋物線準(zhǔn)線的距離為.答案軌跡問題的考查往往與函數(shù)、方程、向量、平面幾何等知識(shí)相融合，著重考查分析問題、解決問題的能力，對(duì)邏輯思維能力、運(yùn)算能力也有一定的要求【例3】 (2011·天津)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P(a，b)(a>b>0)為動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓1的左、右焦點(diǎn)已知F1PF2為等腰三角形(1)求橢圓的離心率e；(2)設(shè)直線PF2與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，M是直線PF2上的點(diǎn)，滿足A·B2，求點(diǎn)M的軌跡方程審題視點(diǎn) 聽課記錄審題視點(diǎn) (1)根據(jù)|PF2|F1F2|建立關(guān)于a與c的方程式(2)可解出A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)(用c表示)，利用·2可求解解(1)設(shè)F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)(c>0)由題意可得|PF2|F1F2|，即2c.整理得2210，得或1(舍)，所以e.(2)由(1)知a2c，bc，可得橢圓方程為3x24y212c2，直線PF2方程為y(xc)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組消去y并整理，得5x28cx0，解得x10，x2c，得方程組的解不妨設(shè)A，B.設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，則A，B(x，yc)由y(xc)，得cxy.于是A，B(x，x)由題意知A·B2，即·x·x2，化簡(jiǎn)得18x216xy150.將y代入cxy，得c>0，所以x>0.因此，點(diǎn)M的軌跡方程是18x216xy150(x>0) (1)求軌跡方程時(shí)，先看軌跡的形狀能否預(yù)知，若能預(yù)先知道軌跡為何種圓錐曲線，則可考慮用定義法求解或用待定系數(shù)法求解(2)討論軌跡方程的解與軌跡上的點(diǎn)是否對(duì)應(yīng)，要注意字母的取值范圍【突破訓(xùn)練3】 (2012·四川)如圖，動(dòng)點(diǎn)M與兩定點(diǎn)A(1,0)、B(2,0)構(gòu)成MAB，且MBA2MAB.設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為C.(1)求軌跡C的方程；(2)設(shè)直線y2xm與y軸相交于點(diǎn)P，與軌跡C相交于點(diǎn)Q、R，且|PQ|PR|，求的取值范圍解(1)設(shè)M的坐標(biāo)為(x，y)，顯然有x0，且y0.當(dāng)MBA90°時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2，±3)當(dāng)MBA90°時(shí)，x2，且MBA2MAB，有tanMBA，即，化簡(jiǎn)可得3x2y230.而點(diǎn)(2，±3)在曲線3x2y230上，綜上可知，軌跡C的方程為3x2y230(x1)(2)由消去y，可得x24mxm230.(*)由題意，方程(*)有兩根且均在(1，)內(nèi)設(shè)f(x)x24mxm23，所以解得m1，且m2.設(shè)Q、R的坐標(biāo)分別為(xQ，yQ)，(xR，yR)，由|PQ|PR|有xR2m，xQ2m.所以1.由m1，且m2，有1174 ，且17.所以的取值范圍是(1,7)(7,74 )在高考中，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是熱點(diǎn)，通常圍繞弦長(zhǎng)、面積、定點(diǎn)(定值)，范圍問題來展開，其中設(shè)而不求的思想是處理相交問題的最基本方法，試題難度較大【例4】 已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，過右焦點(diǎn)F的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)當(dāng)l的斜率為1時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到l的距離為.(1)求a，b的值；(2)C上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)l繞F轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，有成立？若存在，求出所有的P的坐標(biāo)與l的方程；若不存在，說明理由審題視點(diǎn) 聽課記錄審題視點(diǎn) (1)由直線l的斜率為1過焦點(diǎn)F，原點(diǎn)O到l的距離為可求解；(2)需分直線l的斜率存在或不存在兩種情況討論設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由條件可得P點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合A、B、P在橢圓上列等式消元求解解(1)設(shè)F(c,0)，當(dāng)l的斜率為1時(shí)，其方程為xyc0，O到l的距離為，故，c1.由e，得a，b .(2)C上存在點(diǎn)P，使得當(dāng)l繞F轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，有成立由(1)知C的方程為2x23y26.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)(i)當(dāng)l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)l的方程為yk(x1)C上的點(diǎn)P使成立的充要條件是P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x1x2，y1y2)，且2(x1x2)23(y1y2)26，整理得2x3y2x3y4x1x26y1y26，又A、B在橢圓C上，即2x3y6,2x3y6，故2x1x23y1y230.將yk(x1)代入2x23y26，并化簡(jiǎn)得(23k2)x26k2x3k260，于是x1x2，x1·x2，y1·y2k2(x11)(x21).代入解得k22，此時(shí)x1x2.于是y1y2k(x1x22)，即P.因此，當(dāng)k 時(shí)，P，l的方程為xy 0；當(dāng)k時(shí)，P，l的方程為xy0.()當(dāng)l垂直于x軸時(shí)，由(2,0)知，C上不存在點(diǎn)P使成立綜上，C上存在點(diǎn)P使成立，此時(shí)l的方程為x±y0. 本小題主要考查直線、橢圓、分類討論等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理的運(yùn)算能力和解決問題的能力此題的第(2)問以向量形式引進(jìn)條件，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，將“形”、“數(shù)”緊密聯(lián)系在一起，既發(fā)揮了向量的工具性作用，也讓學(xué)生明白根與系數(shù)的關(guān)系是解決直線與圓錐曲線問題的通性通法【突破訓(xùn)練4】 設(shè)橢圓E：1(a，b0)過點(diǎn)M(2，)，N(，1)兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)求橢圓E的方程；(2)是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，且？若存在，寫出該圓的方程；若不存在，說明理由解(1)將M，N的坐標(biāo)代入橢圓E的方程得解得a28，b24.所以橢圓E的方程為1.(2)假設(shè)滿足題意的圓存在，其方程為x2y2R2，其中0R2.設(shè)該圓的任意一條切線AB和橢圓E交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，令直線AB的方程為ykxm，將其代入橢圓E的方程并整理得(2k21)x24kmx2m280.由方程根與系數(shù)的關(guān)系得x1x2，x1x2.因?yàn)椋詘1x2y1y20.將代入并整理得(1k2)x1x2km(x1x2)m20.聯(lián)立得m2(1k2)因?yàn)橹本€AB和圓相切，因此R.由得R，所以存在圓x2y2滿足題意當(dāng)切線AB的斜率不存在時(shí)，易得xx，由橢圓E的方程得yy，顯然.綜上所述，存在圓x2y2滿足題意講講離心率的故事橢圓、雙曲線的離心率是一個(gè)重要的基本量，在橢圓中或在雙曲線中都有著極其特殊的應(yīng)用，也是高考?？嫉膯栴}，通常有兩類：一是求橢圓和雙曲線的離心率的值；二是求橢圓和雙曲線離心率的取值范圍一、以離心率為“中介”【示例1】 (2012·湖北)如圖，雙曲線1(a，b0)的兩頂點(diǎn)為A1，A2，虛軸兩端點(diǎn)為B1，B2，兩焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2.若以A1A2為直徑的圓內(nèi)切于菱形F1B1F2B2，切點(diǎn)分別為A，B，C，D.則(1)雙曲線的離心率e_；(2)菱形F1B1F2B2的面積S1與矩形ABCD的面積S2的比值_.解析(1)由題意可得a bc，a43a2c2c40，e43e210，e2，e.(2)設(shè)sin ，cos ，e2.答案(1)(2)老師叮嚀：離心率是“溝通”a，b，c的重要中介之一，本題在產(chǎn)生關(guān)于a，b，c的關(guān)系式后，再將關(guān)系式轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的方程，通過方程產(chǎn)生結(jié)論.【試一試1】 (2012·南通模擬)A，B是雙曲線C的兩個(gè)頂點(diǎn)，直線l與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)P，Q，且與實(shí)軸垂直，若·0，則雙曲線C的離心率e_.解析不妨設(shè)雙曲線C的方程1(a0，b0)，則A(a,0)，B(a,0)設(shè)P(x，y)，Q(x，y)，所以(ax，y)，(xa，y)，由·0，得a2x2y20.又1，所以1，即y20恒成立，所以0.即a2b2，所以2a2c2.從而e.答案二、離心率的“外交術(shù)”【示例2】 (2012·濰坊模擬)已知c是橢圓1(a b0)的半焦距，則的取值范圍是()A(1，) B(，)C(1，) D(1， 解析由e，又0e1，設(shè)f(x)x,0x1，則f(x)1.令y0，得x，則f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，f(x)max，f(0)1，f(1)1.1f(x)，故1.答案D老師叮嚀：離心率“外交”在于它可以較好地與其他知識(shí)交匯，本題中，如何求f(bc,a)的取值范圍？結(jié)合離心率及關(guān)系式a2b2c2，將待求式子轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的函數(shù)關(guān)系式，借助函數(shù)的定義域(即e的范圍)產(chǎn)生函數(shù)的值域，從而完成求解.【試一試2】 (2012·江蘇)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線1的離心率為，則m的值為_解析由題意得m0，a，b.c，由e，得5，解得m2.答案2必考問題13