江蘇省蘇州市第五中學(xué)高中數(shù)學(xué) 1.1導(dǎo)數(shù)的概念學(xué)案 蘇教版選修22.doc

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1、第1章 導(dǎo)數(shù)及其運(yùn)用11 導(dǎo)數(shù)的概念一、學(xué)習(xí)內(nèi)容、要求及建議知識(shí)、方法要求建議導(dǎo)數(shù)的概念了解借助于導(dǎo)數(shù)概念形成的物理背景(瞬時(shí)速度)及幾何背景(曲線切線的斜率)來理解如何從平均變化率過渡到瞬時(shí)變化率，從而抽象出導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的幾何意義掌握理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義二、預(yù)習(xí)指導(dǎo)1預(yù)習(xí)目標(biāo)(1)本節(jié)主要通過對(duì)大量實(shí)例的分析，理解平均變化率的實(shí)際意義和數(shù)學(xué)意義，經(jīng)歷由平均變化率過渡到瞬時(shí)變化率的過程；(2)通過函數(shù)圖象直觀地理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義2預(yù)習(xí)提綱(1)回顧必修2中用來量化直線傾斜程度的斜率的計(jì)算公式(2)閱讀教材，回答下列問題1)平均變化率:怎樣計(jì)算一個(gè)函數(shù)在一個(gè)給定的閉區(qū)間上的平均變化率?2)瞬時(shí)變

2、化率的幾何背景：曲線上一點(diǎn)處的切線的斜率關(guān)于割線的斜率：設(shè)曲線C上一點(diǎn)P(x，f(x)，過點(diǎn)P的一條割線交曲線C于另一點(diǎn)Q(xx，f(xx)，則割線PQ的斜率是多少?關(guān)于點(diǎn)P(x，f(x)處的切線：設(shè)曲線C上一點(diǎn)P(x，f(x)，過點(diǎn)P的一條割線交曲線C于另一點(diǎn)Q(xx，f(xx) 用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來看，在點(diǎn)P處的切線可以認(rèn)為是過點(diǎn)P處的割線PQ的當(dāng)Q無限靠近點(diǎn)P的極限位置，那么你能計(jì)算出切線的斜率嗎?說一說求曲線y=f(x)上任一點(diǎn)P(x0，f(x0)處的切線斜率的基本步驟3) 瞬時(shí)變化率的物理背景：瞬時(shí)速度與瞬時(shí)加速度回憶物理學(xué)中對(duì)瞬時(shí)速度與瞬時(shí)加速度所下的定義給出位移時(shí)間方程，如何求物體在時(shí)

3、刻的瞬時(shí)速度?給出速度位移方程，如何求物體在時(shí)刻的瞬時(shí)加速度?4)導(dǎo)數(shù)：從上述幾何背景和物理背景中抽象出的數(shù)學(xué)概念請表述出函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的概念請表述出導(dǎo)函數(shù)的概念，并表述導(dǎo)函數(shù)的具體的對(duì)應(yīng)法則求導(dǎo)數(shù)的步驟是什么?導(dǎo)數(shù)的幾何意義是什么?說一說利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的切線方程的步驟(3)閱讀課本例題，思考下列問題 第7頁上例4給我們的啟示：一次函數(shù)f(x)=kxb在區(qū)間m，n上的平均變化率等于多少? 對(duì)比第6頁上例3與第9頁上例1，給你怎樣的啟示? 第13頁上例3是求函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，要注意表述格式的規(guī)范化3典型例題例1 物體做直線運(yùn)動(dòng)的方程為s(t)=3t25t(位移單位是m，時(shí)間單位

4、是s)，求物體在2s到4s的平均速度以及2s到3s的平均速度分析： 利用公式解： 2s到4s的平均速度 ；2s到3s的平均速度例2 已知函數(shù)f(x)=2x21，圖象上P(1，3)及鄰近上點(diǎn)Q(1，3)，求分析： 應(yīng)用公式=解： = 例3 已知函數(shù)f(x)=x3，證明：函數(shù)f(x)在任意區(qū)間上的平均變化率都是正數(shù)分析： 應(yīng)用公式=求出平均變化率，再進(jìn)行配方解：=恒為正數(shù)例4 已知曲線C：，求(1)求曲線C上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)處的切線方程；(2)第(1)小題中的切線與曲線C是否還有其他的公共點(diǎn)?解：(1)將x=1代入曲線C的方程得y=1， 切點(diǎn)P(1，1)設(shè)Q(1，)， =，時(shí)，3，過P點(diǎn)的切線方程為

5、y1=3(x1)，即3xy2=0(2)由，可得，得從而求得公共點(diǎn)為(1，1)或(2，8)點(diǎn)評(píng)：切線與曲線C的公共點(diǎn)除了切點(diǎn)外，還有另外的點(diǎn)可見，直線與曲線相切不一定只有一個(gè)公共點(diǎn)例5 已知曲線上一點(diǎn)P(2，)，求(1)點(diǎn)P處的切線的斜率；(2)點(diǎn)P處的切線方程分析： 先求出切線的斜率，再由點(diǎn)斜式寫出切線方程解：(1)設(shè)P(2，)，Q(2，)，則割線PQ的斜率=，當(dāng)時(shí)，4，即點(diǎn)P處的切線的斜率為4(2)點(diǎn)P處的切線方程為，即點(diǎn)評(píng)： 本題若將“點(diǎn)P處”改為“過點(diǎn)P”，應(yīng)該如何解答呢?例6 自由落體運(yùn)動(dòng)方程為，(位移單位：m，時(shí)間單位：s)，(1)計(jì)算t從3秒到31秒、301秒、3001秒各時(shí)間段內(nèi)

6、的平均速度；(2)求t=3秒時(shí)的瞬時(shí)速度分析： 要求平均速度，就是要求的值，為此需要求出、當(dāng)?shù)闹禑o限趨向于0時(shí)，其平均速度就接近于一個(gè)定值解：(1)設(shè)在3，31內(nèi)的平均速度為，則 =313=01s =s(31)s(3)= =0305gm 所以 同理 (2)當(dāng)無限趨近于0時(shí)，無限趨近于常數(shù)3g(m/s)例7 求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)分析： 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，應(yīng)先計(jì)算函數(shù)的增量，再計(jì)算，最后求時(shí)，的值解： 當(dāng)時(shí)， 20，例8 某化工廠每日產(chǎn)品的總成本C(單位：元)是日產(chǎn)量x(單位：噸)的函數(shù)：求當(dāng)日產(chǎn)量為100噸時(shí)的邊際成本(邊際成本就是一段時(shí)間的總成本對(duì)該段時(shí)間產(chǎn)量的導(dǎo)數(shù))分析： 根據(jù)邊際成本的定義，本題

7、只要求出當(dāng)無限趨向于0時(shí)的值即可解：成本的增量為= =200當(dāng)時(shí)，即的極限為225故當(dāng)日產(chǎn)量為100噸時(shí)的邊際成本為225元/噸點(diǎn)評(píng)：本題計(jì)算過程中注意分子有理化的技巧4自我檢測(1)若函數(shù)f(x)=2x21的圖象上一點(diǎn)(1，1)及鄰近一點(diǎn)(1x，1y)，則等于 (2)函數(shù)在區(qū)間2，4上的平均變化率為 (3)若函數(shù)，則 (4)已知函數(shù)，由定義求，并求(5)如果函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)分別為： 試求函數(shù)的圖象在對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的切線的傾斜角三、課后鞏固練習(xí)A組1函數(shù)f(x)=3x1在區(qū)間0，2上的平均變化率為 2設(shè)函數(shù)y=f(x)，當(dāng)自變量由x0變到x0 x 時(shí)，函數(shù)的改變量y為 3函數(shù)f(x)=x22在區(qū)間1

8、，a的平均變化率為3，則a的值為 4在曲線y=x2x2上取點(diǎn)P(1，2)及鄰近上點(diǎn)Q(1x，2y)，則= 51995年中國人口約為12億，2005年中國人口約為13億，則從1995年到2005年這10年中中國人口的平均變化率是 ；1995年到2005年的人口增長率是 6已知函數(shù)y=ax2bx，則= 7某工廠8年來總產(chǎn)量c(萬件)與時(shí)間t(年)的函數(shù)關(guān)系如圖，則第一年內(nèi)總產(chǎn)量c的平均變化率是 ，第三年到第八年總產(chǎn)量的平均變化率是 8函數(shù)f(x)=x2在點(diǎn)(1，1)處的切線的斜率為 9一物體運(yùn)動(dòng)方程是s=200，(g=98m/s2)，則t=3時(shí)物體的瞬時(shí)速度為 10若作直線運(yùn)動(dòng)的物體的速度(單位：

9、m/s)與時(shí)間(單位：s)的關(guān)系為v(t)=t2，則在前3s內(nèi)的平均加速度是 ，在t=3時(shí)的瞬時(shí)加速度是 11在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中，運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高度h(單位：m)，與起跳后的時(shí)間t(單位：s)存在函數(shù)關(guān)系式：h(t)=49t265t10試分別計(jì)算及時(shí)間內(nèi)的平均速度12已知函數(shù)f(x)=，分別計(jì)算函數(shù)f(x)在區(qū)間1，3，1，2，1，11，1，101上的平均變化率13將半徑為R的球加熱，若球的半徑增加，求球體積的平均變化率 14已知某質(zhì)點(diǎn)按規(guī)律s=(2t32t)(米)作直線運(yùn)動(dòng)求：(1)該質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)前3秒內(nèi)的平均速度；(2)質(zhì)點(diǎn)在2秒到3秒的平均速度；(3)質(zhì)點(diǎn)在3秒時(shí)的瞬時(shí)速度15用割線逼近

10、切線的方法，求曲線y= x24x在點(diǎn)A(4，0)和B(2，4)處的切線的斜率及切線方程B組16(1)若溫度T在上升過程中關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系是T=f(t) ，則的實(shí)際意義是 (2)若污染源擴(kuò)散過程中污染面積S關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系是S=f(t) ，則的實(shí)際意義是 (3)若一水庫在泄洪過程中水面的高度關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系是h=f(t) ，則的實(shí)際意義是 17曲線在點(diǎn)P處切線的斜率為k，當(dāng)k=3時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為 18已知曲線過點(diǎn)，則此曲線在該點(diǎn)的切線方程是 19已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程是，則 20已知函數(shù)f(x)=kx2d，且，則k的值為 21已知函數(shù)，則= 22一個(gè)圓形鋁盤加熱時(shí)，隨著溫度的升

11、高而膨脹設(shè)該圓盤在溫度t時(shí)，半徑為r=r0(1at)(a為常數(shù))，求t時(shí)，鋁盤面積對(duì)溫度t的變化率 23已知拋物線上三點(diǎn)P，Q，R的橫坐標(biāo)分別為1、3和2(1)求割線PQ、PR的斜率；(2)當(dāng)Q、R分別沿拋物線向點(diǎn)P移動(dòng)，割線PQ、PR的斜率如何變化?24求曲線y=在點(diǎn)M(3，3)處的切線的斜率及傾斜角25用割線逼近切線的方法，求在處的切線的斜率 26 用割線逼近切線的方法，求在處的切線的斜率27設(shè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程是，計(jì)算從t=2到t=2之間的平均速度，并計(jì)算當(dāng)=01時(shí)的平均速度，再計(jì)算t=2時(shí)的瞬時(shí)速度28生產(chǎn)某種產(chǎn)品q個(gè)單位時(shí)成本函數(shù)為，求(1)生產(chǎn)90個(gè)單位該產(chǎn)品時(shí)的平均成本；(2)生產(chǎn)9

12、0個(gè)到100個(gè)單位該產(chǎn)品時(shí)，成本的平均變化率；(3)生產(chǎn)90個(gè)與100個(gè)單位該產(chǎn)品時(shí)的邊際成本各是多少?C組29已知存在，則當(dāng)h無限趨近于0時(shí)，下列式子各趨近于何值? (1) ；(2) ；(3) ；(4) 30已知函數(shù)，記(1)求在區(qū)間上的平均變化率；(2)在數(shù)軸上畫出數(shù)列對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，并觀察當(dāng)不斷增大時(shí)，有什么變化趨勢?知識(shí)點(diǎn)題號(hào)注意點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的概念17，12，13，16，18，2022注意平均變化率與瞬時(shí)變化率概念的區(qū)別導(dǎo)數(shù)的幾何意義8，15，17,19，2326求曲線在某點(diǎn)處切線方程的基本步驟導(dǎo)數(shù)在物理中的應(yīng)用911，14瞬時(shí)速度與瞬時(shí)加速度導(dǎo)數(shù)的其它應(yīng)用28，30邊際成本問題四、學(xué)習(xí)心得五、拓

13、展視野很多人都吹過氣球，回憶一下吹氣球的過程，隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加，氣球的半徑有如何變化?從數(shù)學(xué)角度如何解釋這種現(xiàn)象?解 氣球的半徑增加得越來越慢我們知道，氣球的體積V(單位：L)與半徑(單位：dm)之間的函數(shù)關(guān)系是，如果將半徑r表示為體積V的函數(shù)，那么當(dāng)空氣容量V從0增加到1L時(shí)，氣球半徑增加了，氣球的平均膨脹率為 類似地，當(dāng)空氣容量V從1L增加到2L時(shí)，氣球半徑增加了，氣球的平均膨脹率為可以看出，隨著氣球體積逐漸變大，它的膨脹率逐漸變小了11 導(dǎo)數(shù)的概念檢測反饋：1 4+2x；2 ；3 0；4 解：，當(dāng)時(shí)，所以5 （1）；（1）；（1）；（1）鞏固練習(xí)：A組1-3 ； 2； 32； 4

14、；501，83%； 6； 7 3萬件/年，0萬件/年； 8-2； 9196m/s ； 10 ；11當(dāng)時(shí)，平均速度；當(dāng)時(shí)，平均速度 ；12； 13； 14（1）20米/秒；（2）40米/秒；（3）56米/秒； 15； B組16(1)溫度上升的瞬時(shí)速度；(2)污染源擴(kuò)散的瞬時(shí)速度；(3)水面高度下降的瞬時(shí)速度； 17（-1，1）或（1，1）； 18； 193； 20-2； 21-822解：圓盤面積 23(1),(2)PQ逐步增大，PR逐步減??； 24k= -1,傾斜角=1350；25令，則，當(dāng)時(shí)，從而曲線在處切線斜率為 26令，則，當(dāng)時(shí)，故切線的斜率為 27略28（1）；（2）；（3）C組29（1），當(dāng) h無限趨近于0時(shí)，- h也無限趨近于0，無限趨近于；（2），當(dāng)h無限趨近于0時(shí)，2h也無限趨近于0，無限趨近于，無限趨近于2；（3），當(dāng)h無限趨近于0時(shí)，無限趨近于，無限趨近于，無限趨近于2； （4）=當(dāng)h都無限趨近于0時(shí)，-3h也無限地趨近于0， 無限趨近于30（1）； （2）當(dāng)不斷增大時(shí)，無限趨向于4（當(dāng)無限增大時(shí)，區(qū)間長度無限趨近于0，此時(shí)的平均變化率趨近于函數(shù)在時(shí)的導(dǎo)數(shù)）；10