2019年春七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 第二章 相交線與平行線 2 探索直線平行的條件同步課件（新版）北師大版.ppt

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,知識(shí)點(diǎn)一利用同位角判定兩直線平行1.同位角如圖2-2-1所示,具有∠1和∠2這樣位置關(guān)系的角稱為同位角.同位角還有∠3和∠4,∠5和∠6,∠7和∠8.圖2-2-1同位角的特征:①在被截兩直線的同旁;②在截線的同旁.,2.判定兩直線平行的條件條件1:兩條直線被第三條直線所截,如果同位角相等,那么這兩條直線平行,簡(jiǎn)記為同位角相等,兩直線平行.推理格式:如圖2-2-2,∵∠1=∠2,∴a∥b.圖2-2-2,例1如圖2-2-3,直線AB與CD相交于點(diǎn)O,∠AOD+∠C=180,直線AB與CE一定平行嗎?試說(shuō)明你的理由.圖2-2-3,分析根據(jù)平角定義得到∠AOD+∠BOD=180,又∠AOD+∠C=180,則有∠BOD=∠C,根據(jù)“同位角相等,兩直線平行”可得到AB∥CE.,解析直線AB與CE一定平行.理由如下:因?yàn)椤螦OD+∠BOD=180,而∠AOD+∠C=180,所以∠BOD=∠C.所以AB∥CE.,例2在同一平面內(nèi),直線m、n相交于點(diǎn)O,且l∥n,則直線l和m的關(guān)系是()A.平行B.相交C.重合D.以上都有可能,解析由m、n相交于點(diǎn)O,得O點(diǎn)在直線n上,又l∥n,所以點(diǎn)O不在直線l上.過(guò)直線外一點(diǎn),有且只有一條直線與已知直線平行,所以m與l相交.故選B.,答案B,知識(shí)點(diǎn)三利用內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角判定兩直線平行1.內(nèi)錯(cuò)角如圖2-2-5所示,具有∠1和∠4這樣位置關(guān)系的角稱為內(nèi)錯(cuò)角,內(nèi)錯(cuò)角還有∠3和∠2.圖2-2-5內(nèi)錯(cuò)角的特征:①在被截兩直線之間;②在截線的兩旁.,2.同旁內(nèi)角如圖2-2-5所示,具有∠1和∠2這樣位置關(guān)系的角稱為同旁內(nèi)角,同旁內(nèi)角還有∠3和∠4.同旁內(nèi)角的特征:①在被截兩直線之間;②在截線的同旁.3.判定兩直線平行的條件條件2:兩條直線被第三條直線所截,如果內(nèi)錯(cuò)角相等,那么這兩條直線平行.簡(jiǎn)記為“內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行”.推理格式:如圖2-2-6,∵∠1=∠2,∴AB∥CD.圖2-2-6,條件3:兩條直線被第三條直線所截,如果同旁內(nèi)角互補(bǔ),那么這兩條直線平行.簡(jiǎn)記為“同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行”.推理格式:如圖2-2-7,∵∠1+∠2=180,∴AB∥CD.圖2-2-7,例3如圖2-2-9,下列條件不能判定直線a∥b的是()圖2-2-9A.∠1=∠2B.∠1=∠3C.∠1+∠4=180D.∠2+∠4=180,解析A.∵∠1=∠2,∴a∥b(內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行);B.∵∠1=∠3,∴a∥b(同位角相等,兩直線平行);C.∠1+∠4=180與a,b的位置無(wú)關(guān);D.∵∠2+∠4=180,∴a∥b(同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行).,答案C,題型一利用平行解決生活中的實(shí)際問題例1如圖2-2-10所示,有平面鏡A與B,光線由水平方向射來(lái),傳播路線為a→b→c.已知a⊥b,b⊥c,∠1=∠3=45,你知道平面鏡A與B之間的位置關(guān)系嗎?圖2-2-10,解析平面鏡A與平面鏡B互相平行.理由如下:如圖2-2-11,∵a⊥b,b⊥c,∴∠5=∠6=90(垂直的定義).∴∠1+∠4=90,∠2+∠3=90.∵∠1=∠3=45,∴∠4=∠2(等角的余角相等),∴平面鏡A與平面鏡B平行(內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行).圖2-2-11,點(diǎn)撥對(duì)于實(shí)際問題,先轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,再根據(jù)已知條件解決.,題型二構(gòu)造輔助線解決問題,例2如圖2-2-12,已知∠B=25,∠BCD=45,∠CDE=30,∠E=10.試說(shuō)明:AB∥EF.圖2-2-12,分析從本題中無(wú)法找出能直接判定AB∥EF的角,我們可以從輔助線入手,找到能判定直線平行的角,把問題轉(zhuǎn)化到“三線八角”中解答.,解析如圖2-2-13,分別向兩方延長(zhǎng)線段CD交EF于點(diǎn)M,交AB于點(diǎn)N.圖2-2-13因?yàn)椤螧CD=45,所以∠NCB=135.又因?yàn)椤螧=25,所以∠CNB=180-∠NCB-∠B=20.因?yàn)椤螩DE=30,所以∠EDM=150.又因?yàn)椤螮=10,,所以∠EMD=180-∠EDM-∠E=20.所以∠CNB=∠EMD.所以AB∥EF(內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行).,點(diǎn)撥有些探究性問題直接證明很難,我們可以根據(jù)平行線的判定定理,添加輔助線,把問題轉(zhuǎn)化到“三線八角”中解決.,易錯(cuò)點(diǎn)概念沒有理解清楚,導(dǎo)致錯(cuò)用定理例如圖2-2-14所示,如果∠ACE=∠BDF,那么CE∥DF嗎?圖2-2-14,錯(cuò)解平行,因?yàn)椤螦CE=∠BDF,所以CE∥DF(同位角相等,兩直線平行).,錯(cuò)因分析錯(cuò)誤地認(rèn)為∠ACE和∠BDF是直線CE和DF被直線AB所截形成的一組同位角,其實(shí)仔細(xì)觀察圖形可以發(fā)現(xiàn),∠ACE和∠BDF是不能構(gòu)成同位角的關(guān)系的,所以用來(lái)判斷兩直線平行顯然是錯(cuò)誤的.,正解CE∥DF.理由如下:因?yàn)椤螦CE=∠BDF,又因?yàn)椤螦CE+∠ECB=180,∠BDF+∠FDA=180,所以∠ECB=∠FDA(等角的補(bǔ)角相等),所以CE∥DF(內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行).,知識(shí)點(diǎn)一利用同位角判定兩直線平行1.下列圖形中,∠1和∠2是同位角的是(),答案D根據(jù)同位角的定義可知選D.,2.對(duì)于圖2-2-1中標(biāo)記的各角,下列條件能夠推理得到a∥b的是()圖2-2-1A.∠1=∠2B.∠2=∠4C.∠3=∠4D.∠2+∠3=∠4,答案D∠2與∠3的和角與∠4是同位角,根據(jù)同位角相等,兩直線平行,知當(dāng)∠2+∠3=∠4時(shí),可判定a∥b.,3.如圖2-2-2,已知直線c與a、b分別交于點(diǎn)A、B,且∠1=120,當(dāng)∠2=時(shí),直線a∥b.()圖2-2-2A.60B.120C.30D.150,答案B如圖,∠1=∠3=120,根據(jù)同位角相等,兩直線平行可知當(dāng)∠2=∠3=120時(shí),a∥b.,知識(shí)點(diǎn)二平行公理及推論4.如圖2-2-3,∠1=∠2,∠3=∠4.試說(shuō)明b∥c.請(qǐng)完成以下說(shuō)理過(guò)程.∵∠1=∠2,∴a∥b(),又∵∠3=∠4,∴∥(同位角相等,兩直線平行).∴b∥c().圖2-2-3,答案同位角相等,兩直線平行;a;c;平行于同一條直線的兩條直線平行,知識(shí)點(diǎn)三利用內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角判定兩直線平行5.(2016江西新余四中期中)如圖2-2-4,下列推理中正確的是()圖2-2-4A.∵∠2=∠4,∴AD∥BCB.∵∠4+∠D=180,∴AD∥BCC.∵∠1=∠3,∴AD∥BCD.∵∠4+∠B=180,∴AB∥CD,答案CA.∠2與∠4是AB,CD被AC所截得到的內(nèi)錯(cuò)角,根據(jù)∠2=∠4可以判定AB∥CD,不能判定AD∥BC;B.∠4與∠D不可能互補(bǔ),因而B錯(cuò)誤;D.∠4與∠B不是同旁內(nèi)角,無(wú)法根據(jù)∠4+∠B=180判定AB∥CD,故D錯(cuò)誤;正確的是C,根據(jù)的是“內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行”.故選C.,6.如圖2-2-5,直線a與直線b被直線c所截,b⊥c,垂足為點(diǎn)A,∠1=70.若使直線b與直線a平行,則可將直線b繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)()圖2-2-5A.70B.50C.30D.20,答案D如圖,∵b⊥c,∴∠2=90.∵∠1=70,∴要使a∥b,則直線b繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的度數(shù)可為90-70=20.故選D.,7.如圖2-2-6,小明在兩塊含30角的直角三角板的邊緣畫直線AB和CD,得到AB∥CD,根據(jù)是,兩直線平行.圖2-2-6,答案內(nèi)錯(cuò)角相等,解析∵∠ABC=∠BCD=30,∴AB∥CD(內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行).,8.如圖2-2-7,已知∠1=∠D,∠1+∠A=180,可得哪些直線互相平行?請(qǐng)說(shuō)明理由.圖2-2-7,解析可知AD∥BC,AB∥DC.理由:因?yàn)椤?=∠D,所以AD∥BC(內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行).因?yàn)椤?+∠A=180,∠1=∠D,所以∠D+∠A=180,所以AB∥DC(同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行).,1.如圖所示,能判定AB∥CD的是()A.∠1=∠2B.∠3=∠4C.∠1=∠4D.∠2=∠3,答案A選項(xiàng)A,因?yàn)椤?=∠2,所以AB∥CD(同位角相等,兩直線平行);選項(xiàng)B應(yīng)改為∠3+∠4=180,才能判定AB∥CD;選項(xiàng)C中∠1與∠4是對(duì)頂角,不能判定兩直線平行;選項(xiàng)D中,∠2與∠3是鄰補(bǔ)角,也不能判定兩直線平行.,2.(2016四川成都實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校期末)如圖,下列條件中能判定直線l1∥l2的是()A.∠1=∠2B.∠1=∠5C.∠1+∠3=180D.∠3=∠5,答案C∠1和∠3是l1和l2被l3所截形成的同旁內(nèi)角,若它們互補(bǔ),則l1與l2平行,故C符合.,3.如圖所示,∠A=120,∠B=60,∠EFC=∠DCG,試說(shuō)明:AD∥EF.,解析∵∠A=120,∠B=60(已知),∴∠A+∠B=120+60=180(等式性質(zhì)).∴AD∥BC(同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行).∵∠EFC=∠DCG(已知),∴EF∥BC(內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行).∴AD∥EF(平行于同一條直線的兩直線平行).,1.如圖2-2-8,完成下列各題.(1)如果∠1=,那么DE∥AC;(2)如果∠1=,那么EF∥BC;(3)如果∠FED+=180,那么AC∥ED;(4)如果∠2+=180,那么AB∥DF.圖2-2-8,答案(1)∠C(2)∠FED(3)∠EFC(4)∠AED,解析利用平行線的判定方法解題.,2.在同一平面內(nèi),如果兩條直線都垂直于同一條直線,那么這兩條直線.理由如下:如圖2-2-9,∵b⊥a,c⊥a(a,b,c位于同一平面內(nèi)),∴∠1=∠2=90,∴b∥c().圖2-2-9,答案平行;同位角相等,兩直線平行,3.如圖2-2-10,∠BEC=95,∠ABE=120,∠DCE=35,則AB與CD平行嗎?說(shuō)明理由.圖2-2-10,解析AB∥CD.理由:如圖,過(guò)點(diǎn)E在∠BEC的內(nèi)部作∠FEC=∠C=35,則有EF∥CD.因?yàn)椤螧EC=95,所以∠BEF=60.因?yàn)椤螦BE=120,所以∠BEF+∠ABE=180,所以AB∥EF.根據(jù)“平行于同一直線的兩直線平行”,可得AB∥CD.,4.(2017江蘇徐州期中)如圖2-2-11,四邊形ABCD中,∠A=∠C=90,BE、DF分別是∠ABC、∠ADC的平分線.試說(shuō)明:(1)∠1+∠2=90;(2)BE∥DF.圖2-2-11,解析(1)∵BE,DF分別是∠ABC,∠ADC的平分線,∴∠1=∠ABE,∠2=∠ADF,∵∠A=∠C=90,∴∠ABC+∠ADC=180,∴2(∠1+∠2)=180,∴∠1+∠2=90.(2)在△FCD中,∵∠C=90,∴∠DFC+∠2=90,∵∠1+∠2=90,∴∠1=∠DFC,∴BE∥DF.,1.(2017重慶南開中學(xué)月考)如圖,下列條件,不能判定直線l1∥l2的是()A.∠1=∠3B.∠1=∠4C.∠2+∠3=180D.∠3=∠5,答案AA項(xiàng),∠1=∠3,不能判定直線l1∥l2,故此選項(xiàng)符合題意;B項(xiàng),∠1=∠4,根據(jù)“內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行”,可判定直線l1∥l2,故此選項(xiàng)不合題意;C項(xiàng),∠2+∠3=180,根據(jù)“同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行”,可判定直線l1∥l2,故此選項(xiàng)不合題意;D項(xiàng),∠3=∠5,根據(jù)“同位角相等,兩直線平行”,可判定直線l1∥l2,故此選項(xiàng)不合題意.故選A.,2.(2017浙江金華模擬)如圖,現(xiàn)給出下列條件:①∠1=∠2,②∠B=∠5,③∠3=∠4,④∠5=∠D,⑤∠B+∠BCD=180,其中能夠得到AD∥BC的條件是;能夠得到AB∥CD的條件是.(填序號(hào)),答案①④;②③⑤,解析①∵∠1=∠2,∴AD∥BC;②∵∠B=∠5,∴AB∥DC;③∵∠3=∠4,∴AB∥CD;④∵∠5=∠D,∴AD∥BC;⑤∵∠B+∠BCD=180,∴AB∥CD,∴能夠得到AD∥BC的條件是①④,能夠得到AB∥CD的條件是②③⑤.,3.如圖,已知∠1=∠A,∠2=∠B,試問MN與EF有怎樣的位置關(guān)系?請(qǐng)說(shuō)明理由.,解析MN與EF的位置關(guān)系是MN∥EF.理由:∵∠1=∠A(已知),∴MN∥AB(內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行).∵∠2=∠B(已知),∴EF∥AB(同位角相等,兩直線平行).∴MN∥EF(平行于同一條直線的兩條直線平行).,一、選擇題1.(2017甘肅武威二十三中月考,2,★★☆)如圖2-2-12,下列條件中,不能判定AB∥CD的是()圖2-2-12A.∠C+∠ABC=180B.∠1=∠2C.∠3=∠4D.∠A=∠CDE,答案C,二、解答題2.(2016湖南湘潭一中期末,17,★★☆)如圖2-2-13,已知直線l1、l2、l3被直線l所截,∠1=72,∠2=108,∠3=72,試說(shuō)明:l1∥l2∥l3.圖2-2-13,解析∵∠1=72,∠3=72(已知),∴∠1=∠3(等量代換),∴l(xiāng)1∥l3(內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行),∵∠2=108(已知),∴∠2+∠3=108+72=180,∴l(xiāng)2∥l3(同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行),∴l(xiāng)1∥l2(平行于同一條直線的兩條直線平行).∴l(xiāng)1∥l2∥l3.,1.(2018山東汶上期中,4,★☆☆)如圖所示,下列條件中,能判斷直線l1∥l2的是()A.∠2=∠3B.∠1=∠3C.∠4+∠5=180D.∠2=∠4,答案B因?yàn)椤?與∠3是同位角,所以由∠1=∠3可得l1∥l2.,2.(2017山東青島膠州期末,3,★☆☆)如圖,下列條件中,能夠判定BE∥AC的是()A.∠C=∠ABEB.∠C=∠ABCC.∠A=∠ABCD.∠A=∠ABE,答案D,3.(2017甘肅武威二十三中月考,5,★☆☆)下列命題中,不正確的是()A.如果兩條直線都和第三條直線平行,那么這兩條直線也互相平行B.兩條直線被第三條直線所截,如果同位角相等,那么這兩條直線平行C.兩條直線被第三條直線所截,那么這兩條直線平行D.兩條直線被第三條直線所截,如果同旁內(nèi)角互補(bǔ),那么這兩條直線平行,答案C,4.(2016福建泉州五中月考,12,★☆☆)如圖,已知直線b,c被直線a所截,若∠1+∠2=180,則b∥c.推斷b∥c的依據(jù)是.,答案同位角(內(nèi)錯(cuò)角)相等或同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行(寫出一種即可),解析∵∠1=∠4(對(duì)頂角相等),∠1+∠2=180,∴∠4+∠2=180,∴b∥c(同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行);∵∠2+∠3=180,∠1+∠2=180,∴∠1=∠3,∴b∥c(同位角相等,兩直線平行);∵∠1=∠4,∠2+∠3=180,∠1+∠2=180,∴∠4=∠3,∴b∥c(內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行).,一、填空題1.(2018湖南湘潭中考,14,★★☆)如圖2-2-14,點(diǎn)E是AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn),如果添加一個(gè)條件,使BC∥AD,則可添加的條件為.(寫出一個(gè)符合題意的條件即可)圖2-2-14,答案∠A+∠ABC=180(答案不唯一),解析若∠A+∠ABC=180,則BC∥AD;若∠C+∠ADC=180,則BC∥AD;若∠CBD=∠ADB,則BC∥AD;若∠C=∠CDE,則BC∥AD.,2.(2017山東德州中考,14,★☆☆)如圖2-2-15是利用直尺和三角板過(guò)已知直線l外一點(diǎn)P作直線l的平行線的方法,其理由是.圖2-2-15,答案同位角相等,兩直線平行,3.(2014湖南湘潭中考,13,★☆☆)如圖2-2-16,直線a、b被直線c所截,若滿足,則a、b平行.圖2-2-16,答案∠1=∠2(答案不唯一),解析根據(jù)“同位角相等,兩直線平行”可得當(dāng)∠1=∠2時(shí),a∥b.本題答案不唯一,還可以是∠3+∠4=180或∠1+∠4=180或∠2=∠3.,二、解答題4.(2016山東淄博中考,18,★★☆)圖2-2-17是一個(gè)由4條線段構(gòu)成的“魚”形圖案,其中∠1=50,∠2=50,∠3=130,找出圖中的平行線,并說(shuō)明理由.圖2-2-17,解析OA∥BC,OB∥AC.理由:∵∠1=50,∠2=50,∴∠1=∠2,∴OB∥AC.∵∠2=50,∠3=130,∴∠2+∠3=180,∴OA∥BC.,1.(2018湖南郴州中考,4,★☆☆)如圖,直線a,b被直線c所截,下列條件中,不能判定a∥b的是()A.∠2=∠4B.∠1+∠4=180C.∠5=∠4D.∠1=∠3,答案D,2.(2016廣西百色中考,3,★☆☆)如圖,直線a、b被直線c所截,下列條件能使a∥b的是()A.∠1=∠6B.∠2=∠6C.∠1=∠3D.∠5=∠7,答案B若∠2=∠6,則a∥b(同位角相等,兩直線平行),故選B.,3.(2016內(nèi)蒙古赤峰中考,6,★☆☆)如圖,工人師傅在工程施工中,需在同一平面內(nèi)彎制一個(gè)變形管道ABCD,使其拐角∠ABC=150,∠BCD=30,則()A.AB∥BCB.BC∥CDC.AB∥DCD.AB與CD相交,答案C∵∠ABC=150,∠BCD=30,∴∠ABC+∠BCD=180,∴AB∥DC(同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行).故選C.,4.(2015浙江金華中考,9改編,★★☆)如圖①②③④所示的四種沿AB折疊的方法中,不一定能判定紙帶兩條邊線a,b互相平行的是()A.如圖①,展開后,測(cè)得∠1=∠2B.如圖②,展開后,測(cè)得∠1=∠2且∠3=∠4C.如圖③,測(cè)得∠1=∠2D.如圖④,展開后,測(cè)得∠1+∠2=180,答案C對(duì)于題圖①,測(cè)得∠1=∠2,根據(jù)“內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行”可得a∥b.對(duì)于題圖②,測(cè)得∠1=∠2且∠3=∠4,由∠1+∠2=180及∠3+∠4=180,得∠1=∠2=90,∠3=∠4=90,所以∠1=∠4=90,根據(jù)“內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行”得到a∥b.對(duì)于題圖④,測(cè)得∠1+∠2=180,根據(jù)“同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行”得到a∥b.故A、B、D一定能判定a∥b,故選C.,,解析小紅的依據(jù)是“同位角相等,兩直線平行”.小華的依據(jù)是“內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行”.其他結(jié)論(寫出一組即可):(1)∠ECA=∠CED,AC∥DE(內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行);(2)∠BAC=∠ECA,AB∥CE(內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行);(3)∠DCE=∠AEC,CD∥AE(內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行).,1.如圖所示,兩束光線AB,CD從空氣中射向水面,入射角∠ABM與∠CDN均為30,那么AB與CD平行嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由.,解析AB與CD平行.理由如下:∵∠ABM和∠CDN均為30,∠MBF和∠NDF均為90,∴∠ABF=∠ABM+∠MBF=30+90=120,∠CDF=∠CDN+∠NDF=30+90=120,∴∠ABF=∠CDF,∴AB∥CD(同位角相等,兩直線平行).,2.建筑工人在檢驗(yàn)墻壁是否豎直時(shí),可先在一條長(zhǎng)方形的木板上畫一條直線a,使其平行于木板的長(zhǎng)邊,再在直線a與短邊的交點(diǎn)處釘一只釘子,掛上一條鉛垂線OP,如圖,然后把木板的長(zhǎng)邊豎貼墻壁,這時(shí)如果OP能與直線a重合,則墻壁是豎直的,為什么?,解析因?yàn)橹本€a與長(zhǎng)方形木板的長(zhǎng)邊平行,而木板的長(zhǎng)邊緊貼在墻壁上,則直線a與墻壁平行.當(dāng)直線a與OP重合時(shí),OP與墻壁平行.又因?yàn)殂U垂線OP是豎直的,所以墻壁是豎直的.,