2021屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 必考問題專項(xiàng)突破2 函數(shù)與方程及函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用 理

題2函數(shù)與方程及函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用1(2010·天津)函數(shù)f(x)2x3x的零點(diǎn)所在的一個區(qū)間是()A(2，1) B(1,0)C(0,1) D(1,2)答案：B由f(1)30，f(0)10及零點(diǎn)定理，知f(x)的零點(diǎn)在區(qū)間(1,0)上2(2012·湖北)函數(shù)f(x)xcos x2在區(qū)間0,4上的零點(diǎn)個數(shù)為()A4 B5 C6 D7答案：C令xcos x20，則x0，或x2k，又x0,4，因此xk (k0,1,2,3,4)，共有6個零點(diǎn)3(2012·北京)函數(shù)f(x)xx的零點(diǎn)個數(shù)為()A0 B1 C2 D3答案：B因?yàn)閥x在x0，)上單調(diào)遞增，yx在xR上單調(diào)遞減，所以f(x)xx在x0，)上單調(diào)遞增，又f(0)10，f(1)0，所以f(x)xx在定義域內(nèi)有唯一零點(diǎn)，選B.4(2010·山東)已知某生產(chǎn)廠家的年利潤y(單位：萬元)與年產(chǎn)量x(單位：萬件)的函數(shù)關(guān)系式為yx381x234，則使該生產(chǎn)廠家獲取最大年利潤的年產(chǎn)量為_萬件解析yf(x)x381x234，yx281.令y0，得x9，x9(舍去)當(dāng)0x9時，y0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x9時，y0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減故當(dāng)x9時，y取最大值答案9高考對本部分的考查有：(1)確定函數(shù)零點(diǎn)；確定函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)；根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的存在情況求參數(shù)值或取值范圍(2)函數(shù)簡單性質(zhì)的綜合考查函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問題(3)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、不等式等知識綜合考查利用函數(shù)性質(zhì)解決相關(guān)的最值題型既有選擇題、填空題，又有解答題，客觀題主要考查相應(yīng)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，主觀題考查較為綜合，在考查函數(shù)的零點(diǎn)、方程根的基礎(chǔ)上，又注重考查函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論、數(shù)形結(jié)合的思想方法1二次函數(shù)圖象是連接三個“二次”的紐帶，是理解和解決問題的關(guān)鍵，應(yīng)認(rèn)真研究、熟練掌握2關(guān)于零點(diǎn)問題，要學(xué)會分析轉(zhuǎn)化，能夠把與之有關(guān)的不同形式的問題，化歸為適當(dāng)方程的零點(diǎn)問題3函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用問題，主要抓好常見函數(shù)模型的訓(xùn)練，重點(diǎn)放在信息整理與建模上.必備知識零點(diǎn)存在性定理如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，且有f(a)·f(b)0，那么，函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c(a，b)使得f(c)0，這個c也就是方程f(x)0的根注意以下兩點(diǎn)：滿足條件的零點(diǎn)可能不唯一；不滿足條件時，也可能有零點(diǎn)在處理二次函數(shù)問題時，要注意f(x)的幾種常見表達(dá)形式(1)yax2bxc；(2)ya(xx1)(xx2)；(3)ya(xh)2k.應(yīng)根據(jù)題目的特點(diǎn)靈活選用上述表達(dá)式應(yīng)用函數(shù)模型解決實(shí)際問題的一般程序與函數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題，經(jīng)常涉及到物價、路程、產(chǎn)值、環(huán)保等實(shí)際問題，也可涉及角度、面積、體積、造價的最優(yōu)化問題解答這類問題的關(guān)鍵是確切的建立相關(guān)函數(shù)解析式，然后應(yīng)用函數(shù)、方程、不等式和導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識加以綜合解答必備方法1在求方程解的個數(shù)或者根據(jù)解的個數(shù)求方程中的字母參數(shù)的范圍的問題時，數(shù)形結(jié)合是基本的解題方法，即把方程分拆為一個等式，使兩端都轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的函數(shù)的解析式，然后構(gòu)造兩個函數(shù)f(x)，g(x)，即把方程寫成f(x)g(x)的形式，這時方程根的個數(shù)就是兩個函數(shù)圖象交點(diǎn)的個數(shù)，可以根據(jù)圖象的變化趨勢找到方程中字母參數(shù)所滿足的各種關(guān)系2二次函數(shù)ya(xh)2k(a0)，xp，q的最值問題實(shí)際上是研究函數(shù)在p，q上的單調(diào)性常用方法：(1)注意是“軸動區(qū)間定”，還是“軸定區(qū)間動”，找出分類的標(biāo)準(zhǔn)；(2)利用導(dǎo)數(shù)知識，最值可以在端點(diǎn)和駐點(diǎn)處尋找3f(x)0在p，q上恒成立問題，等價于f(x)min0，xp，q常考查：根據(jù)函數(shù)解析式判斷零點(diǎn)所在的區(qū)間；根據(jù)函數(shù)解析式求零點(diǎn)的個數(shù)問題可采用零點(diǎn)判定定理、數(shù)形結(jié)合法求解，高考命題有加強(qiáng)的趨勢，難度中檔偏下【例1】 (2011·陜西)函數(shù)f(x)cos x在0，)內(nèi)()A沒有零點(diǎn) B有且僅有一個零點(diǎn)C有且僅有兩個零點(diǎn) D有無窮多個零點(diǎn)審題視點(diǎn) 聽課記錄審題視點(diǎn) 將問題轉(zhuǎn)化為判斷y與ycos x的交點(diǎn)個數(shù)B在同一直角坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)y和ycos x的圖象，如圖，由于x1時，y1，ycos x1，所以兩圖象只有一個交點(diǎn)，即方程cos x0在0，)內(nèi)只有一個根，所以f(x)cos x在0，)內(nèi)只有一個零點(diǎn) 確定函數(shù)零點(diǎn)的常用方法：解方程判定法，若方程易求解時用此法；零點(diǎn)存在的判定定理法，常常要結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)等知識；數(shù)形結(jié)合法，在研究函數(shù)零點(diǎn)、方程的根及圖象交點(diǎn)的問題時，當(dāng)從正面求解難以入手，可以轉(zhuǎn)化為某一易入手的等價問題求解，如求解含有絕對值、分式、指數(shù)、對數(shù)、三角式等較復(fù)雜的函數(shù)零點(diǎn)問題，常轉(zhuǎn)化為熟悉的兩個函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題求解【突破訓(xùn)練1】 函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個數(shù)為()A0 B1 C2 D3答案：C當(dāng)x0時，令x22x30，解得x3；當(dāng)x0時，令2ln x0，解得xe2.所以已知函數(shù)有兩個零點(diǎn)，選C.函數(shù)思想在高考中并不單獨(dú)考查，而往往與導(dǎo)數(shù)結(jié)合命制壓軸性大題，試題圍繞二次函數(shù)、二次方程及二次不等式的關(guān)系展開，解題的關(guān)鍵是從判別式、韋達(dá)定理、對稱軸、開口方向等方面去考慮結(jié)論成立的所有條件，難度較大【例2】 已知二次函數(shù)f(x)ax2bxc.(1)若abc，且abc0，試證明f(x)0必有兩個實(shí)根；(2)若對x1，x2R且x1x2，f(x1)f(x2)，試證明方程f(x)f(x1)f(x2)有兩不等實(shí)根，且必有一個實(shí)根屬于(x1，x2)審題視點(diǎn) 聽課記錄審題視點(diǎn) (1)將已知條件b(ac)代入f(x)0后，再對f(x)0分解因式求根(2)利用函數(shù)與方程的思想構(gòu)造函數(shù)f(x)f(x1)f(x2)，利用函數(shù)零點(diǎn)判定定理可知函數(shù)在(x1，x2)有一零點(diǎn)證明(1)若abc，abc0，則a0，c0，且b(ac)，所以方程f(x)0可化為ax2(ac)xc0，即a(x1)0，則f(x)0有兩根x11，x2.(2)令g(x)f(x)f(x1)f(x2)，g(x1)f(x1)f(x2)，g(x2)f(x2)f(x1)，且x1x2，f(x1)f(x2)，所以g(x1)g(x2)f(x1)f(x2)20，即函數(shù)g(x)在區(qū)間(x1，x2)內(nèi)有零點(diǎn)，則方程g(x)0有一實(shí)根屬于(x1，x2)，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知必有另一實(shí)根 二次函數(shù)問題通常利用二次方程、二次不等式之間的關(guān)系來處理，從而使方程問題函數(shù)化，函數(shù)問題方程化，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想【突破訓(xùn)練2】 已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)2ax22x3a，如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間1,1上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解當(dāng)a0時，f(x)2x3，其零點(diǎn)x不在區(qū)間1,1上當(dāng)a0時，函數(shù)f(x)在區(qū)間1,1分為兩種情況：函數(shù)在區(qū)間1,1上只有一個零點(diǎn)，此時或解得1a5或a.函數(shù)在區(qū)間1,1上有兩個零點(diǎn)，此時或解得a5或a.綜上所述，如果函數(shù)在區(qū)間1,1上有零點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍為1，)函數(shù)綜合題的求解往往運(yùn)用多種知識和技能因此，必須全面掌握有關(guān)的函數(shù)知識，并且嚴(yán)謹(jǐn)審題，弄清題目的已知條件，尤其要挖掘題目中的隱含條件要認(rèn)真分析，處理好各種關(guān)系，把握問題的主線，運(yùn)用相關(guān)的知識和方法將題目逐步化歸為基本問題來解決【例3】 已知二次函數(shù)yg(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象與直線y2x平行，且yg(x)在x1處取得極小值m1(m0)，設(shè)函數(shù)f(x).(1)若曲線yf(x)上的點(diǎn)P到點(diǎn)Q(0,2)的距離的最小值為，求m的值；(2)當(dāng)k(kR)取何值時，函數(shù)yf(x)kx存在零點(diǎn)，并求出零點(diǎn)審題視點(diǎn) 聽課記錄審題視點(diǎn) (1)利用已知條件用含m的式子表示f(x)，再結(jié)合點(diǎn)P到點(diǎn)Q的最值，利用基本不等式求m值(2)將已知轉(zhuǎn)化為f(x)kx0，進(jìn)而求其根，需要根據(jù)解題對k，m分類討論解(1)設(shè)g(x)ax2bxc(a0)，則g(x)2axb；又yg(x)的圖象與直線y2x平行，2a2，a1，又g(x)在x1處取得極小值，g(1)0，b2.g(1)abc12cm1，cm.f(x)x2，設(shè)P(x0，y0)，則|PQ|2x(y02)2x22x2m22m.22m2，m1或1.(2)由yf(x)kx(1k)x20，得(1k)x22xm0.當(dāng)k1時，方程(*)有一個解x，故函數(shù)yf(x)kx有一個零點(diǎn)x，(*)當(dāng)k1時，方程(*)有兩解44m(1k)0，若m0，則k1，函數(shù)yf(x)kx有兩個零點(diǎn)x；若m0，則k1，故函數(shù)yf(x)kx有兩個零點(diǎn)x；當(dāng)k1時，方程(*)有一解44m(1k)0，k1，函數(shù)yf(x)kx有一個零點(diǎn)x.綜上：當(dāng)k1時，函數(shù)yf(x)kx有一個零點(diǎn)x；當(dāng)k1(m0)，或k1(m0)時，函數(shù)yf(x)kx有兩個零點(diǎn)x；當(dāng)k1時，函數(shù)yf(x)kx有一個零點(diǎn)x. 此題考查了函數(shù)的零點(diǎn)、最值、一元二次方程等基礎(chǔ)知識，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)的方法，體現(xiàn)了函數(shù)與方程，分類與整體的數(shù)學(xué)思想方法【突破訓(xùn)練3】 (2011·北京)已知函數(shù)f(x)若關(guān)于x的方程f(x)k有兩個不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_解析作出函數(shù)f(x)的圖象，如圖，由圖象可知，當(dāng)0k1時，函數(shù)f(x)與yk的圖象有兩個不同的交點(diǎn)，所以所求實(shí)數(shù)k的取值范圍是(0,1)答案(0,1)該類試題以實(shí)際生活為背景，通過巧妙設(shè)計和整合命制，試題常與函數(shù)解析式的求法、函數(shù)最值、不等式、導(dǎo)數(shù)等知識交匯，多以求最值為高考考向這類題目對學(xué)生的閱讀、審題能力、建模能力提出了較高的要求【例4】 (2011·湖南)如圖，長方體物體E在雨中沿面P(面積為S)的垂直方向作勻速移動，速度為v(v>0)，雨速沿E移動方向的分速度為c(cR)E移動時單位時間內(nèi)的淋雨量包括兩部分：P或P的平行面(只有一個面淋雨)的淋雨量，假設(shè)其值與|vc|×S成正比，比例系數(shù)為；其他面的淋雨量之和，其值為.記y為E移動過程中的總淋雨量當(dāng)移動距離d100，面積S時(1)寫出y的表達(dá)式；(2)設(shè)0<v10,0<c5，試根據(jù)c的不同取值范圍，確定移動速度v，使總淋雨量y最少審題視點(diǎn) 聽課記錄審題視點(diǎn) 先求E移動時單位時間內(nèi)的淋雨量(分兩部分：一是P或P的平行面；二是其他面的淋雨量之和)再分0vc或cv10兩種情況，利用函數(shù)的單調(diào)性求解解(1)由題意知，E移動時單位時間內(nèi)的淋雨量為|vc|，故y(3|vc|10)(2)由(1)知，當(dāng)0vc時，y(3c3v10)15；當(dāng)cv10時，y(3v3c10)15.故y當(dāng)0c時，y是關(guān)于v的減函數(shù)，故當(dāng)v10時，ymin20.當(dāng)c5時，在(0，c上y是關(guān)于v的減函數(shù)；在(c,10上，y是關(guān)于v的增函數(shù)，故當(dāng)vc時，ymin. (1)關(guān)于解決函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問題，首先要在閱讀上下功夫，一般情況下，應(yīng)用題文字?jǐn)⑹霰容^長，要耐心、細(xì)心地審清題意，弄清各量之間的關(guān)系，再建立函數(shù)關(guān)系式，然后借助函數(shù)的知識求解，解答后再回到實(shí)際問題中去(2)對函數(shù)模型求最值的常用方法：單調(diào)性法、基本不等式法及導(dǎo)數(shù)法【突破訓(xùn)練4】 (2012·東北三校二模)已知一家公司生產(chǎn)某種品牌服裝的年固定成本為10萬元，每生產(chǎn)1千件需另投入2.7萬元設(shè)該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該品牌服裝x千件并全部銷售完，每千件的銷售收入為R(x)萬元，且R(x)(1)寫出年利潤W(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(千件)的函數(shù)解析式；(2)年產(chǎn)量為多少千件時，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲得的年利潤最大(注：年利潤年銷售收入年總成本)解(1)當(dāng)0x10時，WxR(x)(102.7x)8.1x10；當(dāng)x10時，WxR(x)(102.7x)982.7x，W(2)當(dāng)0x10時，由W8.10，得x9.當(dāng)x(0,9)時，W0；當(dāng)x(9,10時，W0，當(dāng)x9時，W取得最大值，即Wmax8.1×9×931038.6.當(dāng)x10時，W98982 38，當(dāng)且僅當(dāng)2.7 x，即x時，W取得最大值38.綜合知：當(dāng)x9時，W取得最大值38.6，故當(dāng)年產(chǎn)量為9千件時，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲的年利潤最大利用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的零點(diǎn)問題利用導(dǎo)數(shù)可判斷函數(shù)圖象的變化趨勢及單調(diào)性，而函數(shù)的單調(diào)性往往與方程的解交匯命題因此，可借助導(dǎo)數(shù)這一工具來研究函數(shù)的零點(diǎn)問題【示例】 (2012·福建)已知函數(shù)f(x)axsin x(aR)，且在上的最大值為.(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)判斷函數(shù)f(x)在(0，)內(nèi)的零點(diǎn)個數(shù)，并加以證明滿分解答(1)由已知得f(x)a(sin xxcos x)，對于任意x，有sin xxcos x0.當(dāng)a0時，f(x)，不合題意；當(dāng)a0時，x時，f(x)0，從而f(x)在內(nèi)單調(diào)遞減，又f(x)在上的圖象是連續(xù)不間斷的，故f(x)在上的最大值為f(0)，不合題意；(4分)當(dāng)a0，x時，f(x)0，從而f(x)在內(nèi)單調(diào)遞增，又f(x)在上的圖象是連續(xù)不間斷的，故f(x)在上的最大值為f，即a，解得a1.綜上所述，得f(x)xsin x.(6分)(2)f(x)在(0，)內(nèi)有且只有兩個零點(diǎn)證明如下：由(1)知，f(x)xsin x，從而有f(0)0，f0，又f(x)在上的圖象是連續(xù)不間斷的，所以f(x)在內(nèi)至少存在一個零點(diǎn)又由(1)知f(x)在上單調(diào)遞增，故f(x)在內(nèi)有且只有一個零點(diǎn)(9分)當(dāng)x時，令g(x)f(x)sin xxcos x.由g10，g()0，且g(x)在上的圖象是連續(xù)不間斷的，故存在m，使得g(m)0.由g(x)2cos xxsin x，知x時，有g(shù)(x)0，從而g(x)在內(nèi)單調(diào)遞減當(dāng)x時，g(x)g(m)0，即f(x)0，從而f(x)在內(nèi)單調(diào)遞增，故當(dāng)x時，f(x)f0，故f(x)在上無零點(diǎn)；(12分)當(dāng)x(m，)時，有g(shù)(x)g(m)0，即f(x)0，從而f(x)在(m，)內(nèi)單調(diào)遞減又f(m)0，f()0，且f(x)在m，上的圖象是連續(xù)不斷的，從而f(x)在(m，)內(nèi)有且僅有一個零點(diǎn)綜上所述，f(x)在(0，)內(nèi)有且只有兩個零點(diǎn)(14分)老師叮嚀：本題綜合考查了導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)的單調(diào)性、最值和函數(shù)零點(diǎn)的判斷.第(1)問需對a分類討論，利用f(x)的正負(fù)與f(x)單調(diào)性的關(guān)系求得結(jié)果.第(2)問需要經(jīng)過二次求導(dǎo)，原因是一次求導(dǎo)不能判斷其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，還需第二次求導(dǎo)，再結(jié)合零點(diǎn)存在定理判斷函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)零點(diǎn)存在情況.【試一試】 已知函數(shù)f(x)x3，g(x)x.求函數(shù)h(x)f(x)g(x)的零點(diǎn)個數(shù)，并說明理由解由h(x)x3x知，x0，)，而h(0)0，且h(1)10，h(2)60，則x0為h(x)的一個零點(diǎn)，且h(x)在(1,2)內(nèi)有零點(diǎn)因此，h(x)至少有兩個零點(diǎn)法一h(x)3x21x，記(x)3x21x，則(x)6xx.則x(0，)時，(x)0，因此(x)在(0，)上單調(diào)遞增，則(x)在(0，)內(nèi)至多只有一個零點(diǎn)又因?yàn)?1)0，0，則(x)在內(nèi)有零點(diǎn)所以(x)在(0，)內(nèi)有且只有一個零點(diǎn)記此零點(diǎn)為x1，則當(dāng)x(0，x1)時，(x)(x1)0；當(dāng)x(x1，)時，(x)(x1)0.所以，當(dāng)x(0，x1)時，h(x)單調(diào)遞減而h(0)0，則h(x)在(0，x1內(nèi)無零點(diǎn)；當(dāng)x(x1，)時，h(x)單調(diào)遞增，則h(x)在(x1，)內(nèi)至多只有一個零點(diǎn)從而h(x)在(0，)內(nèi)至多只有一個零點(diǎn)綜上所述，h(x)有且只有兩個零點(diǎn)法二由h(x)x(x21x)，記(x)x21x，則(x)2xx.當(dāng)x(0，)時，(x)0，從而(x)在(0，)上單調(diào)遞增，則(x)在(0，)內(nèi)至多只有一個零點(diǎn)因此h(x)在(0，)內(nèi)也至多只有一個零點(diǎn)綜上所述，h(x)有且只有兩個零點(diǎn)12