2021屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 必考問(wèn)題專項(xiàng)突破8 平面向量線性運(yùn)算及綜合應(yīng)用問(wèn)題 理

必考問(wèn)題8平面向量線性運(yùn)算及綜合應(yīng)用問(wèn)題1(2012·廣東)若向量(2,3)，(4,7)，則()A(2，4) B(2,4) C(6,10) D(6，10)答案： A抓住向量的起點(diǎn)與終點(diǎn)，用終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)即可由于(2,3)，(4,7)，那么(2,3)(4，7)(2，4)2(2012·四川)設(shè)a，b都是非零向量下列四個(gè)條件中，使成立的充分條件是()Aab Bab Ca2b Dab且|a|b|答案：C對(duì)于A，注意到當(dāng)ab時(shí)，；對(duì)于B，注意到當(dāng)ab時(shí)，與可能不相等；對(duì)于C，當(dāng)a2b時(shí)，；對(duì)于D，當(dāng)ab，且|a|b|時(shí)，可能有ab，此時(shí).綜上所述，使成立的充分條件是a2b.3(2012·浙江)設(shè)a，b是兩個(gè)非零向量，下列選項(xiàng)正確的是()A若|ab|a|b|，則abB若ab，則|ab|a|b|C若|ab|a|b|，則存在實(shí)數(shù)，使得baD若存在實(shí)數(shù)，使得ba，則|ab|a|b|答案：C對(duì)于A，可得cosa，b1，因此ab不成立；對(duì)于B，滿足ab時(shí)，|ab|a|b|不成立；對(duì)于C，可得cosa，b1，因此成立，而D顯然不一定成立4(2012·新課標(biāo)全國(guó))已知向量a，b夾角為45°，且|a|1，|2ab|，則|b|_.解析依題意，可知|2ab|24|a|24a·b|b|244|a|b|·cos 45°|b|242|b|b|210，即|b|22|b|60，|b|3(負(fù)值舍去)答案31高考一般會(huì)以客觀題的形式重點(diǎn)考查向量的線性運(yùn)算及其應(yīng)用，向量的垂直、平移、夾角和模的運(yùn)算，向量的幾何運(yùn)算等2平面向量作為工具在考查三角函數(shù)、平面解析幾何等內(nèi)容時(shí)常用到，屬于中等偏難題1要理解平面向量具有兩個(gè)方面的特征：幾何特征和代數(shù)特征，可以認(rèn)為平面向量是聯(lián)系幾何圖形和代數(shù)運(yùn)算的紐帶，因此復(fù)習(xí)時(shí)要抓住平面向量的核心特征2由于平面向量在三角函數(shù)、平面解析幾何中的工具作用，所以備考時(shí)要熟練掌握平面向量的基礎(chǔ)知識(shí).必備知識(shí)向量的概念(1)零向量模的大小為0，方向是任意的，它與任意非零向量都共線，記為0.(2)長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫單位向量，a的單位向量為±.(3)方向相同或相反的向量叫共線向量(平行向量)(4)如果直線l的斜率為k，則a(1，k)是直線l的一個(gè)方向向量(5)向量的投影：|b|cosa，b叫做b在向量a方向上的投影向量的運(yùn)算(1)向量的加法、減法、數(shù)乘向量是向量運(yùn)算的基礎(chǔ)，應(yīng)熟練掌握其運(yùn)算規(guī)律(2)平面向量的數(shù)量積的結(jié)果是實(shí)數(shù)，而不是向量，要注意運(yùn)算數(shù)量積與實(shí)數(shù)運(yùn)算律的差異，平面向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律與消去律a·b運(yùn)算結(jié)果不僅與a，b的長(zhǎng)度有關(guān)而且與a與b的夾角有關(guān)，即a·b|a|b|cosa，b兩非零向量平行、垂直的充要條件若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則abab，abx1y2x2y10.aba·b0，abx1x2y1y20.可利用它處理幾何中的兩線平行、垂直問(wèn)題，但二者不能混淆必備方法1當(dāng)向量以幾何圖形的形式出現(xiàn)時(shí)，要把這個(gè)幾何圖形中的一個(gè)向量用其余的向量線性表示，就要根據(jù)向量加減法的法則進(jìn)行，特別是減法法則很容易使用錯(cuò)誤，向量(其中O為我們所需要的任何一個(gè)點(diǎn))，這個(gè)法則就是終點(diǎn)向量減去起點(diǎn)向量2根據(jù)平行四邊形法則，對(duì)于非零向量a，b，當(dāng)|ab|ab|時(shí)，平行四邊形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)度相等，此時(shí)平行四邊形是矩形，條件|ab|ab|等價(jià)于向量a，b互相垂直，反之也成立3兩個(gè)向量夾角的范圍是0，在使用平面向量解決問(wèn)題時(shí)要特別注意兩個(gè)向量夾角可能是0或的情況，如已知兩個(gè)向量的夾角為鈍角時(shí)，不單純就是其數(shù)量積小于零，還要求不能反向共線?？疾槠矫嫦蛄康幕靖拍?、線性運(yùn)算、加減運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí)同時(shí)，要加強(qiáng)三角形法則、平行四邊形法則應(yīng)用技巧的訓(xùn)練和常用結(jié)論的記憶，難度以中低檔為主【例1】 (2010·湖北)已知ABC和點(diǎn)M滿足0，若存在實(shí)數(shù)m使得m成立，則m()A2 B3 C4 D5審題視點(diǎn) 聽課記錄審題視點(diǎn) 由0, 可知M是ABC的重心B0，點(diǎn)M是ABC的重心3 .m3. (1)在用三角形加法法則時(shí)要保證“首尾相接”，結(jié)果向量是第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量終點(diǎn)所在的向量；在用三角形減法法則時(shí)要保證“同起點(diǎn)”，結(jié)果向量的方向是指向被減向量(2)有的問(wèn)題可以采用坐標(biāo)化解決更簡(jiǎn)單【突破訓(xùn)練1】 如圖，平面內(nèi)有三個(gè)向量，其中與的夾角為120°，與的夾角為30°，且|1，|2，若(，R)，則的值為_解析法一如圖，11，|1|2，|1|4，42.6.法二以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸建立直角坐標(biāo)系，則A(1,0)，C(2 cos 30°，2sin 30°)，B(cos 120°，sin 120°)即A(1,0)，C(3，)，B，.由得，6.答案6數(shù)量積是平面向量最易考查的知識(shí)點(diǎn)，?？疾椋褐苯永脭?shù)量積運(yùn)算公式進(jìn)行運(yùn)算；求向量的夾角、模，或判斷向量的垂直關(guān)系，試題較容易也常常與解析幾何結(jié)合命制解答題【例2】 (2012·臨沂質(zhì)檢)如圖，ABC中，C90°，且ACBC3，點(diǎn)M滿足2，則·()A2 B3C4 D6審題視點(diǎn) 聽課記錄審題視點(diǎn) 用向量、表示B·()·2·2·()23. 平面向量問(wèn)題的難點(diǎn)就是把平面向量的幾何運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算的結(jié)合，這里要充分利用平面向量的幾何運(yùn)算法則、平面向量的共線向量定理、兩向量垂直的條件以及平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法則，探究解題的思想【突破訓(xùn)練2】 (2012·重慶)設(shè)x，yR，向量a(x,1)，b(1，y)，c(2，4)，且ac，bc，則|ab|()A. B. C2 D10答案：B由題意可知，解得故ab(3，1)，|ab|，選B.在近年高考中，三角函數(shù)與平面向量相結(jié)合來(lái)命制綜合問(wèn)題是高考考查的熱點(diǎn)，三角函數(shù)的變換與求值、化簡(jiǎn)及解三角形等問(wèn)題常以向量為載體，復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)注意解題的靈活性，難度不大【例3】 (2012·河北衡水調(diào)研)已知向量a(sin x，1)，b.(1)當(dāng)ab時(shí)，求cos2x3sin 2x的值；(2)求f(x)(ab)·b的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間審題視點(diǎn) 聽課記錄審題視點(diǎn) (1)由向量平行列方程解出tan x的值，所求式子轉(zhuǎn)化成正切單角名稱的三角代數(shù)式，代入可求解；(2)進(jìn)行向量坐標(biāo)形式的數(shù)量積運(yùn)算得到f(x)的解析式，轉(zhuǎn)化為yAsin (x)b的函數(shù)結(jié)構(gòu)解(1)由ab，得sin xcos x0，即tan x，cos2x3sin 2x.(2)因?yàn)閍(sin x，1)，bcos x，absin xcos x，；f(x)(ab)·b(sin xcos x)cos x(sin 2xcos 2x)sin2x，所以最小正周期為.由2k2x2k，得kxk，故單調(diào)遞增區(qū)間為k，k(kZ) 平面向量與三角函數(shù)結(jié)合的這類題目的解題思路通常是將向量的數(shù)量積與模經(jīng)坐標(biāo)運(yùn)算后轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問(wèn)題，然后利用三角函數(shù)基本公式求解【突破訓(xùn)練3】 在ABC中，角A、B、C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a、b、c，且滿足cos ，·3.(1)求ABC的面積；(2)若bc6，求a的值解(1)因?yàn)閏os ，所以cos A2cos21，sin A，又由·3，得bccos A3，所以bc5，所以SABCbcsin A2.(2)對(duì)于bc5，又bc6，所以b5，c1或b1，c5，由余弦定理得，a2b2c22bccos A20，所以a2.突破平面向量的得分障礙近幾年高考對(duì)平面向量的考查突出了“創(chuàng)新性”與“靈活性”，其實(shí)質(zhì)可以歸源于平面向量的幾何特征和代數(shù)特征試題常以選擇、填空的形式考查，難度較大平面向量問(wèn)題的難點(diǎn)就是平面向量的幾何運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算的結(jié)合，這里要充分利用向量的幾何運(yùn)算法則、共線向量定理，下面舉例說(shuō)明【示例1】 (2012·北京)已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，則·的值為_；·的最大值為_解析以，為基向量，設(shè)(01)，則，所以·()·()·2×011.又，所以·()·2·×101，即·的最大值為1.答案11老師叮嚀：本題考查了平面向量的線性運(yùn)算、幾何運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算.求·值時(shí)，不會(huì)利用平面向量的幾何運(yùn)算法則將其轉(zhuǎn)化為··是造成失分的主要原因.【試一試1】 (2011·新課標(biāo)全國(guó))已知a與b均為單位向量，其夾角為，有下列四個(gè)命題：p1：|ab|>1；p2：|ab|>1；p3：|ab|>1；p4：|ab|>1.其中的真命題是()Ap1，p4 Bp1，p3 Cp2，p3 Dp2，p4答案：A|a|b|1，且0，若|ab|1，則(ab)21，a22a·bb21，即a·b，cos a·b，；若|ab|1，同理求得a·b，cos a·b，故p1，p4正確，應(yīng)選A.【示例2】 (2011·遼寧)若a，b，c均為單位向量，且a·b0，(ac)·(bc)0，則|abc|的最大值為()A.1 B1 C. D2解析設(shè)a(1,0)，b(0,1)，c(x，y)，則x2y21，ac(1x，y)，bc(x，1y)，則(ac)·(bc)(1x)(x)(y)·(1y)x2y2xy1xy0，即xy1.又abc(1x，1y)，|abc| ，法一如圖，c(x，y)對(duì)應(yīng)點(diǎn)在上，而式的幾何意義為P點(diǎn)到上點(diǎn)的距離，其最大值為1.法二|abc|，由xy1，|abc|1，最大值為1.答案B老師叮嚀：解決本題的關(guān)鍵是將向量坐標(biāo)化，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決問(wèn)題.其中，不會(huì)將向量坐標(biāo)化是造成失分的主要原因.【試一試2】 (2012·天津)已知ABC為等邊三角形，AB2.設(shè)點(diǎn)P，Q滿足，(1)，R，若·，則()A. B. C. D.答案：A|a|b|1，且0，若|ab|1，則(ab)21，a22a·bb21，即a·b，cos a·b，；若|ab|1，同理求得a·b，cos a·b，故p1，p4正確，應(yīng)選A.8