2021屆高三數(shù)學二輪復習 專題四 第2講 空間中的平行與垂直教案

第2講空間中的平行與垂直自主學習導引真題感悟1(2012·浙江)設l是直線，、是兩個不同的平面A若l，l，則B若l，l，則C若，l，則lD若，l，則l解析利用線與面、面與面的關系定理判定，用特例法設a，若直線la，且l，l，則l，l，因此不一定平行于，故A錯誤；由于l，故在內存在直線ll，又因為l，所以l，故，所以B正確；若，在內作交線的垂線l，則l，此時l在平面內，因此C錯誤；已知，若a，la，且l不在平面，內，則l且l，因此D錯誤答案B2(2012·江蘇)如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1A1C1，D、E分別是棱BC、CC1上的點(點D不同于點C)，且ADDE，F(xiàn)為B1C1的中點求證：(1)平面ADE平面BCC1B1；(2)直線A1F平面ADE.證明(1)因為ABC A1B1C1是直三棱柱，所以C C1平面ABC.又AD平面ABC，所以C C1AD.又因為ADDE，C C1，DE平面BC C1 B1，C C1DEE，所以AD平面BC C1 B1.又AD平面ADE，所以平面ADE平面BC C1 B1. (2)因為A1 B1A1 C1，F(xiàn)為B1 C1的中點，所以A1FB1 C1.因為C C1平面A1 B1 C1，且A1F平面A1 B1 C1，所以C C1A1F.又因為C C1，B1 C1平面BC C1 B1，C C1B1 C1C1，所以A1F平面BC C1 B1.由(1)知AD平面BC C1 B1，所以A1FAD.又AD平面ADE，A1F平面ADE，所以A1F平面ADE考題分析空間線面位置關系的判定與證明是高考的必考考點，多以選擇題與解答題的形式出現(xiàn)，難度中等，解答高考題時，推理過程不完整是失分的重要原因，需引起特別注意網(wǎng)絡構建高頻考點突破考點一：線線、線面的平行與垂直【例1】如圖，在平行四邊形ABCD中，CD1，BCD60°，且BDCD，正方形ADEF所在平面與平面ABCD垂直，G、H分別是DF、BE的中點(1)求證：BD平面CDE；(2)求證：GH平面CDE；(3)求三棱錐DCEF的體積審題導引(1)先證BDED，BDCD，可證BD平面CDE；(2)由GHCD可證GH平面CDE；(3)變換頂點，求VCDEF.規(guī)范解答(1)證明四邊形ADEF是正方形，EDAD，又平面ADEF平面ABCD，平面ADEF平面ABCDAD.ED平面ABCD，EDBD.又BDCD，且EDDCD，BD平面CDE.(2)證明G是DF的中點，又易知H是FC的中點，在FCD中，GHCD，又CD平面CDE，GH平面CDE，GH平面CDE.(3)設RtBCD中，BC邊上的高為h，CD1，BCD60°，BDCD，BC2，BD，×2×h×1×，h，即點C到平面DEF的距離是，VDCEFVCDEF××2×2×.【規(guī)律總結】線線、線面位置關系證法歸納(1)證線線平行常用的方法：一是利用平行公理，即證兩直線同時和第三條直線平行；二是利用平行四邊形進行平行轉換；三是利用三角形的中位線定理證線線平行；四是利用線面平行、面面平行的性質定理進行平行轉換(2)證線面平行常用的兩種方法：一是利用線面平行的判定定理，把證線面平行轉化為證線線平行；二是利用面面平行的性質，把證線面平行轉化為證面面平行(3)證線面垂直常用的方法：一是利用線面垂直的判定定理，把證線面垂直轉化為證線線垂直；二是利用面面垂直的性質定理，把證面面垂直轉化為證線面垂直；另外還要注意利用教材中的一些結論，如：兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面等【變式訓練】1(2012·山東實驗中學一診)如圖，在幾何體ABCDEP中，底面ABCD是邊長為4的正方形，PA平面ABCD，PAEB，且PA2BE4.(1)證明：BD平面PEC；(2)若G為BC上的動點，求證：AEPG.證明(1)連接AC交BD于點O，取PC的中點F，連接OF，EF，EBPA，且EBPA，又OFPA，且OFPA，EBOF，且EBOF，四邊形EBOF為平行四邊形，EFBD.又EF平面PEC，BD平面PEC，BD平面PEC.(2)連接BP，EBABAP90°，EBABAP，PBABEA，PBABAEBEABAE90°，PBAE.PA平面ABCD，PA平面APEB，平面ABCD平面APEB，BCAB，平面ABCD平面APEBAB，BC平面APEB，BCAE，AE平面PBC，G為BC上的動點，PG平面PBC，AEPG.考點二：面面平行與垂直【例2】如圖所示，已知在三棱錐ABPC中，APPC，ACBC，M為AB的中點，D為PB的中點，且PMB為正三角形(1)求證：DM平面APC；(2)求證：平面ABC平面APC；(3)若BC4，AB20，求三棱錐DBCM的體積審題導引(1)只要證明MDAP即可，根據(jù)三角形中位線定理可證；(2)證明APBC；(3)根據(jù)錐體體積公式進行計算規(guī)范解答(1)證明由已知，得MD是ABP的中位線，所以MDAP.又MD平面APC，AP平面APC，故MD平面APC.(2)證明因為PMB為正三角形，D為PB的中點，所以MDPB.所以APPB.又APPC，PBPCP，所以AP平面PBC.因為BC平面PBC，所以APBC.又BCAC，ACAPA，所以BC平面APC.因為BC平面ABC，所以平面ABC平面APC.(3)由題意，可知MD平面PBC，所以MD是三棱錐DBCM的一條高，所以VMDBC×SBCD×MD×2×510.【規(guī)律總結】面面平行與垂直的證明技巧在立體幾何的平行關系問題中，“中點”是經常使用的一個特殊點，無論是試題本身的已知條件，還是在具體的解題中，通過找“中點”，連“中點”，即可出現(xiàn)平行線，而線線平行是平行關系的根本在垂直關系的證明中，線線垂直是問題的核心，可以根據(jù)已知的平面圖形通過計算的方式證明線線垂直，也可以根據(jù)已知的垂直關系證明線線垂直，其中要特別重視兩個平面垂直的性質定理，這個定理已知的是兩個平面垂直，結論是線面垂直【變式訓練】2如圖，在四棱錐PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABAD，BAD60°，E、F分別是AP、AD的中點求證：(1)直線EF平面PCD；(2)平面BEF平面PAD.證明(1)在PAD中，因為E，F(xiàn)分別為AP，AD的中點，所以EFPD.又因為EF平面PCD，PD平面PCD，所以直線EF平面PCD.(2)如圖，連接BD.因為ABAD，BAD60°，所以ABD為正三角形因為F是AD的中點，所以BFAD.因為平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，BF平面ABCD，所以BF平面PAD.又因為BF平面BEF，所以平面BEF平面PAD.考點三：平面圖形的折疊問題【例3】(2012·南京模擬)在ABC中，BAC90°，B60°，AB1，D為線段BC的中點，E、F為線段AC的三等分點(如圖1)將ABD沿著AD折起到ABD的位置，連接BC(如圖2)圖1圖2(1)若平面ABD平面ADC，求三棱錐BADC的體積；(2)記線段BC的中點為H，平面BED與平面HFD的交線為l，求證HFl；(3)求證：ADBE.審題導引(1)解題的關鍵是根據(jù)折疊前后的線面位置關系求得B到平面ADC的距離，可利用線面垂直求得；(2)線面平行線線平行；(3)線面垂直線線垂直規(guī)范解答(1)在直角ABC中，D為BC的中點，所以ADBDCD.又B60°，所以ABD是等邊三角形取AD中點O，連接BO，所以BOAD.因為平面ABD平面ADC，平面ABD平面ADCAD，BO平面ABD，所以BO平面ADC.在ABC中，BAC90°，B60°，AB1，D為BC的中點，所以AC，BO.所以SADC××1×.所以三棱錐BADC的體積為V×SADC×BO.(2)證明因為H為BC的中點，F(xiàn)為CE的中點，所以HFBE.又HF平面BED，BE平面BED，所以HF平面BED.因為HF平面HFD，平面BED平面HFDl，所以HFl.(3)證明由(1)知，BOAD.因為AE，AO，DAC30°，所以EO.所以AO2EO2AE2.所以ADEO.又BO平面BEO，EO平面BEO，BOEOO，所以AD平面BEO.又BE平面BEO，所以ADBE.【規(guī)律總結】解決翻折問題的注意事項(1)解決與翻折有關的幾何問題的關鍵是搞清翻折前后哪些量改變、哪些量不變，抓住翻折前后不變的量，充分利用原平面圖形的信息是解決問題的突破口(2)把平面圖形翻折后，經過恰當連線就能得到三棱錐、四棱錐，從而把問題轉化到我們熟悉的幾何體中去解決【變式訓練】3如圖1，直角梯形ABCD中，ADBC，ABC90°，E、F分別為AD和BC上的點，且EFAB，AD2AE2AB4FC4.將四邊形EFCD沿EF折起成如圖2的形狀，使ADAE.(1)求證：BC平面DAE；(2)求四棱錐DAEFB的體積解析(1)證明BFAE，CFDE，BFCFF，AEDEE，平面CBF平面DAE.又BC平面CBF，BC平面DAE.(2)取AE的中點H，連接DH.EFDE，EFEA，EF平面DAE.又DH平面DAE，EFDH.AEDEAD2，DHAE，DH.DH平面AEFB.則四棱錐DAEFB的體積V××2×2.名師押題高考【押題1】已知直線a、b與平面、，且b，則下列命題中正確的是若a，則ab；若ab，則a；若b，則；若，則b.ABCD解析命題，若a，過直線a作一平面，使得c，則由線面平行的性質定理可得ac，又因為b，c，所以bc，故有ab，所以該命題為真；命題，若ab，b，則直線與平面的位置關系有兩種：a或a，故該命題為假； 命題，若b，則過直線b作一平面，使得d，則由線面平行的性質定理可得bd，又b，所以d，因為d，所以由面面垂直的判定定理可得，故該命題為真；命題，若，b，則直線b與平面的位置關系有兩種：b或b，故該命題為假綜上，為真命題，故選A.答案A押題依據(jù)線面的平行與垂直，是立體幾何的主體內容，在高考試題中通常會有一道解答題和一道選擇題或填空題，主要考查線面位置關系的判定與性質，一般難度不大【押題2】如圖，在三棱錐ABOC中，AO平面COB，OABOAC，ABAC2，BC，D、E分別為AB、OB的中點(1)求證：CO平面AOB.(2)在線段CB上是否存在一點F，使得平面DEF平面AOC？若存在，試確定F的位置；若不存在，請說明理由解析(1)證明因為AO平面COB，所以AOCO，AOBO，即AOC與AOB為直角三角形又因為OABOAC，ABAC2，所以OBOC1.由OB2OC2112BC2，可知BOC為直角三角形所以COBO，又因為AOBOO，所以CO平面AOB.(2)在線段CB上存在一點F，使得平面DEF平面AOC，此時F為線段CB的中點如圖，連接DF，EF，因為D、E分別為AB、OB的中點，所以DEOA.又DE平面AOC，所以DE平面AOC.因為E、F分別為OB、BC的中點，所以EFOC.又EF平面AOC，所以EF平面AOC，又EFDEE，EF平面DEF，DE平面DEF，所以平面DEF平面AOC.押題依據(jù)線面的平行與垂直是立體幾何的必考內容，通常要考一個解答題，本題不僅突出考查了線面的平行與垂直，而且以立體幾何為背景考查了探索性問題，題目新穎靈活、重點突出、難度適中，故押此題 - 10 -