2021屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 必考問題專項突破3 不等式及線性規(guī)劃問題 理

問題3不等式及線性規(guī)劃問題1(2011·上海)若a，bR，且ab0，則下列不等式恒成立的是()Aa2b22ab Bab2C. D.2答案：D對于A：當(dāng)ab1時滿足ab0，但a2b22ab，所以A錯；對于B、C：當(dāng)ab1時滿足ab0，但ab0，0，而20，0，顯然B、C不對；對于D：當(dāng)ab0時，由基本不等式可得22.2(2012·遼寧)若x0，)，則下列不等式恒成立的是()Aex1xx2 B.1xx2Ccos x1x2 Dln(1x)xx2答案：C正確命題要證明，錯誤命題只需舉一個反例即可如A，因為e31332，故A不恒成立；同理，當(dāng)x時，1xx2，故B不恒成立；因為sin xx0(x0，)，且x0時，ycos xx210，所以ycos xx210恒成立，所以C對；當(dāng)x4時，ln(1x)xx2，故D不恒成立3(2012·山東)設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z3xy的取值范圍是()A. B.C1,6 D.答案：A作出不等式組所表示的區(qū)域如圖，由z3xy得，y3xz，平移直線y3x，由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過點E(2，0)時，直線y3xz的截距最小，此時z最大為z3×206，當(dāng)直線經(jīng)過C點時，直線y3xz的截距最大，此時z最小，由解得此時z3xy3，所以z3xy的取值范圍是.4(2012·安徽)若x，y滿足約束條件則xy的取值范圍是_解析記zxy，則yxz，所以z為直線yxz在y軸上的截距的相反數(shù)，畫出不等式組表示的可行域如圖中ABC區(qū)域所示結(jié)合圖形可知，當(dāng)直線經(jīng)過點B(1,1)時，xy取得最大值0，當(dāng)直線經(jīng)過點C(0,3)時，xy取得最小值3.答案3,0本部分內(nèi)容高考主要考查以下幾方面：(1)考查利用基本不等式求最值、證明不等式等，利用基本不等式解決實際問題(2)考查以線性目標(biāo)函數(shù)的最值為重點，目標(biāo)函數(shù)的求解常結(jié)合其代數(shù)式的幾何意義(如斜率、截距、距離、面積等)來求解(3)一元二次不等式經(jīng)常與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、解析幾何相結(jié)合考查參數(shù)的取值范圍，以考查一元二次不等式的解法為主，并兼顧二次方程的判別式、根的存在等不等式部分重點掌握一元二次不等式的解法，特別是含有字母參數(shù)的一元二次不等式的解法，基本不等式求最值，二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，包括平面區(qū)域的形狀判斷、面積以及與平面區(qū)域有關(guān)的最值問題，簡單的線性規(guī)劃模型在解決實際問題中的應(yīng)用對不等式的深入復(fù)習(xí)要結(jié)合數(shù)列、解析幾何、導(dǎo)數(shù)進(jìn)行.必備知識一元二次不等式(1)一元二次不等式的解集可以由一元二次方程的解結(jié)合二次函數(shù)的圖象得來，不要死記硬背，二次函數(shù)的圖象是聯(lián)系“二次型”的紐帶(2)對含參數(shù)的不等式，難點在于對參數(shù)的恰當(dāng)分類，關(guān)鍵是找到對參數(shù)進(jìn)行討論的原因，確定好分類標(biāo)準(zhǔn)(如最高次系數(shù)、判別式、根相等)，層次清楚地求解(3)與一元二次不等式有關(guān)的恒成立問題，通常轉(zhuǎn)化為根的分布問題，求解時一定要借助二次函數(shù)的圖象，一般考慮四個方面：開口方向、判別式的符號、對稱軸的位置、區(qū)間端點函數(shù)值的符號基本不等式(1)基本不等式a2b22ab取等號的條件是當(dāng)且僅當(dāng)ab；當(dāng)且僅當(dāng)xy時，(x0，y0)取等號(2)幾個重要的不等式：ab2(a，bR)； (a0，b0)；a2(a0，當(dāng)a1時等號成立)；2(a2b2)(ab)2(a，bR，當(dāng)ab時等號成立)；|a|b|a±b|a|b|.(3)最值問題：設(shè)x，y都為正數(shù)，則有若xys(和為定值)，則xy時，積xy取得最大值；若xyp(積為定值)，則當(dāng)xy時，和xy取得最小值2.比較法、綜合法、分析法和數(shù)學(xué)歸納法仍是證明不等式的最基本方法要依據(jù)題設(shè)的結(jié)構(gòu)特點、內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應(yīng)的步驟、技巧和語言特點解決線性規(guī)劃問題的一般步驟(1)確定線性約束條件；(2)確定線性目標(biāo)函數(shù)；(3)畫出可行域；(4)利用線性目標(biāo)函數(shù)(直線)求出最優(yōu)解；(5)據(jù)實際問題的需要，適當(dāng)調(diào)整最優(yōu)解(如整數(shù)解等)必備方法1解一元二次不等式ax2bxc0(a0)或ax2bxc0(a0)，可利用一元二次方程、一元二次不等式和二次函數(shù)間的關(guān)系2使用基本不等式以及與之相關(guān)的不等式求一元函數(shù)或者二元函數(shù)最值時，基本的技巧是創(chuàng)造使用這些不等式的條件，如各變數(shù)都是正數(shù)，某些變數(shù)之積或者之和為常數(shù)等，解題中要根據(jù)這個原則對求解目標(biāo)進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖儞Q，使之達(dá)到能夠使用這些不等式求解最值的目的在使用基本不等式求函數(shù)的最值、特別是求二元函數(shù)最值時一定要注意等號成立的條件，盡量避免二次使用基本不等式3平面區(qū)域的確定方法是“直線定界、特殊點定域”，二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域是各個不等式所表示的半平面的交集線性目標(biāo)函數(shù)zaxby中的z不是直線axbyz在y軸上的截距，把目標(biāo)函數(shù)化為yx可知是直線axbyz在y軸上的截距，要根據(jù)b的符號確定目標(biāo)函數(shù)在什么情況下取得最大值、什么情況下取得最小值.?？疾椋褐苯永没静坏仁角笞钪?；先利用配湊法等進(jìn)行恒等變形，再利用基本不等式求最值近幾年高考試題常考查實際應(yīng)用題中基本不等式的應(yīng)用，應(yīng)引起我們的重視【例1】 (2010·重慶)已知x0，y0，x2y2xy8，則x2y的最小值是()A3 B4 C. D.審題視點 聽課記錄審題視點 將已知式改寫成y關(guān)于x的表達(dá)式，再代入x2y消元，整理成應(yīng)用基本不等式的形式求最值Bx2y2xy8，y0，1x8，x2yx2·(x1)22 24，此時x2，y1，故選B. 當(dāng)函數(shù)或代數(shù)式具有“和是定值”、“積是定值”的結(jié)構(gòu)特點時，常利用基本不等式求其最大、最小值在具體題目中，一般很少考查基本不等式的直接應(yīng)用，而是需要對式子進(jìn)行變形，尋求其中的內(nèi)在關(guān)系，然后利用基本不等式得出結(jié)果【突破訓(xùn)練1】 已知a0，b0，且a2b1.則的最小值為_解析332 32.即的最小值為32.答案32線性規(guī)劃問題?？疾橛腥N題型：一是求最值；二是求區(qū)域面積；三是知最優(yōu)解情況或可行域情況確定參數(shù)的值或取值范圍同時，這也是高考的熱點，主要以選擇題、填空題的形式考查【例2】 (2012·濰坊模擬)設(shè)x，y滿足約束條件若目標(biāo)函數(shù)zaxby(a0，b0)的最大值為12，則的最小值為()A. B. C. D4審題視點 聽課記錄審題視點 先由已知結(jié)合線性規(guī)劃知識可以求得a，b的關(guān)系式，再由基本不等式求解A不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分當(dāng)直線axbyz(a0，b0)過直線xy20與直線3xy60的交點(4,6)時，目標(biāo)函數(shù)zaxby(a0，b0)取得最大值12，即4a6b12，即2a3b6.所以·2. 線性規(guī)劃的實質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化，即數(shù)形結(jié)合的思想需要注意的是：一，準(zhǔn)確無誤地作出可行域；二，畫目標(biāo)函數(shù)所對應(yīng)的直線時，要注意與約束條件中的直線的斜率進(jìn)行比較，避免出錯，比如上題中目標(biāo)函數(shù)所對應(yīng)直線的斜率0；三，一般情況下，目標(biāo)函數(shù)的最大或最小值會在可行域的端點或邊界上取得【突破訓(xùn)練2】 (2012·江西)某農(nóng)戶計劃種植黃瓜和韭菜，種植面積不超過50畝，投入資金不超過54萬元，假設(shè)種植黃瓜和韭菜的產(chǎn)量、成本和售價如下表年產(chǎn)量/畝年種植成本/畝每噸售價黃瓜4噸1.2萬元0.55萬元韭菜6噸0.9萬元0.3萬元為使一年的種植總利潤(總利潤總銷售收入總種植成本)最大，那么黃瓜和韭菜的種植面積(單位：畝)分別為()A50,0 B30,20 C20,30 D0,50答案：B設(shè)黃瓜和韭菜的種植面積分別為x畝，y畝，總利潤為z萬元，則目標(biāo)函數(shù)為z(0.55×4x1.2x)(0.3×6y0.9y)x0.9y.線性約束條件為即畫出可行域，如圖所示作出直線l0：x0.9y0，向上平移至過點B時，z取得最大值，由求得B(30，20)?？疾椋汉瑓⒉坏仁降那蠼?；已知含參不等式恒成立，求參數(shù)的取值范圍，尤其是一元二次不等式的求解是高考重點考查的知識點之一，幾乎涉及高中數(shù)學(xué)的所有章節(jié)，且?？汲Ｐ?，要注意解題的靈活性【例3】 若不等式x2ax10對于一切x(0,2成立，求a的取值范圍(1)若題中區(qū)間改為x2,2，求a的取值范圍； (2)若題中區(qū)間改為a2,2，求x的取值范圍審題視點 聽課記錄審題視點 原題可利用分離法求解；(1)分離參數(shù)后，需分x0，x(0,2，x2,0)討論；(2)利用變換主元法求解解原不等式可化為a，而2，所以a的取值范圍是(，2(1)因為x2,2，而當(dāng)x0時，原式為02a·010恒成立，此時aR；當(dāng)x0時，令f(x)x，則當(dāng)x(0,2時，知a(，2，所以當(dāng)x2,0)時，因為a，令f(x)x，由函數(shù)的單調(diào)性可知，所以f(x)maxf(1)2，所以a2，)，綜上可知，a的取值范圍是2,2(2)因為a2,2，則可把原式看作關(guān)于a的函數(shù)，即g(a)xax210，由題意可知，解之得xR，所以x的取值范圍是(，) 本題考查了不等式恒成立問題，在給定自變量的取值范圍時，解有關(guān)不等式問題時，往往采用分離變量或適當(dāng)變形，或變換主元，或構(gòu)造函數(shù)，再利用函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式進(jìn)行求解，在解答時，一定要注意觀察所給不等式的形式和結(jié)構(gòu)，選取合適的方法去解答【突破訓(xùn)練3】 已知f(x)x22ax2，當(dāng)x1，)時，f(x)a恒成立，求a的取值范圍解設(shè)F(x)x22ax2a，則問題的條件變?yōu)楫?dāng)x1，)時，F(xiàn)(x)0恒成立當(dāng)(2a)24(2a)4(a2)·(a1)0，即2a1時，F(xiàn)(x)0恒成立又當(dāng)0時，F(xiàn)(x)0在1，)上恒成立的充要條件是3a2.故a的取值范圍是3,1不等式的綜合應(yīng)用主要體現(xiàn)在不等式與函數(shù)、方程、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列等其它知識的綜合應(yīng)用不等式作為一種工具經(jīng)常與函數(shù)、方程結(jié)合在一起，用其研究函數(shù)和方程的有關(guān)題目；再就是利用函數(shù)和方程的理論研究不等式題目難度較大【例4】 設(shè)函數(shù)f(x)x2aln(1x)有兩個極值點x1，x2，且x1x2.(1)求a的取值范圍，并討論f(x)的單調(diào)性；(2)證明：f(x2).審題視點 聽課記錄審題視點 第(1)問基礎(chǔ)常規(guī)，第(2)問要證明不等式，常規(guī)方法很難見效，轉(zhuǎn)而構(gòu)造函數(shù)，反復(fù)利用導(dǎo)數(shù)作工具研究函數(shù)的單調(diào)性，其中需要一定的探究能力(1)解f(x)2x(x1)令g(x)2x22xa，其對稱軸為x.由題意知x1、x2是方程g(x)0的兩個均大于1的不相等的實根，且x1，x2，其充要條件為得0a.當(dāng)x(1，x1)時，f(x)0，f(x)在(1，x1)內(nèi)為增函數(shù)；當(dāng)x(x1，x2)時，f(x)0，f(x)在(x1，x2)內(nèi)為減函數(shù)；當(dāng)x(x2，)時，f(x)0，f(x)在(x2，)內(nèi)為增函數(shù)(2)證明當(dāng)x(x2，)時，f(x)0，x20.a(2x2x2)f(x2)xaln(1x2)x(2x2x2)ln(1x2)設(shè)h(x)x2(2x22x)ln(1x)，則h(x)2x2(2x1)ln(1x)2x2(2x1)ln(1x)當(dāng)x時，h(x)0，h(x)在上單調(diào)遞增；當(dāng)x(0，)時，h(x)0，h(x)在(0，)上單調(diào)遞減當(dāng)x時，h(x)h.故f(x2)h(x2). 在確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，往往需要對所求出的導(dǎo)數(shù)中的參數(shù)進(jìn)行分類討論來解決，不等式的證明常常借助構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行證明，從而使問題的解決變得簡單、明快【突破訓(xùn)練4】 已知函數(shù)f(x)x33ax29a2xa3.若a，且當(dāng)x1,4a時，|f(x)|12a恒成立，試確定a的取值范圍解f(x)3x26ax9a2的圖象是一條開口向上的拋物線，關(guān)于xa對稱若a1，則f(x)在1,4a上是增函數(shù)，從而f(x)在1,4a上的最小值是f(1)36a9a2，最大值是f(4a)15a2.由|f(x)|12a，得12a3x26ax9a212a，于是有f(1)36a9a212a，且f(4a)15a212a.由f(1)12a，得a1，由f(4a)12a，得0a.所以a，即a.若a1，則|f(a)|12a212a.故當(dāng)x1,4a時，|f(x)|12a不恒成立所以使|f(x)|12a(x1,4a)恒成立的a的取值范圍是.把握好含參二次不等式的分類標(biāo)準(zhǔn)的四個“討論點”含參數(shù)的二次不等式的解法常常涉及到參數(shù)的討論問題，如何選擇討論標(biāo)準(zhǔn)是學(xué)生不易掌握的地方實際上，只要把握好下面的四個“討論點”，一切便迎刃而解分類標(biāo)準(zhǔn)一：二次項系數(shù)是否為零，目的是討論不等式是否為二次不等式；分類標(biāo)準(zhǔn)二：二次項系數(shù)的正負(fù)，目的是討論二次函數(shù)圖象的開口方向；分類標(biāo)準(zhǔn)三：判別式的正負(fù)，目的是討論二次方程是否有解；分類標(biāo)準(zhǔn)四：兩根差的正負(fù)，目的是比較根的大小【示例】 (2012·汕頭調(diào)研)已知函數(shù)f(x)axc(a0)的圖象在點(1，f(1)處的切線方程為yx1.(1)用a表示出b，c；(2)若f(x)ln x在1，)上恒成立，求a的取值范圍滿分解答(1)f(x)a，則有解得(4分)(2)由(1)知，f(x)ax12a.令g(x)f(x)ln xax12aln x，x1，)，則g(1)0，g(x)a.(8分)當(dāng)0a時，1.若1x，則g(x)0，g(x)是減函數(shù)，所以g(x)g(1)0，即f(x)ln x故f(x)ln x在1，)上不恒成立(10分)當(dāng)a時，1.若x1，則g(x)0，g(x)是增函數(shù)，所以g(x)g(1)0，即f(x)ln x，故當(dāng)x1時，f(x)ln x.綜上所述，所求a的取值范圍為，.(12分)老師叮嚀：對不確定的根的大小關(guān)系不加區(qū)分，整體表現(xiàn)為不能有序地進(jìn)行分類討論，對于分類討論的題目沒有結(jié)論，這都是造成失分的原因，切記！【試一試】 (高考題改編)解關(guān)于x的不等式ax2(2a1)x20.解不等式ax2(2a1)x20，即(ax1)(x2)0.(1)當(dāng)a0時，不等式可以化為(x2)0.若0a，則2，此時不等式的解集為；若a，則不等式為(x2)20，不等式的解集為；若a，則2，此時不等式的解集為.(2)當(dāng)a0時，不等式即x20，此時不等式的解集為(2，)(3)當(dāng)a0時，不等式可以化為(x2)0.由于2，故不等式的解集為(2，)綜上所述，當(dāng)a0時，不等式的解集為(2，)；當(dāng)a0時，不等式的解集為(2，)；當(dāng)0a時，不等式的解集為；當(dāng)a時，不等式的解集為；當(dāng)a時，不等式的解集為.13